衔接教材修订稿.doc

磨刀不误砍柴 -浅谈初高中衔接内容的教学近年来，由于课程改革实验进度不一致，初、高中数学课程改革存在着衔接问题，直接影响到我们正常的课堂教学目前，“九年制义务教育”新课改教材，其教学内容作了较大程度的压缩和删减，教材叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记忆，学生掌握比较方便但是家长的愿望、升学的压力，学校之间、班级之间的竞争，驱使初中数学教学普遍执行的是课程标准的基本要求，即“课程标准中明确规定的要求”，有的甚至在执行中考必考的要求我们看到了初中新课程带来的普及性教育成果，每个学生几乎都是三位数，校校之间、班班之间平均分差距也不大。比较初中的要求和高中的教学内容，我得到下列两个对照表如下表的比较：表1 高中教师认为初中学生已经学过，但初中已删除需衔接的内容 模块具体衔接内容与要求常用乘法公式与因式分解方法立方和公式、立方差公式、两数和立方公式、两数差立方公式、三个数的和的平方公式，推导及应用(正用和逆用)，熟练掌握十字相乘法、简单的分组分解法，高次多项式分解(竖式除法)分类讨论含字母的绝对值，分段解题与参数讨论，含字母的一元一次不等式二次根式二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用，根式的化简与运算代数式运算与变形分子(母)有理化，多项式的除法(竖式除法)，分式拆分，分式乘方方程与方程组简单的无理方程，可化为一元二次方程的分式方程，含绝对值的方程，含有字母的方程，双二次方程，多元一次方程组，二元二次方程组，一元二次方程根的判别式与韦达定理，巩固换元法一次分式函数在反比例函数的基础上，结合初中所学知识(如：平移和中心对称)来定性作图研究函数的图象和性质，巩固和深化数形结合能力三个“二次”熟练掌握配方法，掌握图象顶点和对称轴公式的记忆和推导，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，用根的判别式研究函数的图象与性质，利用数形结合解决简单的一元二次不等式平行与相似介绍平行的传递性，平行线等分线段定理，梯形中位线，合比定理，等比定理，介绍预备定理的概念，有关简单的相似命题的证明，截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理 直角三角形中的计算和证明补充射影的概念和射影定理，巩固用特殊直角三角形的三边的比来计算三角函数值，识记特殊角的三角函数值，补充简单的三角恒等式证明，三角函数中的同角三角函数的基本关系式图形补充三角形面积公式(两边夹角、三边)和平行四边形面积公式，正多边形中有关边长、边心距等计算公式,简单的等积变换，三角形四心的有关概念和性质，中点公式，内角平分线定理，平行四边形的对角线和边长间的关系圆圆的有关定理：垂经定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理；相切作图，简单的有关圆命题证明，介绍四点共圆的概念及圆内接四边形的性质，巩固圆的性质，介绍圆切角、圆内角、圆外角的概念，等分圆周，三角形的内切圆，轨迹定义其它介绍锥度、斜角的概念，空间直线、平面的位置关系，画频数分布直方图表2 高中教师认为学生掌握了，初中已降低要求的内容知识点初中存在但已降低要求的内容数有理数混合运算只强调运算以三步为主，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力减弱，减弱算术平方根的3条性质式因式分解只要求提取公因式法、公式法(平方差、完全平方)，直接用公式法不超过两次，多项式相乘仅要求一次式间的相乘，无除法，没有最简二次根式的概念，根式化简较为简单，要求了解二次根式的概念，理解其加、减、乘、除运算法则，不再出现一次式这一概念，根式的运算要求低；绝对值符号内不能含有字母一元一次不等式一元一次不等式组限2个不等式，对不等式的整数解没有明确要求三个“二次”配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，在二次函数中也不要求用配方法求顶点、最值，只要求用公式求，且又不要求记忆公式和推导（中考试卷中会给出公式），没有用根的判别式研究函数性质证明删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；反证法，初中只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；辅助线，中考只要求添加一条辅助线其它弱化概念，对有关术语如总体、个体、样本等概念不要求严格表述，课标中甚至没有“样本容量”的概念，几何中大大减少定理的数量从表1和表2中可以看出，相关内容初中学得简单甚至不学，而高中又不设置这些内容，势必造成知识的断档，也就可以理解学生为何在课堂上“屡屡让教师失望”，其实他(她)们有难言的苦衷，如果教师们不加以注意，不把这一课补上，依然用旧的认知，老的观点来对待你的学生，教学上就会处处掣肘，学生每每被简单的拦路虎挡住，失去信心，丧失兴趣，必将造成不可挽回的损失，留下终身遗憾，所以，要搞好这部分知识的衔接，就要梳理出这些知识点，形成教材，给学生不上这些不应该欠缺的重要内容（见附录）。同时，高中的教学方法和初中的有很大差别，也可以利用这些学生有一些印象的教学内容，很快的适应高中的教法和学法，为后面的学习做一个铺垫。 初 高 中 衔 接 教 材第一节 乘法公式与根式一、学习目标1了解乘法公式，并会应用公式化简求值；2理解根式的意义，并会运用有理化的方法进行化简求值.二、探究导航（一）复习回顾我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ： （2）完全平方公式： （3）二次根式的意义： （二）自学探究我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（）本组公式要记住。（1）立方和公式 = ；（2）立方差公式 = ；（3）三数和平方公式 = ；（4）两数和立方公式 = ；（5）两数差立方公式 = 三、自主探究（公式的应用）1、直接用公式化简例1 计算：跟踪练习（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数（B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数例2计算： 跟踪练习（1）_ _；（2）若，则的取值范围是_ _ _例3 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.跟踪练习 2 （填“”，或“”）例 4 已知，求的值 跟踪练习，则_ _ 2、逆用公式化简例5化简跟踪练习化简= 四、课堂评价练习1若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）2等于 （ ）（A） （B） （C） （D）3（ ）；4 = ，= （）5 6 已知，求的值 7已知a+b+c=4,ab+ac+bc=4,求的值。第二节 分解因式一、学习目标掌握因式分解的主要方法提取公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法二、探究导学我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ： （2）完全平方公式： （3）一元二次函数的表示方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。三、自主探究1十字相乘法：十字相乘法能把某些二次三项式分解因式，简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使+正好是一次项b，那么可以直接写成结果: =(）(），在运用这种方法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12；（3）； 跟踪练习1、把下列各式分解因式：（1）_.（2）_.（3）_.（4）_.（5）_.2提取公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。确定公因式的一般步骤（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-提取。（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。例2 分解因式：（1）（2） 跟踪练习1、_.2、_.3、_.4、= 5、计算= 3：公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例3 分解因式：（1） （2）跟踪练习把下列各式分解1、 2、3、 4、4分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)。 四项的有二二和一三分法，六项的有二二二和三三分法。例4 （1） （2） 跟踪练习：用分组分解法分解多项式（1） （2）5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解二次三项式ax2+bx+c(a0)分解因式的方法有三种，即1利用完全平方公式；2十字相乘法：即x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)；acx2+(ad+bc)x+bd(ax+b)(cx+d)3求根法：ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2)，(1)当b2-4ac0时，可在实数范围内分解；(2)当b2-4ac0时，在实数范围内不能分解例5把下列关于x的二次多项式分解因式跟踪练习关于x的二次三项式因式分解 四、课堂评价练习1 多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）3在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； 4若，求的值。5分解因式：x2x(a2a)2三边，满足，试判定的形状第三节 一元二次方程一、 学习目标1会根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的个数；2能利用一元二次方程根与系数的关系求与一元二次方程有关的参数.二、探究导航（一）复习回顾1一元二次方程的形式及其判别式是：2一元二次方程的判别式的符号与方程解的关系：3一元二次方程的求根公式为： （二）自学探究你能借助一元二次方程的求根公式，探究+，与系数的关系吗？三、自主探究1、利用判别式确定方程根的个数。例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论 跟踪练习1方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根2若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2、方程根的利用-求参数值。例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值跟踪练习已知两个数的和为4，积为12，求这两个数3、利用根的特征求参数的值例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可跟踪练习求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数4、方程根与系数的应用。例4 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23跟踪练习1若m，n是方程x22005x-10的两个实数根，则m2nmn2-mn的值等于 2如果a，b是方程x2x-10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 四、课堂评价练习1已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）22下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个3关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或14若关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为 （ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）05方程2x2x40的两根为，则22 6关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值7、若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围第四节 二次函数的三种表示方式一、学习目标1了解二次函数的三种表示形式；2会根据所给的条件求一元二次函数的解析式.二、探究（一）复习回顾通过前面的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：y=ax2bxc(a0)；2顶点式：y=a(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)（二）探究新知除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以表示二次函数的第三种方法，交点式： 今后，我们在求二次函数的表达式时，就是要用待定系数法，可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题三、例题例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式跟踪练习已知二次函数在x3处取得最小值5，且经过点(1，11)，求二次函数的解析式.例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式跟踪练习二次函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2)，求此二次函数的解析式.例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式通过上面的几道例题，你能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ 跟踪练习求图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)的二次函数的解析式.四、评价练习 1函数yx2x1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 2函数y(x1)22的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)3已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) 4 二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 5 已知某二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 6已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 7已知二次函数ya(x)2+25的最大值为25，且方程a(x)2+250两根的立方和为19，求函数表达式第五节 一元二次不等式解法一、学习目标会求一元二次不等式以及与一元二次不等式有关的问题.二、复习回顾1含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式。2一元二次不等式解法。求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式左边并进行因式分解分类讨论求出解集。解法（1）解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集；（2）配方法（3）通过一元二次函数图象进行求解。可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图像法进行解题，使得问题简化。3数轴穿根：用根轴法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。做法:：1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的)；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍)；4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使不等式为0的根。三探究（一）探究1二次函数yx2x6的对应值表与图象如下：x32101234y60466406结合图象，你能观察到函数值在哪个范围内为正，哪个范围内为负吗？（二）探究2如何求解一元二次不等式的解？三例题 例1 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20 跟踪练习解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20例2 已知不等式的解是求不等式的解例3 解关于的一元二次不等式为实数).跟踪练习解关于x的不等式x22x1a20（a为常数）例4 已知函数yx22xa (a为常数)在2x1上的最小值为n，试将n用a表示出来四、评价练习1解下列不等式：（1） 3x22x10； （2）3x240； （3）2xx21； （4）4x202解关于x的不等式x2(1a)xa0（a为常数）3试求关于x的函数yx2mx2在0x2上的最大值k阅读材料1 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图3.1-1图3.1-2如图3.1-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.1-2）是三角形中的三种重要线段. 重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.图3.1-3例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点.求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE/AB，且，且相似比为1：2，图3.1-4.设AD、CF交于点，同理可得，则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）图3.1-5例2 已知的三边长分别，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.图3.1-6证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，同理，BD=BF，CD=CE.即.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O为三角形ABC的重心和内心.求证 三角形ABC为等边三角形.证明 如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.图3.1-7，即.同理可得，AB=BC.为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8