数学北师大版七年级下册倍长中线法.docx

倍长中线法的应用适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点1.中点的定义2.中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系3.三角形中线的作用：等分线段4.全等三角形中中线的作用：倍长中线（延长中线至*，连接*，利用SAS证明三角形全等）教学目标熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法.教学重点在实际问题中能对中线倍长法模型的建立，利用中线倍长法解决问题.教学难点利用中线倍长法构造全等三角形解决问题.教学过程一、复习引入1.如图1，已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF2.如图2，AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF求证：AM是ABC的中线3.如图3，AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF4.如图4：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE5. 已知：如图5所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF DBCcAFE图1 图2 图3 图4 图5二、知识讲解考点1证明三角形全等的方法：SAS考点2证明线段中的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.考点3平行线的性质：两直线平行,同位角相等. 两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补.三、例题精析考点一证明线段中的不等关系例1 已知：中，,是中线 （1） 求证： （2）边上的中线AM的长的取值范围是什么？ 【规范解答】如图所示，延长到，使，连结，AM为BC中线，BMMC 在ACM和DBM中 （SAS），在中， 【总结与反思】将AM边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围； 中线倍长法的具体应用：延长AM至D，使DM=AM，连接BD；利用SAS证明三角形全等； 将线段AC转换成BD，在ABD中利用三边关系求出2AM取值范围.考点二证明两个角相等例2如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点， 若，求证：为的角平分线【规范解答】延长到点，使，连结 在和中 ， 而, 又,， ,为的角平分线 【总结与反思】题中E为BC中点，考虑用中线倍长法得到，把CF线段转移到中，然后根据等腰三角形的性质及平行线的性质转化角得到结论。考点三证明线段之间的关系例3如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于， 求证：【规范解答】延长到，使，连结，又， 【总结与反思】作倍长AD，得到，可以把AC转移到BDG中，利用等腰的性质得到两边相等。四、课堂运用【基础】1、如图，在ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )A.2AB12 B.4AB12 C.9AB19 D.10AB19 【答案】C【规范解答】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明ABDECD，则AB=CE，在ACE中，根据三角形的三 边关系，得AE-ACCEAE+AC，即9CE19.则9AB19.故选C. 2、已知为的中线，的平分线分别交于、交于求证：【规范解答】延长到，使，连结、 在三角形和中 ， 又，的平分线分别交于、交于， ，利用证明，在中，3、 如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F， 求证：AEF=EAF【规范解答】延长AD到G，使DG=AD，连结BG D是BC中点，BD=CD 在ACD和BGD中 ACDBGD，BG=AC，EAF=BGE. BE=AC,BE=BG BEG=BGE, BEG=AEF AEF=EAF.4、如图，点是中点，求证：【规范解答】延长AD到F，使EF=DG，连结CF E是BC中点，BE=CE 在ABE和CEF中 ABECEF，AB=CF，BAE=CFE BAE=CDE，CFE=CDE CD=CF AB=CD.【拔高】1、如图所示，是的中点，求证【规范解答】如图所示，设交于，倍长中线到，连接交于点，交于点容易证明则，从而，而，故从而，故而故，亦即2、 已知ABC，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G， 求证GD=GE【规范解答】法(一)：过E作EFAB，交BC的延长线于F，则B=F3=4 ，3=B 4=FCE=EF 在GEF与GDB中，GFEGBD 证明(二)：过D，E分别作直线DKCB，EFCB1=2 2=B 1=B又 BD=CE RtBDKCEF DK=EF又3=4RtDKGRtEFGGD=GE证明(三)：过D 点作DKAC交BC于K，过D 点作DFBC交AC于F 四边形DKCF是开行四边形 DK=FC