2011春季班三年级超常班学而思侯晓琳.docx

2011 春季班三年级超常班学而思侯晓琳第十一讲页码与数字问题这一讲的标题是从形式上定义的，其实本讲侧重的是奥数中七大重点模块中计数问题，和数论模块中的位值原理。一、枚举计数分类枚举一定要选恰当的顺序和分类的标准才能不重不漏。本讲的例1 侧重的是分类枚举，是对加法原理的渗透。补充小题：一本书共250 页，求编码时需要多少个数码？分析与答：由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；而几位数就需要几个数码。故须分类计数，再相加。一位数：有9 个，共需91=9 个数码；两位数：有90 个，共需902=180 个数码；三位数：有250-99=151 个，共需1513=453 个数码；共需9+180+453=642 个数码。【记住规律：一位数：19，有9 个；两位数：1099，有99-10+1=90 个，或99-9=90；三位数：100999，有999-100+1=900 个，或999-99=900 个；四位数：9000 个；】例1：给一本书编码，一共用了723 个数字，这本书一共用多少页？分析与答：刚才例子是正着问，此题倒着问。边尝试边计算：一位数：有9 个，共计用去9 个数码；两位数：有90 个，共需902=180 个数码；三位数：有900 个，共需9003=2700 个数码；而此题只有723 个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三位数。一位数和两位数共计用去9+180=189 个数码，还剩723-189=534 个数码给三位数用，每个三位数用3 个数码，则还有5343=178 个三位数，第178 个三位数是99+178=277，故本书有277 页。学案1：一本书的页码，在印刷时必须用198 个铅字，自这一本书的页码中数字1 出现多少次？分析与答：此题是在例1 的基础上再加深一步。要想求1 出现的次数，必须知道本书有多少页，这就完全转化成利1。一位数和两位数共计用去9+180=189 个数码，还剩198-189=9 个数码给三位数用，每个三位数用3 个数码，2011 春季班三年级超常班学而思侯晓琳则还有93=3 个三位数，第3 个三位数是102，故本书有102 页。那么本题转化为：一本书有102 页，问1 出现多少次？即相当于问：1102 里1 出现的次数。数少时可以按由小到大的顺序枚举，即便如此，也很少有孩子能一次想全。因此，为使计数不重不漏，我们一定要按照一定的顺序枚举。本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的：最多有3 位数，因此，1 如果出现一定是在个位、十位、或百位。所以我们把个、十、百位的1 分类计数，然后再相加。个位1：1,11,21,31，101。有11 个；十位1：10，11,12，19。有10 个；百位1：100,101,102。有3 个。1 出现24 次。例1 改编：给一本书编码，一共用了723 个数字，这本书1 出现多少次？分析与答：同例1，先求出本书有277 页。相当于问1277 里1 出现几次。个位1：上题中数较少我们虽分类枚举，但每一类，还是一一数出来。个位1 还可这样来求，每连续10 个数，在个位出现一次1，27710=277。10 个一组分成27 组还余下7 个数。【（110）（1120）（2130）（261270）余下271277。】每组中有1 个个位1,27 组共27 个，余下数字中271 也有一个。故个位1 共有27+1=28 个；十位1：1019,110119,210219，共310=30 个；百位1：100199，共100 个。共28+30+100=158 个。二、计数和数论的综合题例2：（1）13998 这些自然数中，有多少个能被4 整除？分析与答：【最简单的方法是找规律，除以几，余数就有几种可能，如除以4，余数可能03，共四中，连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期，周期为除数】1 2 3 4 5 6 7 8 9 除以4 余数1 2 3 0 1 2 3 0 1 周期为4,39984=9992，余下的2 个为1 和2，因此能被4 整除的共999 个。注意：在这个范围内被4 整除的和除以4 余3 的有999 个；除以4 余1 的和除以4 余2 的都有999+1=1000 个。改编小题：12343998 这些自然数中，有多少个能被4 整除？分析与答：12343998 共有3998-1234+1=2765 个数。1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241 1242 除以4 余数2 3 0 1 2 3 0 1 2 周期为4,27654=6911，余下的一个是2，因此能被4 整除的有691 个。注意：在这个范围内被4 整除的、除以4 余3 以及除以4 余1 的有691 个；除以4 余2 的都有691+1=692 个。2011 春季班三年级超常班学而思侯晓琳例2：（2）13998 这些自然数中，有多少个各位数字和能被4 整除？分析与答：一个数除以N，余数可能为0N-1，共计N 种情况。一个数除以4，余数可能为03，共计4 种情况。那假设现在有03 这四个备选数字。现在任给一个数字，如果各位数字和不能被4 整除，那就从03 里选一个凑成4 的倍数。除以4 余数例如补几？0 4，543，826， 01 1，135，454， 32 2，1234，567， 23 3，678，250， 1我们发现，当一个数确定时，它各位数字和就确定了，那么各位数字和除以4 的余数就确定了，这时的补法是唯一的。在做这道题目之前先做一个改动，就是把数的范围暂时先改成03999。并且所有的数字都补成四位数，如0 看做0000,7 看做0007,250 看做0250我们把所有的数字做一个整理，0000 1000 2000 30000001 1001 2001 30010002 1002 2002 30020003 1003 2003 30030004 1004 2004 3004 0998 1998 2998 39980999 1999 2999 3999发现共四列，每列有1000 个数，这四列的共同特点是每行末三位相同。而首为恰好分别是0、1、2、3 各一个。这样我们就可以用上刚才发现的规律了：当一个数末三位确定时，它末三位数字和就确定了，那么末三位数字和除以4 的余数就确定了，这时的首位是唯一的。具体说来，如：末三位是000 的有4 个，但只有0000 的各位数字之和是4 的倍数；末三位是001 的有4 个，但只有3001 的各位数字之和是4 的倍数；末三位是002 的有4 个，但只有2002 的各位数字之和是4 的倍数；末三位是003 的有4 个，但只有1003 的各位数字之和是4 的倍数；末三位是004 的有4 个，但只有0004 的各位数字之和是4 的倍数；末三位是005 的有4 个，但只有3005 的各位数字之和是4 的倍数；末三位是998 的有4 个，但只有2998 的各位数字之和是4 的倍数；末三位是999 的有4 个，但只有1999 的各位数字之和是4 的倍数；即每行产生一个4 的倍数，共1000 个数各位数字之和能被4 整除。03999范围内共有1000个，而原题求的是13998范围内的，0的各位数字之和是4的倍数，3998则不是。因此1000里包括了多算的0，应该排除掉这个，因此共有1000-1=999个三、计数问题中的乘法原理2011 春季班三年级超常班学而思侯晓琳加乘原理和排列组合是计数中很重要的基础原理，这将是我们四年级计数版块学习的一个重点。但本讲例8 对乘法原理有所涉及。加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。乘法原理：一般的，完成一个任务有N 步，第一步有A 种做法，第二步有B种做法，第三步有C 种做法，那么完成这个任务共有ABC种方法。补充例1：从北京到天津有3 种路线，从天津到大连有4 种路线，那么从北京经过天津再去大连共有几种路线。分析与答：完成任务分两步，第一步从北京到天津，第二步从天津到大连，分步用乘法原理，34=12补充例2：17 中选4 个不同数字，组成四位数，共有多少个？分析与答：组成四位数，需要一位一位的确定各个位上的数字，分四步。第一步：17 中选一个数字放到千位，共7 种；第二步：从剩下的6 个数字中选一个数字放到百位，共6 种；第三步：从剩下的5 个数字中选一个数字放到十位，共5 种；第四步：从剩下的4 个数字中选一个数字放到个位，共4 种；分步用乘法：7654=840 种。特殊元素优先排列，特殊位置优先考虑。补充例3：17 中选4 个不同数字，组成四位奇数，共有多少个？分析与答：特殊位置优先考虑奇数，末位特殊，1,3,5,7 共4 中选择。第二步：从剩下的6 个数字中选一个数字放到千位，共6 种；第三步：从剩下的5 个数字中选一个数字放到百位，共5 种；第四步：从剩下的4 个数字中选一个数字放到十位，共4 种；分步用乘法：4654=480 种。例8：有一种用六位数表示日期的方法，如990817 表示的是1999 年8 月17日，也就是从左到右一二位表示年，三四位表示月，五六位表示日。用这种方法表示1991 年所有日期，全年中都不相同的日期共有多少天？分析与答：前两位确定为91，即91ABCD特殊位置优先考虑：A 表示月的首位，可以是0 或1，1 已经用过，只能为0；C 表示日得首位，可以是0、1、2、3，但0 和1 用过，只能2 或3，再进一步，3 也不行，因为如果C=3，CD 只能是30 和31，而0,1 已经用过了，所以C 不能取3，C 只能为2。91ABCD转化成910B2D09 共十个数字，已经用去了9、1、2、0 这四个，还剩下6 个，题目转化为：把6 个不同数字排在B、D 两个位置上，（B、D 不同）有几种排法？分两步，乘法，共65=30 种。2011 春季班三年级超常班学而思侯晓琳四、数论中位值原理的应用位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现，是将来学习进位制的基础。如：1234=1000+200+30+4=11000+2100+310+411 在千这个位置上，它代表的数值是1 个1000；2 在百这个位置上，它代表的数值是2 个100；3 在十这个位置上，它代表的数值是3 个10；4 在个这个位置上，它代表的数值是4 个1；位值原理体现的是一种位置和数值的对应关系。位值原理的两种展开方式：（1）全部展开：如：1234=11000+2100+310+41（2）分析题意，根据需要灵活展开：如：1234=12100+341；12345=121000+3451；12345=123100+451；12345=121000+3410+51；下面看一下我们现在涉及到的两种类型的题目：（一） 全部展开：用位值原理列方程时一定要注意两点：其一，首位不为0；其二，各位数字都是09 范围内的整数。例5：在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么，所得的三位数是原数的6 倍。求这个两位数。分析与答：设原来的两位数是ab，那么新的三位数就是a0b，新数是原数的6倍，得到方程：a0b =6ab（a,b 均为整数；0a9；0b9）根据位值原理：ab =10a+b；a0b =100a+b；则100a+b=6（10a+b）100a+b=60a+6b40a=5b8a=b（0a9；0b9）a=1,b=8原数为18。超常123 班学案4：有一个三位数，个位数字是百位的2 倍，百位数字与个位数字之和等于十位数字，若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198，求原数。2011 春季班三年级超常班学而思侯晓琳分析与答：只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198。设原数为abc ，则新数为cba ，原数+198=新数【建议用加法算式列方程，减法方程去括号那步孩子们易出错。】abc +198=cba100a+10b+c+198=100c+10b+a198=99c-99ac-a=2又，个位数字是百位的2 倍，即c=2a，差倍问题，c=4,a=2又，百位数字与个位数字之和等于十位数字，b=a+c=6原数为264（二） 分析题意，根据需要灵活展开：例6：一个三位数，个位数字是3，如果把原个位数字当百位数字，原十位数字当个位数字，原百位数字当成十位数字，那么新数比原数小171，求原数。分析与答：设原数为ab3，则新数为3ab，（a,b 均为整数；0a9；0b9）新数比原数小171，即：3ab +171=ab3（新数+171=原数）【建议用加法算式列方程，减法方程去括号那步孩子们易出错。】可以按刚才思路展开，但仔细分析后就会发现ab 始终作为一个整体出现，可以用第二种展开方式：3ab =300+ab，ab3=10ab +3，3ab +171=ab3300+ab +171=10ab +3，设ab =X，300+X+171=10X+3X=52原数为523。【思考一下：如果按刚才例题思路展开300+10a+b+171=100a+10b+3。有两个未知数，还有常数项（即数字），为不定方程。化简后10a+b=52，即原数为52。但是数位越多，此种方法展开式越复杂，建议还是看做一个整体，用一元方程即可解决。】例3：有一个三位数，如果把数字4 写在它的左边可得到一个四位数，写在它的右边也可得到一个四位数。已知这两个四位数相差2889，求原来的三位数。2011 春季班三年级超常班学而思侯晓琳分析与答：设原数为abc，则两个四位数分别为4abc 和abc4。abc还是作为一个整体出现，设abc =X，那么4abc =4000+abc =4000+X；abc4 =10abc +4=10X+4；此题孩子们最常见的错误就是只想到一种情况，原题中只说“这两个四位数相差2889”，没有指明谁大谁小。因此有两种情况。abc4 +2889= 4abc ； 4abc +2889=abc41 0X+4+2889=4000+X 4000+X+2889=10X+4X=123 X=765原数为123 或765如何判断选择哪种方式展开：如果题目中某几个未知数始终作为一个整体出现，选择方式二，减少未知数的个数。如：例6中3ab =300+ab，ab3=10ab +3，例3中4abc =4000+abc =4000+X；abc4 =10abc +4=10X+4；否则用方式一。如：例5中ab =10a+b；a0b =100a+b；学案4 中abc =100a+10b+c ，cba =100c+10b+a一点说明：本讲能用位值原理解决的题目用数字谜都可以做。有些孩子用数字谜很快就可以得到题目的答案。而孩子们学习上的特点就是有点抗拒新事物。但要求孩子必须体会位值原理的解题思想；掌握基本位值原理的题目。原因有两点；其一：简单题目数字谜快，越是复杂题目越体现了位值的优越性；其二：位值是我们刚学完的方程工具的练习，是代数思想的启蒙，是高年级学习很多知识（尤其是进位制）的基础。五、叠数应用（重码数，椅子数）（1）333=3111；33333=311111（2）