高中数列经典例题汇总

叮叮小文库数列典型例题选讲1 已知数列为正项等比数列,(1)求的通项公式; (2)设的前n项和为,求【解析】 2 设数列的前项和为 已知(I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式【解析】(I)由及,有由,. 则当时,有.-得又,是首项,公比为2的等比数列.(II)由(I)可得,数列是首项为,公差为的等比数列. , 3 已知等比数列中,.()若为等差数列,且满足,求数列的通项公式;()若数列满足,求数列的前项和.【解析】()在等比数列中,. 所以,由得,即, 因此, 在等差数列中,根据题意, 可得, 所以, ()若数列满足,则, 因此有 4 设数列的前项和为,满足(,t为常数) ,且.()当时,求和; ()若是等比数列,求t的值; ()求.【解析】解法一()当时,当时, 两式相减得(*) 时, ,得 因为,得 ,故 (*) 因为,所以, ()由(*)可知(),若是等比数列,则成等比数列 即 因为,所以 即,所以或.经检验,符合题意 ()由(*)可知() 当时,此时, 当时, 此时, 所以 解法二()因为 及,得 所以 且,解得 同理 ,解得 ()当时, 得 , 两式相减得(*) 即 当t=0时,显然是等比数列 当时,令,可得 因为 是等比数列,所以为等比数列,当时,恒成立, 即 恒成立,化简得 恒成立, 即,解得, 综合上述,或 ()当时,由(*)得 数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以 当时,由(*)得, 设(k为常数) 整理得, 显然 所以, 即数列是以为首项,为公比的等比数列 所以,即 所以 所以 5 已知数列的前n项和为, 且满足,( I ) 求的值; (II) 求证数列是等比数列; ( III ) 若, 求数列的前n项和.【解析】(I)因为,令, 解得 再分别令,解得 (II)因为,所以, 两个代数式相减得到 所以 , 又因为,所以构成首项为2, 公比为2的等比数列 (III)因为构成首项为2, 公比为2的等比数列,所以,所以 因为,所以 所以 令 因此 所以 6 已知成等差数列.又数列此数列的前n项的和Sn()对所有大于1的正整数n都有.(1)求数列的第n+1项; (2)若的等比中项,且Tn为bn的前n项和,求Tn.【解析】(1)成等差数列, , 是以为公差的等差数列. , (2)数列的等比中项, 7 设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且(1)求数列的通项公式;(2)若为数列的前项和,求证【解析】(1)由 (2)数列为等差数列,公差 从而 从而 8 在数列中,(1)设,求数列的通项公式(2)求数列的前项和【解析】(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式 ()(II)由(I)知,=而,又是一个典型的错位相减法模型,易得 =9 ,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式; (2)记=,求数列的前项和.【解析】(1)由.且得 , 在中,令得当时,T=,两式相减得, (2), , =2=, 10已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,点 在直线上()求和的值; ()求数列,的通项和; () 设,求数列的前n项和【解析】(1)是与2的等差中项, 解得, 解得(2) 又 又 即数列是等比数列 又点在直线上, ,即数列是等差数列,又(3)因此由错位相减法得, 11已知在等差数列中,前7项和等于35,数列中,点在直线上,其中是数列的前项和(1)求数列的通项公式; (2)求证数列是等比数列;(3)设为数列的前项和,求并证明;【解析】(1)设数列的公差为d,则由题意知得 (2)点在直线上 - , - -得, 又当时, 数列是以为首项,为公比的等比数列 (3)由(2)知, - - 得, = = 由知的最小值是 12设数列的前项和为,且满足.()求证数列为等比数列; ()求通项公式; ()设,求证. 【解析】证明(), . 又, 是首项为,公比为的等比数列且. ()时, 时, . 故. () . 【命题意图】 数列既是高中数学的重点,也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前项和公式,能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点与的关系(注意讨论);递推猜想数学归纳法证明;迭加;迭乘;裂项求和;错位相减等;数列不等式证明中注意放缩法的运用. 13已知等差数列an的首项0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列bn的第一项、第二项、第三项(I)求数列an和bn的通项公式;(II)设数列cn对任意的,求数列cn的前n项和【解析】(I)由已知 数列an的通项公式;数列bn的通项公式 (II)由 ) 又 所以数列的前n项和 14设数列的首项,前项和为,且点在直线(为与无关的正实数)上.() 求证数列是等比数列;() 记数列的公比为,数列满足.设,求数列的前项和;() 在()的条件下,设,证明.【解析】()因为点在直线(为与无关的正实数)上, 所以,即有. 当时,. 由,解得,所以. 当 -,得 ,整理得. 综上所述,知 ,因此是等比数列 () 由() 知,从而, 所以. 因此,是等差数列,并且. 所以, () 由()知,则. 将用二项式定理展开,共有项,其第项为 , 同理,用二项式定理展开,共有项,第项为,其前项中的第项为, 由, 得又, 15已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.()求数列的通项公式;()若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.【解析】()设等比数列的公比为,依题意有, (1) 又,将(1)代入得.所以. 于是有 解得或 又是递增的,故 所以 (), 故由题意可得,解得或.又, 所以满足条件的的最小值为13 16已知数列中,且当时,函数取得极值()求数列的通项; ()在数列中,求的值【解析】() 由题意 得 , 又 所以 数列是公比为的等比数列 所以 () 因为 , 所以 , 叠加得 把代入得 = 17已知数列的前项和为,且.()求数列的通项公式; ()令,求数列的前项和为.【解析】 ()当时, 当时, 即; ()当时, 当时, 令 利用错位相减法解得 所以 18等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （11）当b=2时，记 证明对任意的 ，不等式成立【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19已知数列的前项的和为,对一切正整数都有.()求数列的通项公式; ()当,证明.【解析】()令,则, ()证明又, 20已知数列中,点()在直线上,其中()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由【解析】(1)由已知得 又是以为首项,以为公比的等比数列 (2)由(1)知,将以上各式相加得 (3)解法一存在,使数列是等差数列. 数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当,即时,数列为等差数列 21数列中,且(1)求数列的通项公式;(2)设求(3)设,是否存在最大整数m,使得对 有成立?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由【解析】(1)由题意,为等差数列,设公差为d由题意得(2)若(3)若对任意成立,即对任意成立,的最小值是,的最大整数值是7即存在最大整数m=7,使对任意,均有22数列的通项，其前项和为.（1）求； （2）令，求数列的前n项和【解析】由于，故故 （2），两式相减得故23各项均为正数的数列,且对满足的正整数,都有(1)当,时,求通项; (2)证明对任意,存在与有关的常数,使得对于每个正整数,都有.【解析】(1)由得,将,代入上式化简得,所以. 故数列为等比数列,从而,即.可验证,满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为,则.考察函数,则在定义域上有故对,恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.24设数列满足其中为实数,且()求数列的通项公式()设,求数列的前项和;()若对任意成立,证明【解析】 (1) 方法一 当时,是首项为,公比为的等比数列 ,即 当时,仍满足上式 数列的通项公式为 方法二 由题设得当时, 时,也满足上式 数列的通项公式为 (2) 由(1)得 (3)由(1)知 若,则 由对任意成立,知下面证,用反证法 方法一假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大 不能对恒成立,导致矛盾 方法二假设, 即 恒成立 (*) 为常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾, 25已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式； （2）证明.【解析】（1）设直线，联立得，则，（舍去），即，（2）证明由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 26已知函数R,数列,满足条件(N*),.()求数列的通项公式;()求数列的前项和,并求使得对任意N*都成立的最大正整数;()求证.【解析】()由题意, , , , 数列是首项为2,公比为2的等比数列 . (), , N*. 当时,取得最小值 由题意得,得. Z, 由题意得 ()证明 . (N*) 27已知等差数列的公差为d(d0),等比数列的公比为q(q1)设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (I)若= 1,d=2,q=3,求 的值;(II)若=1,证明(1-q)-(1+q)=,n; () 若正数n满足2nq,设的两个不同的排列, , 证明【解析】 ()解由题设,可得 所以, ()证明由题设可得则 式减去式,得 式加上式,得 式两边同乘q,得 所以, ()证明 因为所以 (1)若,取i=n (2)若,取i满足且 由(1),(2)及题设知,且 当时,得 即, 又所以 因此 当同理可得,因此 综上, 28已知点P在曲线C上,曲线C在点P处的切线与函数的图象交于点A,与x轴交于点B,设点P的横坐标为t,点AB的横坐标分别为xAxB,记.(1)求的解析式;(2)设数列an满足,求数列an的通项公式;(3)在 (2) 的条件下,当1 k 3时,证明不等式.【解析】(1) 切线方程为与y = kx联立得,令y = 0得xB = 2t (2) 由 两边取倒数得 是以为首项,为公比的等比数列(时)或是各项为0的常数列(k = 3时),此时an = 1时 当k = 3时也符合上式 (3) 作差得 其中由于 1 k 对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有当n为偶数时，设则当n为奇数时，设则 0，所以aB猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（3）若b的值使得xn0，nN*由xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0xn3b, nN*, 特别地，有0x13B 即0b0.又因为xk+1=xk(2xk)=(xk1)2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.【常见误区】1第项与项数之间的对应关系搞错；2不能正确地应用前和公式来求通项公式.【基础演练】1已知数列满足，则当时，（ ）A B C D2816357492将n2个正数1，2，3，n2填入nn方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻 方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可知f(3)=15，则f(4)=（ ）A32B33C34D353一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7 则第9行中的第4个数是（ ）A132 B255C259D2604如果且,则（）A2006 B2005 C2004D10035(2004江苏) 设数列an的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n1)，且，则的数值是_.6已知数列，且数列的前n项和，那么n的 值为 7设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数（整 点即横坐标和纵坐标均为整数的点） （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为Sn，且.若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围8（2002上海）已知函数f（x）abx的图象过点A（4，）和B（5，1）（1）求函数f（x）的解析式；（2）记anlog2f（n），n是正整数，Sn是数列an的前n项和，解关于n的不等式anSn0；（3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列anSn中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.9（2002上海春）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分 配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第 1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给 每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. （1）设ak（1kn）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明） （2）证明akak1（k1，2，n1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）对常数b，当n变化时，求Pn（b）32 等差数列的通项与前n项的和【考点透视】一、考纲指要 1理解等差数列的概念;2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.二、命题落点1考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2；2考查等差数列的前项和公式及其性质.如例3.【典例精析】例1：（2005湖南）已知数列为等差数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）证明解析：（1）设等差数列的公差为D由即d=1.所以即（2）因为，所以 例2： (2005江苏）设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（1）求A与B的值； （2）证明数列an为等差数列； （3）证明不等式对任何正整数m、n都成立. 解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知解得 A=-20， B=-8。（2）由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, -,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20. -,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因为 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.又因为 (5n+2),所以 an+3-2an+2+an+1=0 ,即 an+3-an+2=an+2-an+1, .又 a3-a2=a2-a1=5,所以数列为等差数列 （3）由（）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.要证了 只要证5amn1+aman+2，因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2因为=20m+20n-37,所以命题得证.例3：（2005上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解析：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则 令 即到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400(1.08)n1由题意可知，有250+(n1)50400 (1.08)n1 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【常见误区】1容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；2不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.【基础演练】1（2006陕西）等式sin(+)=sin2成立是、成等差数列的（ ）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件2（2005山东）是首项，公差的等差数列，如果，则序号等 于（ ）A667 B668 C669 D6703 (2004福建)设Sn是等差数列的前n项和，若（ ）A1B1C2D4( 2004重庆) 若是等差数列，首项，则使前n 项和 成立的最大自然数n是（ ）A4005B4006 C4007D40085（2003上海）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可 求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.6（2001上海）设数列an的通项为an2n7（nN*），则|a1|a2|a15| 7 (2004全国1) 等差数列的前n项和记为Sn. 已知 （1）求通项； （2）若Sn=242，求n. 8( 2004全国3 )设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且 ，求数列的通项公式.9（2001全国）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550. （1）求a及k的值； （2）求.33 等比数列的通项与前n项的和【典例精析】例1：（2005山东）21 已知数列的首项，前项和为，且（）（1）证明数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数解析：（1）由已知，可得两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列（2）由（）知因为所以，从而=-= 例2:(2005天津)若公比为的等比数列的首项且满足（1）求的值； （2）求数列的前项和解析:(1)由题设，当时，由题设条件可得，因此，即解得c1或(2)由()，需要分两种情况讨论，当c1时，数列是一个常数列，即 (nN*)这时，数列的前n项和当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nN*)这时，数列的前n项和式两边同乘，得 式减去式，得，所以(nN*)例3：(北京)设数列 记 （1）求a2，a3； （2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求解析：（1）显然（2）因为,所以所以猜想：是公比为的等比数列.证明如下：因为所以是首项为,公比为的等比数列.（3）【常见误区】1不能完整理解等比数列的前n项和公式：，忽视的情形.2要掌握以下几种情形的极限的求法.利用利用（）要掌握分类讨论的背景转化方法.如时转化为.【基础演练】1（2005江苏）在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4 a5（ ）A33 B72 C84 D1892已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是（）A B CD不确定3（2004全国卷3）等比数列中， ，则的前4项和为（ ）A 81 B 120 C168 D 192 4（2004浙江）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=（ ）A 4 B 6 C 8 D 105（2004全国1）已知等比数列则该数列的通项= .6 (2004北京)在函数中，若a，b，c成等比数列且则 有最_值（填“大”或“小”），且该值为_.7（2005浙江）已知实数成等差数列，成等比数列，且，求8(2004全国2)已知等差数列， （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和Sn.9（2005全国3）在等差数列中，公差的等差中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项34 数列的的前n项的和例1：已知：.（1）当a = b时，求数列的前n项和； （2）求.解析：（1）当时，它的前项和 两边同时乘以，得 ，得： 若，则：得：若，则（2）当时，当时，设（），则： 此时当时，即时，；当时，即时，例2:（2005福建）已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （1）求q的值； （2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解析：(1)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,a10,2q2-q-1=0, q=1或q=(2)若q=1,则.当n2时,故；若q=,则,当n2时, 故对于nN+,当2n9时,Snbn；当n=10时, Sn=bn；当n11时, Snbn例3：（2005湖北）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和Tn 解析：（1）当故an的通项公式为的等差数列.设bn的通项公式为故（2）两式相减得【常见误区】1在应用时忽视条件；2在含字母参数的等比数列求和时，应分和两种情况进行讨论.3不能正确的裂项，求倒或错位出现问题.【基础演练】1（2005重庆）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图 3-4-1所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ）A4B5C6D7 图3-4-12（2001天津）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A等比数列，但不是等差数列B等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D既非等比数列又非等差数列3等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中也是 常数的是（ ）AS6BS11CS12DS134等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则Sn等于（ ）A BC2D252005湖北）设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .6(2004北京) 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，且这个数列的前21项和的值为_.7（2005辽宁）已知函数设数列满足，数列满足， （1）用数学归纳法证明； （2）证明 8已知数列的前n项和为 （1）求； （2）求证数列是等比数列.9(2004全国4 ) 已知数列为等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，证明35 递推数列 例1：（2005重庆）数列an满足.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式，其中无理数e=2.71828.解析：（1）当n=2时，不等式成立. 假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立. （2）由递推公式及（1）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得 即例2：（2005江西）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解析：（1）用数学归纳法证明：当n=1时，命题正确.假设n=k时有则 而又时命题正确.由、知，对一切nN时有 （2）下面来求数列的通项：所以，,又bn=1，所以.例3：（2005重庆）数列记 （1）求b1、b2、b3、b4的值；（2）求数列的通项公式及数列的前n项和解析：（1）（2）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）故的等比数列., 【常见误区】1对递推关系求通项的方法（如解迭代法、累加法、换元转化法、归纳猜想证明法等）的积累，掌握常见的几种递推模型（如）的转化方法；2递推数列解答题常常与函数、不等式、几何知识点交汇，综合知识的灵活运用往往影响数列题的解题成败.【基础演练】1已知数列满足那么的值是（ ）A B C D 2若数列an满足a15, an1(nN)，则其前10项和是（ ）A200 B150 C100 D503一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1第2行2 3第3行