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第4课时 根与系数的关系（韦达定理）一、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明1：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”说明2：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论二、例题讲解：例1：若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里，可以利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理体现了整体思想例2：已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论解：(1) 方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积为5(2) 由得知：当时，所以方程有两相等实数根，故；当时，由于 ，故不合题意，舍去综上可得，时，方程的两实根满足说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足例3：已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解：(1) 假设存在实数，使成立 一元二次方程的两个实数根 ， 又是一元二次方程的两个实数根 ，但 不存在实数，使成立(2) 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在 (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法三、巩固练习：1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 .B2若是方程的两个根，则的值为 .A3已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于 .A4若实数，且满足，则的值为 .A5若方程的两根之差为1，则的值是 _ 6设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _ ，= _ 7已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值8已知关于的方程有两个不相等
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