9-6走向高考数学章节.ppt

考纲解读1 了解抛物线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 2 理解数形结合的思想 3 了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 考向预测1 抛物线的定义 标准方程及性质是高考考查的重点 直线与抛物线的位置关系是考查的热点 2 考题以选择 填空题为主 多为中低档题 3 解答题考查直线与抛物线的位置关系 知识梳理1 抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l l不过F 的距离的点的集合叫做抛物线 点F叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 相等 焦点 准线 x y 3 抛物线y2 2px p 0 的焦点弦 过焦点的弦 为AB A x1 y1 B x2 y2 则有如下结论 AB y1y2 x1 x2 x1 x2 p p2 基础自测1 2010 四川文 抛物线y2 8x的焦点到准线的距离是 A 1B 2C 4D 8 答案 C 答案 B 3 2009 山东文 设斜率为2的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点F 且和y轴交于点A 若 OAF O为坐标原点 的面积为4 则抛物线方程为 A y2 4xB y2 8xC y2 4xD y2 8x 答案 B 4 已知点M是抛物线y2 2px p 0 上的一点 F为抛物线的焦点 若以 MF 为直径作圆 则这个圆与y轴的关系是 A 相交B 相切C 相离D 以上三种情形都有可能 答案 B 5 2010 重庆文 已知过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 AF 2 则 BF 答案 2 解析 本题考查抛物线的定义设点A x1 y1 点B x2 y2 抛物线y2 4x 焦点为 1 c 准线为x 1 AF x1 1 2 所以x1 1 则AF与x轴垂直 BF AF 2 6 2009 海南宁夏文 已知抛物线C的顶点在坐标原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线C交于A B两点 若P 2 2 为AB的中点 则抛物线C的方程为 答案 y2 4x 解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系和学生的分析问题 解决问题的能力 例1 已知抛物线y2 2x的焦点是F 点P是抛物线上的动点 又有点A 3 2 求 PA PF 的最小值 并求出取最小值时P点的坐标 分析 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d 求 PA PF 的问题可转化为 PA d的问题 运用三点共线可使问题得到解决 若例题中点A的坐标变为 2 3 求 PA PF 的最小值 例2 根据下列条件求抛物线的标准方程 1 抛物线的焦点是双曲线16x2 9y2 144的左顶点 2 过点P 2 4 3 抛物线焦点F在x轴上 直线y 3与抛物线交于点A AF 5 分析 求标准方程 即抛物线顶点在原点 对称轴为坐标轴 由图形分析 1 只有一解 2 抛物线开口向右或向下 有两解 3 结合图形 用待定系数法设方程求解 点评 待定系数法是求抛物线标准方程的主要方法 利用抛物线的定义及图形的性质求标准方程中待定的一次项系数 往往可简化过程 如图所示 抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 点P 1 2 A x1 y1 B x2 y2 均在抛物线上 1 写出该抛物线的方程及其准线方程 2 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时 求y1 y2的值及直线AB的斜率 分析 1 设出抛物线方程 利用待定系数法求解 2 可考虑 点差法 表示直线AB的斜率 解析 1 由已知条件 可设抛物线的方程为y2 2px p 0 点P 1 2 在抛物线上 22 2p 1 解得p 2 故所求抛物线的方程是y2 4x 准线方程是x 1 点评 1 求抛物线的标准方程常采用待定系数法 利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值 2 对于和抛物线有两个交点的直线问题 点差法 是常用方法 如若A x1 y1 B x2 y2 是抛物线y2 2px上两点 则直线AB的斜率kAB与y1 y2可得如下等式 由y12 2px1 y22 2px2 得y22 y12 2p x2 x1 分析 将抛物线的焦点弦的方程设出 代入抛物线方程 利用韦达定理等解决问题 点评 1 抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质 特别是某点的焦半径等于这点到准线的距离 化两点间的距离为点线间的距离 应用起来非常方便 还有其他的一些性质这里就不一一证明了 如 ANB 90 以CD为直径的圆切AB于点F等 2 以上证明的五个结论是抛物线中非常重要的结论 要切实掌握其推证思路 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A B两点 点C在抛物线的准线上 且BC x轴 证明直线AC经过原点O 分析 证明AC过O点 即证A C O三点共线 可利用斜率相等进行证明 又题目中平行线较多 图形比较规则 也可考虑用几何法进行证明 点评 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 AB x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 解决与焦点弦有关的问题时 要注意抛物线的定义 几何性质的利用 分析 1 设A B两点坐标 通过求导 求MA MB方程 寻找x1 x0 x2的关系 2 用弦长公式表示 AB 待定p 点评 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 注意 设而不求 的方法 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 AB x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 1 关于抛物线定义要注意点F不在直线l上 否则轨迹不是抛物线 而是一条直线 2 关于抛物线的标准方程由于选取坐标系时 设坐标轴有四种不同的方向 因此抛物线的标准方程有四种不同的形式 这四种标准方程的共同点在于 1 p的几何意义 焦参数p是焦点到准线的距离 所以p恒