人教B版选修21 两个向量的数量积 课时作业.docx

第2课时两个向量的数量积基础达标(水平一 )1.在abc中,ab=a,bc=b,若ab0,则abc是().a.钝角三角形b.直角三角形c.锐角三角形d.不能确定是何种三角形【解析】由ab=|a b|cos0得cos0,所以向量ab与bc的夹角为钝角,即b的补角为钝角,所以只能判断b为锐角,但三角形的形状不能确定.【答案】d2.如图,已知长方体abcd-a1b1c1d1,下列向量的数量积一定不为0的是().a.ad1b1cb.bd1acc.abad1d.bd1bc【解析】当四边形aa1d1d是正方形时,ad1b1c,ad1b1c=0;当四边形abcd是正方形时,bd1ac,bd1ac=0;因为ab平面aa1d1d,所以abad1,abad1=0;bd1与bc所成的角是cbd1,而bcd1=90,所以cbd1是锐角,故bd1bc0.【答案】d3.如图,在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,底面是边长为2的正方形,若a1ab=a1ad=60,且a1a=3,则a1c的长为().a.5b.22c.14d.17【解析】设aa1=a,ab=b,ad=c,由已知得|a|=3,|b|=|c|=2,ab=ac=32cos 60=3,bc=0.因为a1c=a1a+ab+bc=-a+b+c,所以a1c2=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc=32+22+22-23-23+20=5.所以|a1c|=5,即a1c的长为5.【答案】a4.若|a+b|=2,|a-b|=3,且cos=14,则|a|,|b|的值分别为().a.1,52b.2,102c.2,52d.1,102【解析】a2-b2=(a+b)(a-b)=|a+b a-b|cos=2314=32.由|a+b|=2得a2+2ab+b2=4,由|a-b|=3得a2-2ab+b2=9,所以a2+b2=132,所以a2=4,b2=52,所以|a|=2,|b|=102.【答案】b5.若向量(a+3b)(7a-5b),(a-4b)(7a-2b),则向量a和b的夹角是.【解析】由题意知(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0,即7a2+16ab-15b2=0,7a2-30ab+8b2=0, 解得a2=b2,b2=2ab,cos=ab|a b|=12.又0180,=60.【答案】606.在空间四边形abcd中,abcd+acdb+adbc的值为.【解析】如图,令ab=a,ac=b,ad=c,则abcd+acdb+adbc=ab(ad-ac)+ac(ab-ad)+ad(ac-ab)=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.【答案】07.如图,在空间四面体oabc中,oa=8,ab=6,ac=4,bc=5,且oac=45,oab=60,求oa与bc所成角的余弦值.【解析】bc=ac-ab,oabc=oaac-oaab=|oa ac|cos-|oa ab|cos=84cos 135-86cos 120=24-162.cos=oabc|oa bc|=24-16285=3-225.故oa与bc所成角的余弦值为3-225.拓展提升(水平二)8.若正三棱柱abc-a1b1c1的各棱长都为2,e,f分别是ab,a1c1的中点,则ef的长是().a.2b.3c.5d.7【解析】如图,设ab=a,ac=b,aa1=c.由题意知|a|=|b|=|c|=2,且=60,=90.因为ef=ea+aa1+a1f=-12ab+aa1+12ac=-12a+c+12b,所以|ef|2=14a2+14b2+c2+2-12a12b+12bc-12ac=1422+1422+22+2-1422cos 60=1+1+4-1=5,所以|ef|=5.【答案】c9.设p是二面角-ab-棱上的一点,分别在,平面上引射线pm,pn,如果bpm=bpn=45,mpn=60,那么二面角-ab-的大小为().a.60b.70c.80d.90【解析】不妨设pm=a,pn=b,作meab于点e,nfab于点f,如图.因为epm=fpn=45,所以pe=22a,pf=22b,所以emfn=(pm-pe)(pn-pf)=pmpn-pmpf-pepn+pepf=abcos 60-a22bcos 45-22abcos 45+22a22b=ab2-ab2-ab2+ab2=0,所以emfn,所以二面角-ab-的大小为90.【答案】d10.在正方体abcd-a1b1c1d1中,有下列命题:(aa1+ad+ab)2=3ab2;a1c(a1b1-a1a)=0;ad1与a1b的夹角为60;正方体的体积为|abaa1ad|.其中正确的命题是.(填序号)【解析】如图,(aa1+ad+ab)2=(aa1+a1d1+d1c1)2=ac12=3ab2,正确;a1c(a1b1-a1a)=a1cab1=0,正确;ad1与a1b的夹角是d1c与d1a夹角的补角,而d1c与d1a的夹角为60,故ad1与a1b的夹角为120,错误;正方体的体积为|ab aa1 ad|,错误.综上可知,正确.【答案】11.如图,已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a,m,n分别是ab,cd的中点.(1)求证:mnab,mncd.(2)求mn的长.(3)求异面直线an与cm所成角的余弦值.【解析】(1)设ab=p,ac=q,ad=r.由题意可知|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三个向量两两的夹角均为60.mn=an-am=12(ac+ad)-12ab=12(q+r-p),mnab=12(q+r-p)p=12(qp+rp-p2)=12(a2cos 60+a2cos 60-a2)=0.mnab,同理可证mncd.(2)由(1)可知mn=12(q+r-p),|mn|2=mn2=14(q+r-p)2=14q2+r2+p2+2(qr-pq-rp)=14a2+a2+a2+2a22-a22-a22=142a2=a22.|mn|=22a.mn的长为22a.(3)设向量an与mc的夹角为.an=12(ac+ad)=12(q+r),mc=ac-am=q-12p,anmc=12(q+r)q-