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2012年安徽高考数学试题第I卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1复数x满足(x-i)(2-i)5,则x= A-2-2i B-2+2i C2-2i D2+2i 2下列函数中,不满足f(2x)等于2f(x)的是 Af(x)=|x|Bf(x)=x-|x| Cf(x)=x+1 Df(x)=-x 3如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 A3 B4 C5 D84公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16= A4B5C6D75甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内,直线b在平面内,且bm,则“”是“ab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D既不充分也不必要条件7的展开式的常数项是A-3 B-2 C2 D38在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量,则Q点的坐标是A(-7,-)B(-7,) C(-4,-2)D(-4,2)9过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点。若|AF|=3,则AOB的面积为106位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为A1或3 B1或4 C2或3 D2或4 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。(11)若x,y满足约束条件则x-y的取值范围是_。(12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_。 (13)在极坐标系中,圆=4sin的圆心到直线的距离是_。(14)若平面向量a,b满足|2a-b3|,则ab的最小值是_。(15)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)。若abC2,则若a+b2c,则 若a3+b3=c3,则若(a+b)c=2ab,则若(a2+b2)c2=2a22b2,则 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。(17)(本小题满分12分)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有n+m道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量。()求X=n+2的概率;()设m=n,求X的分布列和均值(数学期望)(18)(本小题满分12分)平面图形ABB2A2C3C如图4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=,A1B1=A1C1= 。现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A2A,A2B,A2C,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题。 ()证明:AA2BC;()求AA2的长;()求二面角A-BC-A2的余弦值。20.(本小题满分13分)如图,点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆的左右焦点,经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q。()如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;()证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点。2012年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理科数学注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。1.已知集合A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|xA,yA,x-yA,则B中所含元素的个数为A.3 B.6 C.8 D.102.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组有1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有A.12种 B.10种 C.9种 D.8种(3)下面是关于复数z=的四个命题P1:=2 p2: =2iP3:z的共轭复数为1+I P4 :z的虚部为-1其中真命题为A P2 ,P3 B P1 ,P2 C P2,P4 D P3 P4 (4)设F1,F2是椭圆E: +=1 (ab0)的左、右焦点 ,P为直线x=上的一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为A B C D (5)已知an为等比数列, a4+a1=2 a5a6-8 则a1+a10 =A.7 B.5 C-5 D.-7(6)如果执行右边的程序图,输入正整数N(N2)和实数a1.a2,an,输入A,B,则(A)A+B为a1a2,,an的和(B)为a1a2.,an的算式平均数(C)A和B分别是a1a2,an中最大的数和最小的数(D)A和B分别是a1a2,an中最小的数和最大的数(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(A)6 (B)9 (C)12 (D)18(8)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y=16x的准线交于A,B两点,则C的实轴长为(A)(B)(C)4(D)8(9)已知w0,函数在单调递减,则w的取值范围是(A)(B)(C)(D)(0,2(10)已知函数,则y=f(x)的图像大致为(11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(A)(B)(C)(D)(12)设点P在曲线上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(A)1-ln2(B)(C)1+ln2(D) 第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题,考试依据要求作答。二。填空题:本大题共4小题,每小题5分。(13)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=_.(14)设x,y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为_.(15),某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_.(16)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为_。三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,。()求A;()若a=2,ABC的面积为,求b,c。(18)(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。()若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式。()花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。()若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;()若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由。(19)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1BD。(1) 证明:DC1BC;(2) 求二面角A1-BD-C1的大小。(20)(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点。(1) 若BFD=90,ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;(2) 若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C之有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值。(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2.(1) 求f(x)的解析式及单调区间;(2) 若f(x)x2+ax+b,求(a+1)b的最大值。请考生在第22、23、24题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修41;几何证明选讲如图,D,E分别为边,的中点,直线交ABC的外接圆于F,G两点,若CFAB,证明:()CD=BC;()BCD GBD。(23)(本小题满分10分)选修44;坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程式(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程式.正方形的顶点都在上,且,依逆时针次序排列,点的极坐标为。()求点,C,D的直角坐标;()设P为C1上任意一点,求的取值范围。(24)(本小题满分10分)选修45;不等式选讲已知函数()当a=-3时,求不等式(x) 3的解集;(2)若f(x)的解集包含1,2,求a的取值范围。2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至2页,第II卷第3至第4页。考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。2.没小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3.第I卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。一、 选择题1、 复数=A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A1.3. ,B1,m ,ABA, 则m=A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A +=1 B +=1C +=1 D +=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ,AB=2,CC1= E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A 2 B C D 1(5)已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) (6)ABC中,AB边的高为CD,若ab=0,|a|=1,|b|=2,则(A) (B) (C) (D)(7)已知为第二象限角,sinsin=,则cos2=(A) (B) (C) (D)(8)已知F1、F2为双曲线C:x-y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cosF1PF2=(A) (B) (C) (D)(9)已知x=ln,y=log52,则(A)xyz (B)zxy (C)zyx (D)yzx(10) 已知函数yx-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AEBF。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(A)16(B)14(C)12(D)10 2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修) 第卷注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。2.第卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。3.第卷共10小题,共90分。二。填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效)(13)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_。(14)当函数取得最大值时,x=_。(15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_。(16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_。三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)cosB=1,a=2c,求c。(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.()证明:PC平面BED;()设二面角A-PB-C为90,求PD与平面PBC所成角的大小。19. (本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换。每次发球,胜方得1分,负方得0分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。()求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;()表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望。(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)设函数f(x)=ax+cosx,x0,。()讨论f(x)的单调性;()设f(x)1+sinx,求a的取值范围。21.(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+()2=r2(r0)有一个公共点,且在A处两曲线的切线为同一直线l.()求r;()设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离。22(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标。()证明:2 xnxn+13;()求数列xn的通项公式。2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分,共4页。满分150分。考试用时120分钟,考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。注意事项:1.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式:锥体的体积公式:V=Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B)。第I卷(共60分)(3) 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 2 已知全集=0,1,2,3,4,集合A=1,2,3,,B=2,4 ,则(CuA)B为A 1,2,4 B 2,3,4C 0,2,4 D 0,2,3,43 设a0 a1 ,则“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”,是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件(4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为(A)7 (B) 9 (C) 10 (D)15(6)执行下面的程序图,如果输入a=4,那么输出的n的值为(A)2(B)3(C)4(D)5 (7)若,则sin=(A)(B)(C)(D)(8)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1x3时,f(x)=x。则f(1)+f(2)+f(3)+f(2012)=(A)335(B)338(C)1678(D)2012 (9)函数的图像大致为(10)已知椭圆C:的离心率为,双曲线x-y1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为(11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为(A)232 (B)252 (C)472 (D)484 (12)设函数(x)=,g(x)=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是A.当a0时,x1+x20B. 当a0, y1+y20时,x1+x20, y1+y20时,x1+x20, y1+y20 第卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。(13)若不等式的解集为,则实数k=_。(14)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为_。(15)设a0.若曲线与直线xa,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=_。CD(16)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为_。三、解答题:本大题共6小题,共74分。(17)(本小题满分12分)已知向量m=(sinx,1),函数f(x)=mn的最大值为6.()求A;()将函数y=f(x)的图象像左平移个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象。求g(x)在上的值域。(18)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF。()求证:BD平面AED;()求二面角F-BD-C的余弦值。(19)(本小题满分12分) 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。()求该射手恰好命中一次得的概率;()求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX(20)(本小题满分12分)在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.()求数列an的通项公式;()对任意mN,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm。(21)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为。()求抛物线C的方程;()是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;()若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当k2时,的最小值。22(本小题满分13分)已知函数f(x) = (k为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。()求k的值;()求f(x)的单调区间;()设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数,证明:对任意x0,。 答案与解析1.A 解析:.答案选A。另解:设,则根据复数相等可知,解得,于是。 2.C 解析:。答案选C。 3.A 解析:p:“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”等价于;q:“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”等价于,即且a1,故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。 4.C 解析:采用系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人,即,第k组的号码为,令,而,解得,则满足的整数k有10个,故答案应选C。5.A 解析:作出可行域,直线,将直线平移至点处有最大值,点处有最小值,即.答案应选A。 6.B 解析:;,。答案应选B。7.D 解析:由可得,答案应选D。8.B 解析:,而函数的周期为6,.答案应选B9.D :函数,为奇函数,当,且时;当,且时;当,;当,.答案应选D。10.D 解析:双曲线x-y1的渐近线方程为,代入可得,则,又由可得,则,于是。椭圆方程为,答案应选D。11.C 解析:,答案应选C。另解:.12.B解析:令,则,设,令,则,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需,整理得,于是可取来研究,当时,解得,此时,此时;当时,解得,此时,此时.答案应选B。另解:令可得。设不妨设,结合图形可知,当时如右图,此时,即,此时,即;同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。13. 解析:由可得,即,而,所以. 另解:由题意可知是的两根,则,解得.14. 解析:. 15. 解析:,解得.1616. 解析:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P旋转了弧度,此时点的坐标为.另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为,且,则点P的坐标为,即.17.解析:(),则;()函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.当时,.故函数g(x)在上的值域为.另解:由可得,令, 则,而,则,于是,故,即函数g(x)在上的值域为.18.解析:()在等腰梯形ABCD中,ABCD,DAB=60,CB=CD,由余弦定理可知,即,在中,DAB=60,则为直角三角形,且。又AEBD,平面AED,平面AED,且,故BD平面AED;()由()可知,设,则,建立如图所示的空间直角坐标系,向量为平面的一个法向量.设向量为平面的法向量,则,即,取,则,则为平面的一个法向量.,而二面角F-BD-C的平面角为锐角,则二面角F-BD-C的余弦值为。19 .解析:();(),X012345PEX=0+1+2+3+4+5=.(20)(本小题满分12分)在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.()求数列an的通项公式;()对任意mN,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm。解析:()由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则,于是,即.()对任意mN,则,即,而,由题意可知,于是,即.21.解析:()F抛物线C:x2=2py(p0)的焦点F,设M,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,于是抛物线C的方程为.()假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,而,由可得,则,即,解得,点M的坐标为.来源:学+科+网()若点M的横坐标为,则点M,。由可得,设,圆,于是,令,设,当时,即当时.故当时,.22解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;(),令可得,当时,;当时,。于是在区间内为增函数;在内为减函数。简证(),当时, ,.当时,要证。只需证,然后构造函数即可证明。2012年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷(上海理工农医类)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)1、计算: (为虚数单位)2、若集合,则 3、函数的值域是 4、若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示)5、在的二项式展开式中,常数项等于 6、有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则 7、已知函数(为常数),若在区间上是增函数,则的取值范围是 8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为 9、已知是奇函数,且,若,则 10、在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角,若将的极坐标方程写成的形式,则 11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示)12、在平行四边形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 13、已知函数的图像是折线段,其中、,函数()的图像与轴围成的图形的面积为 14、如图,与是四面体中互相垂直的棱,若,且,其中为常数,则四面体的体积的最大值是 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15、若是关于的实系数方程的一个复数根,则( )A、 B、 C、 D、16、在中,若,则的形状是( )A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定17、设,随机变量取值、的概率均为0.2,随机变量取值、的概率也均为0.2,若记、分别为、的方差,则( )A、 B、 C、 D、与大小关系与、的取值有关18、设,(),在中,正数的个数是( )A、25 B、50 C、75 D、100三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19、(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分如图,在四棱锥中,底面是矩形,底面,是的中点,已知,求:(1)三角形的面积(2)异面直线与所成的角的大小 P E A D B C20、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分已知(1)若,求的取值范围(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,求函数()的反函数21、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图,现假设:失事船的移动路径可视为抛物线;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? y P O x A22、(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分在平面直角坐标系中,已知双曲线(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积(2)设斜率为1的直线交于、两点,若与圆相切,求证:(3)设椭圆,若、分别是、上的动点,且,求证:到直线的距离是定值23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分对于数集,其中,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质,例如具有性质(1)若,且具有性质,求的值(2)若具有性质,求证:,且当时,(3)若具有性质,且、(为常数),求有穷数列的通项公式2012上海高考数学试题(理科)答案与解析一填空题1计算: (为虚数单位).【答案】【解析】.【点评】本题着重考查复数的除法运算,首先,将分子、分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化即可.2若集合,则 .【答案】 【解析】根据集合A ,解得,由,所以.【点评】本题考查集合的概念和性质的运用,同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题,首先分清集合的元素的构成,然后,借助于数轴或韦恩图解决.3函数的值域是 .【答案】 【解析】根据题目,因为,所以.【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式,属于容易题,难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).【答案】 【解析】设直线的倾斜角为,则.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意,属于低档题,难度较小.5在的二项展开式中,常数项等于 .【答案】 【解析】根据所给二项式的构成,构成的常数项只有一项,就是 .【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚,特别注意常数项的构成.属于中档题.6有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则 .【答案】 【解析】由正方体的棱长组成以为首项,为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以1为首项,为公比的等比数列,因此, .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7已知函数(为常数).若在区间上是增函数,则的取值范围是 .【答案】【解析】根据函数看出当时函数增函数,而已知函数在区间上为增函数,所以的取值范围为: .【点评】本题主要考查指数函数单调性,复合函数的单调性的判断,分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根,要注意取舍,切勿随意处理,导致不必要的错误.本题属于中低档题目,难度适中.8若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为,母线长为,根据条件得到,解得母线长,所以该圆锥的体积为:.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意,所求的为体积,不是其他的量,分清图形在展开前后的变化;其次,对空间几何体的体积公式要记准记牢,属于中低档题.9已知是奇函数,且,若,则 .【答案】 【解析】因为函数为奇函数,所以 .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意:函数为奇函数,所以有这个条件的运用,平时要加强这方面的训练,本题属于中档题,难度适中.10如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角,若将的极坐标方程写成的形式,则 .【答案】【解析】根据该直线过点,可以直接写出代数形式的方程为:,将此化成极坐标系下的参数方程即可 ,化简得.【点评】本题主要考查极坐标系,本部分为选学内容,几乎年年都有所涉及,题目类型以小题为主,复习时,注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题,难度适中.11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).【答案】【解析】一共有27种取法,其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种,所以根据古典概型得到此种情况下的概率为.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12在平行四边形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 .【答案】【解析】以向量所在直线为轴,以向量所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为,所以 设根据题意,有.所以,所以 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时,要切实注意条件的运用.本题属于中档题,难度适中.13已知函数的图象是折线段,其中、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为 .【答案】【解析】根据题意得到,从而得到所以围成的面积为,所以围成的图形的面积为 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大.14如图,与是四面体中互相垂直的棱,若,且,其中、为常数,则四面体的体积的最大值是 .【答案】 【解析】据题,也就是说,线段的长度是定值,因为棱与棱互相垂直,当时,此时有最大值,此时最大值为:.【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式,这是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大.属于中高档试题.二、选择题(20分)15若是关于的实系数方程的一个复数根,则( )A B C D【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点也是该方程的另一个根,所以,即,故答案选择B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算,属于中档题,注重对基本知识和基本技巧的考查,复习时要特别注

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