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向量解题的思维模式归结课本,向量有三种语言模式,即图形语言符号语言坐标语言.三种语言相互联系,相互转化.每种语言构成一种思维模式和解题方略.在解题过程中,若能善于抓住本质,提高认知辨析能力,合理地选择语言模式,就能有效地解决问题.1.以“形”为依托,数形结合,突出向量的几何特征.向量可以用有向线段表示,向量的加减数乘向量数量积等运算皆可以“作图”完成.而几何问题中的平行垂直等位置关系可以转化为向量的运算关系,夹角距离可以利用向量的夹角模来刻划.因而向量运算与几何图形息息相关,这是向量运算的重要特征.例1 是平面上一点,是平面上的不共线三点,动点满足,则点的集合构成的图形一定过的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心解析:设,则均为单位向量.如图1,而,所以,而以为邻边的平行四边形是菱形,其对角线向量平分,因向量与向量共线,即与的平分线向量共线,所以点的集合是的平分线,故答案应选(B). 例2如图2,已知LMN分别为的边BCCAAB上的点,且,若,求证:.解析:如何应用条件是解题的关键,考虑从边向量与的关系入手.由于涉及的向量较多,可选定两个边向量为基底,将其它向量表示为基底向量的线性形式.设,且与不平行,则而,所以.又,同法可得,代入中得因为与不平行,所以,即.2.以“符号语言”为载体,突出向量数性化的符号运算简捷的特点.向量的符号语言,提供了向量的加减数乘向量数量积等运算的符号法则,而这些运算法则和实数代数结构中的加减乘法运算有许多共同之处.在解决问题时,有时不需考虑向量的几何背景,而直接利用符号简单的运算特点,反而会使解答过程简捷明了.例3设向量满足求的值.解析:此题构造图形难度较大,因而选用符号语言直接进行运算.,只需求出的值即可. 又两端平方可求得,故=.例4已知向量满足+,|=|=|=1,求证:是正三角形.解析:此题虽然涉及几何图形,但利用符号语言运算,思考简单,效果更好.要证是正三角形,由于|=|=|=1,因而只需证明即可,由向量夹角公式可知应有.+,两端平方得,同理可推,即成立,则是正三角形可得证.3.以“坐标语言”为主线,内联外延,突出向量运算法则及性质的应用坐标法是几何问题向量代数化的重要思想方法,坐标语言是联系其它知识的桥梁,是数学问题横向转化的一个切入点,在函数不等式几何中具有较强的渗透作用.例5已知向量两两所成的角相等,并且|=1,|=2,|=3,求向量+的长度及与向量的夹角.解析:建立直角坐标系,设且.因为两两所成角相等.若方向相同时,=(2,0),=(3,0),则+=(6,0),|+|=6;与向量的夹角为.若时.,.则+,求得|+|=.因为+),由夹角公式得,=.即两向量的夹角为.例6已知为正数,求函数的最小值.解析:观察式子
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