年北师大版选修44 1.1平面直角坐标系 课件（43张）.ppt

第一讲坐标系一平面直角坐标系 1 直角坐标系 1 数轴 定义 规定了原点 正方向和 的直线 对应关系 数轴上的点与 之间一一对应 单位长度 实数 2 直角坐标系 定义 在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系 简称直角坐标系 相关概念 数轴的正方向 水平放置的数轴 的方向 竖直放置的数轴 的方向分别是数轴的正方向 向右 向上 x轴或横轴 坐标轴 的数轴 y轴或纵轴 坐标轴 的数轴 坐标原点 坐标轴的 对应关系 平面直角坐标系内的点与 之间一一对应 水平 竖直 公共原点o 有序实数对 x y 公式 设平面直角坐标系中 点p1 x1 y1 p2 x2 y2 线段p1p2的中点为p 填表 2 平面直角坐标系中的伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 点拨 1 平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置 刻画方程的曲线形状和位置的平台 建立平面直角坐标系 常常利用垂直直线为坐标轴 充分利用图形的对称性等特征 2 伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换 以及曲线的伸缩变换 曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化 通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系 自我检测 1 在平面直角坐标系中 到两坐标轴距离相等的点的轨迹是 a 圆b 抛物线c 两条平行直线d 两条相交直线 解析 选d 到两坐标轴距离相等的点的轨迹是第一 三象限的角平分线和第二 四象限的角平分线 为两条相交直线 2 在平面直角坐标系中 方程3x 2y 1 0所对应的直线经过伸缩变换后得到的直线方程为 a 3x 4y 1 0b 3x y 1 0c 9x y 1 0d x 4y 1 0 解析 选c 由伸缩变换代入方程3x 2y 1 0 得9x y 1 0 故经过伸缩变换后得到的直线方程为9x y 1 0 3 将复数z 1 i i为虚数单位 对应的向量绕起点逆时针旋转30 所得复数为 解析 如图 在复平面内 复数z 1 i i为虚数单位 对应的向量 1 2 cos60 sin60 将向量 1 绕起点逆时针旋转30 所得向量的坐标为 2 cos90 sin90 0 2 所以对应的复数z 2i 答案 2i 4 在同一平面直角坐标系中 曲线y cos2x经过伸缩变换后变换为 解析 由得代入曲线y cos2x 得y cosx 即y cosx 答案 y cosx 类型一坐标法求轨迹方程 典例 如图 在以点o为圆心 ab 4为直径的半圆adb中 od ab p是半圆弧上一点 pob 30 曲线c是满足 ma mb 为定值的动点m的轨迹 且曲线c过点p 建立适当的平面直角坐标系 求曲线c的方程 审题路线图 曲线c上的点满足的条件 ma mb 为定值 利用待定系数法求其方程 解析 以o为原点 ab od所在直线分别为x轴 y轴 建立平面直角坐标系 则a 2 0 b 2 0 d 0 2 p 1 依题意得 ma mb pa pb 所以曲线c是以原点为中心 a b为焦点的双曲线 设实半轴长为a 虚半轴长为b 半焦距为c 则c 2 2a 2 所以a2 2 b2 c2 a2 2 所以曲线c的方程为 方法技巧 1 建立平面直角坐标系的技巧 1 如果平面几何图形有对称中心 可以选对称中心为坐标原点 2 如果平面几何图形有对称轴 可以选择对称轴为坐标轴 特别提醒 建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上 2 运用解析法解决实际问题的步骤 1 建系 建立平面直角坐标系 建系原则是利于运用已知条件 使表达式简明 运算简便 因此 要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴 2 建模 选取一组基本量 用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程 3 运算 通过运算 得到所需要的结果 4 回归 回归到实际问题作答 变式训练 o1与 o2的半径都是1 o1o2 4 过动点p分别作 o1 o2的切线pm pn m n分别为切点 使得 pm pn 建立适当的平面直角坐标系 求动点p的轨迹 解析 以o1o2为x轴 以o1o2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 两圆心分别为o1 2 0 o2 2 0 设p x y 所以 pm 2 po1 2 mo1 2 x 2 2 y2 1 pn 2 po2 2 no2 2 x 2 2 y2 1 又 pm pn 所以 pm 2 2 pn 2 即 x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 x2 12x y2 3 0 所以 x 6 2 y2 33 所以点p的轨迹是以 6 0 为圆心 为半径的圆 补偿训练 四边形abcd为矩形 p为矩形abcd所在平面内的任意一点 求证 pa2 pc2 pb2 pd2 证明 如图所示 以a为原点 ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴 建立 平面直角坐标系 设a 0 0 b a 0 c a b d 0 b p x y 则pa2 x2 y2 pb2 x a 2 y2 pc2 x a 2 y b 2 pd2 x2 y b 2 所以pa2 pc2 2x2 2y2 2ax 2by a2 b2 pb2 pd2 2x2 2y2 2ax 2by a2 b2 故pa2 pc2 pb2 pd2 类型二伸缩变换公式与应用 典例 求曲线x2 y2 1经过 变换后得到的新曲线的方程 审题路线图 表示出x y 代入曲线方程 解析 曲线x2 y2 1经过 变换后 即代入曲线方程 可得即所求新曲线的方程为 延伸探究 1 若曲线c经过变换后得到圆x2 y2 1 求曲线c的方程 解析 将代入到方程x 2 y 2 1 得即曲线c的方程 2 若圆x2 y2 1经过变换 后得到曲线c 求变换 的坐标变换公式 解析 设 代入到c 中得与圆的方程比较得 5 4 故 的变换公式为 方法技巧 与伸缩变换相关问题的处理方法 1 已知变换前的曲线方程及伸缩变换 求变换后的曲线方程的方法 利用伸缩变换用 x y 表示出 x y 代入变换前的曲线方程 2 已知变换后的曲线方程及伸缩变换 求变换前的曲线方程 利用伸缩变换用 x y 表示 x y 代入变换后的曲线方程 3 已知变换前后的曲线方程求伸缩变换 将变换前后的方程变形 确定出 x y 与 x y 的关系即为所求的伸缩变换 也可用待定系数法 补偿训练 1 2017 蚌埠高二检测 在同一平面直角坐标系中 经过伸缩变换后 曲线c变为曲线x 2 y 2 1 则曲线c的方程为 解析 选b 设曲线c上任意一点的坐标为p x y 按 变换后的对应的坐标为p x y 代入x 2 y 2 1 得16x2 9y2 1 2 将曲线y sin 2016x 按 变换后的曲线与直线x 0 x y 0围成图形的面积为 解析 设曲线y sin 2016x 上任意一点的坐标为p x y 按 变换后的对应点的坐标为p x y 由 代入y sin 2016x 得2y sinx 所以y sinx 即y sinx 所以y sinx与直线x 0 x y 0围成图形的面积为答案 1 核心素养培优区 易错案例 伸缩变换的应用 典例 将曲线按照 变换为曲线求曲线y cos4x按照 变换后的曲线的最小正周期与最大值 失误案例 把代入得故 所以 代入y cos4