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第 2 讲 命题与充要条件 （第课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1逻辑联结词的含义与真值表；2四种命题及相互关系；3反证法。难点：1等价命题的转换；2正确使用反证法。考纲要求注意紧扣！1理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2理解四种命题及其相互关系；3掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义；4掌握反证法证题的步骤和方法。说明：前三项要求文科和理科相同，第四项只对理科有要求。命题预测仅供参考！1对于逻辑联结词和命题间的关系一般放进具体的数学问题之中进行考察；2充要条件常以选择题型出现；3反证法难度不会太大。考点热点一定掌握！1概念命题：能够判断真假的语句叫命题，例如“对顶角相等”就是一个命题。命题的分类：按命题的正确与否可以分为真命题和假命题（例如数学中的定义、公理、定理、公式都是真命题）；按是否含有逻辑联结词（“或”、“且”、“非”）可以分为简单命题和复合命题。判断命题真假的方法：对于简单命题，可以根据定义、公理、定理、公式、法则来判断其真假；对于复合命题，可以根据真值表（见右表）来判断其真假。“或”、“且”、“非”实际上与集合中的“交”、“并”、“补”是相互呼应的，判断命题的真假可以借助集合的关系来加以理解。非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假2四种命题原命题：若则；逆命题：若则，把一个命题的条件和结论互换得到一个新命题，则称新命题是原命题的逆命题；否命题：若非则非，把一个命题的条件和结论同时予以否决得到一个新命题，则称新命题是原命题的否命题；逆否命题：若非则非，把否命题的条件和结论互换得到一个新命题，则称新命题是原命题的逆否命题。四种命题之间的关系：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假。两个命题同真假也叫做两个命题等价。四种命题是相对的，任何一个命题都可以作为原命题，然后以此为基础得出其他的三种命题。例如果把“对顶角相等”作为原命题，写出它的其它三种命题。答：逆命题是“相等的角是对顶角”；否命题是“不是对顶角不相等”；逆否命题是“不相等的不是对顶角”。例如果把“对顶角相等”作为原命题，那么“对顶角相等”这个命题是正确的，由此根据原命题与逆否命题等价可知，“不相等的不是对顶角。”这个命题一定是正确的。“相等的角是对顶角”这个命题是错误的，由此根据逆命题与否命题等价可知，“不是对顶角不相等”这个命题一定是错误的。例逆命题和原命题不一定等价的例。若a=b=0，则a+b=0。（a、b为实数）一个四边形只有四个角是直角，才可能是正方形。若a=b=0，则。（a、b为实数）在中，有条件a=b=0，就足够推出结论a+b=0，但并不是非得要a=b=0不可，因为当a=-b时，也可以得出结论a+b=0。我们把这样的条件称为充分条件。注意中使用的是“则”。在中，要四边形为正方形，非得要条件“四个角是直角” 不可，但是即使有了这个条件，四边形也不一定就是正方形，我们把这样的条件称为必要条件。在中，有条件a=b=0，就足够推出结论。而且要成立，还非要条件a=b=0不可，我们把这样的条件称为充要条件。在这种情况下，也可以说“当且仅当a=b=0时，”或“必须且只须a=b=0时，”。点评：正因为逆命题和原命题不一定等价，所以一个定理不一定有逆定理。在证明问题时不能想当然地就把定理的逆命题拿来用。（若已知定理“若则”的逆命题为“若则”，该逆命题若真，则称其为已知定理的逆定理。）例（2003年高考理科题）已知，设 P：函数在R上单调递减，Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围。解：函数在R上单调递减 ，不等式 的解集为 ，3反证法反证法就是把结论的反面作为推理的已知条件，引出矛盾，从而肯定结论。如果一个命题的结论中含有“至多”、“至少”、“唯一”等词语，往往使用反证法；证明存在性问题，一般也使用反证法。反证法的具体步骤是：第一步，假设命题的结论不成立；第二步，从假设出发，通过推理得出矛盾；第三步，由茅盾判定假设不成立，从而判定原命题的结论成立。常用的正面叙述词语和它的否定词语如下表：正等于大于小于是所有的任意两个都是任意的至多有一个至少有一个至多有n个反不等于不大于不小于不是某些某两个不都是某个至少有两个一个也没有至少有n+1个在一个题目中，除开使用“当、仅当、当且仅当、必须、只须、必须且只须”之外，还经常使用“或、且、至少、至多、都、不都、都不”。遇到这些词时，要特别小心，不要搞错了它的含义。 或当几个命题，例如A、B、C中至少有一个成立，但至多也只有一个成立时，我们说“A成立或B成立或C成立”。例如“实数a或大于零，或等于零，或小于零”。 且当几个命题，例如A、B，同时成立时，我们说“A成立且B成立”。例如“实数a大于2且不等于5”。 至少例如“当a、b至少有一个为零时成立”实际上包括三层意思：a=0时成立；b=0时成立；a、b都等于零时成立。 至多例如“三角形中至多有一个角是钝角” 实际上包括二层意思：有一个钝角；没有钝角。 不都“不都”是对“都”的否定。“不都”与“至少一个”的含义相同。例如“函数并不都有反函数”。（就是） 都不“都不”只有一种情况。例如“正方形的四个角都不是钝角”。例给定实数a，a0且a1，设函数y (其中xR且x)，证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴。 分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。证明：设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则xx,假设直线MM平行于x轴，则必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 这与已知“a1”矛盾， 因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。点评：反证法的原理就是利用了逆否命题与原命题同真假，通过证明逆否命题的真，达到证明原命题真。4充分条件和必要条件设、是两个命题，若，则称是的充分条件，是的必要条件（是的必要条件的意思就是若要成立非要成立不可）；若，同时，则称是的充要条件，也称是的充要条件。若，但 ，则称是的充分不必要条件。若，但 ，则称是的必要不充分条件。一个正确的命题，如果它的条件是结论的充要条件，这个命题的逆命题才成立。例如上面的例子（若a=b=0，则，a、b为实数），其逆命题“若，则a=b=0，a、b为实数”是成立。例（2002年广东高考题）已知a0，函数， 当b1时，证明：对任意x0，1，的充要条件是； 当时，讨论：对任意x0，1，的充要条件。 证明：先证明必要性：对任意 ，|f(x)|11f(x) 1|f(1)|ab1 ， ab1 ，对任意 ，|f(x)|1f(x)1， b1 ， f()1a11 ， a ， b1a ；再证明充分性：因为b1 ，ab1 ，对任意 ，可以推出axbx2b(xx2)xx1 ，即axbx21 ，因为b1 ，a，对任意，可以推出axbx2xbx21，axbx21 ， 1f(x)1 ，综上所述，当b1时，对任意，|f(x)|1的充要条件是b1a。 解：因为a0，0b1时，对任意：， ， ，所以，当 a0，0b1时，对任意，|f(x)|1的充要条件是 。能力测试认真完成！1由下列各命题构成“或”、“且”、“非”形式的复合命题中，“或”为真，“且”为假，“非”为真的是 （ ）. ：3是偶数，：4是奇数； . ：3+2=6 ，：53；. ：，： ； . ： ：。2命题“直角三角形的三条边具有勾三、股四、弦五的关系”对吗？为什么？3（初二）在ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，由ADEABC，能推出DEBC吗？ 4（高一）把方程lg(x+11x+8)-lg(x+1)=1变形成为之后，因为x的取值范围扩大了，所以后者一定有增根。这个说法对吗？为什么？ 5（初二）设都是实数，且，又知道它们满足 ，试证：不可能都相等。6. 把0,1,2，9 这10个数字每个用一次而且只用一次，写出几个数能使其和恰为100吗？参考答案仔细核对！12345678判断命题真假四种命题反证法充要条件1由下列各命题构成“或”、“且”、“非”形式的复合命题中，“或”为真，“且”为假，“非”为真的是. ：3是偶数，：4是奇数； . ：3+2=6 ，：53；. ：，： ； . ： ：。解：由真值表易知假真，故应选。2命题“直角三角形的三条边具有勾三、股四、弦五的关系”对吗？为什么？答案：不对。误答：对。错误原因分析：命题“如果三角形的三条边具有勾三、股四、弦五的关系，则此三角形是直角三角形”是成立的，它的逆命题“直角三角形的三条边具有勾三、股四、弦五的关系”不一定成立。实际上，条件“勾三、股四、弦五”不是结论“直角三角形”的充要条件，所以该逆命题不成立。3（初二）在ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，由ADEABC，能推出DEBC吗？ 答案： 不能。误答：能。错误原因分析：只考虑到下面两图中的第一种。4（高一）把方程lg(x+11x+8)-lg(x+1)=1变形成为之后，因为x的取值范围扩大了，所以后者一定有增根。这个说法对吗？为什么？ 答案：不对，因为一个方程变形为另一个方程，虽然x的取值范围扩大了，但它可能增根，也可能不增根。所以这里只能说“后者可能有增根”，尽管实际上确实有增根。5（初二）设都是实数，且，又知道它们满足 ，试证：不可能