集合与函数北京交大.ppt

1 集合 set 小结思考题作业 函数 function 1 1集合与函数 第1章函数 具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物称为该 一 集合 集合 元素 简称元 集 元素 element 集合的 通常以大写字母 等表示集合 以小写字母 等表示集合的元素 否则记 记作 或 若a是A的元素 则说a属于A 空集 不含任何元素的集合称为 1 集合 set 的概念 2 3 集合分类 有限集 无限集 只含有限个元素 不是有限集的集合 列举法 表示集合方法有两种 描述法 把集合的全部元素一一列出来 例 考察由下列元素0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 可以用列举法将其表示成 列举法有很大的局限性 组成的集合A 外加花括号 4 如 由不超过1010的奇数组成的集合 其元素有50亿个 要把它们全部写出来 且有很多集合 其元素是 很多纸张 根本无法一一罗列出来 得用 很多时间 不可数的 更常用的是列出规定这个集合特定性质P 就是 描述法 花括号中竖线前的x 而竖线后 是M中元素的通用符号 则是x所具有的性质 的办法来表示集合 可用列举法表示为 的根组成的集合 也可用描述法表示为 例 由方程 5 2 区间 interval 区间是指介于某两个实数之间的全体实数 称为 称为 这两个实数叫做区间的端点 开区间 闭区间 6 称为 有限区间 无限区间 半开半闭区间 全体实数的集合R也可记作 是无限区间 7 3 邻域 neighborhood 数集 即 邻域 记作 几何表示 8 有时简记为 去心 空心 即 点a的 称为a的 称为a的 9 4 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号 表示 任取 或 任意给定 表示 或 能够找到 如实数的阿基米德公理是这样叙述的 任意给定两个正的实数a b 都存在一个 自然数n 用逻辑符号 将阿基米德公理改写 Any 每一个 或All 所有的 的字头A的倒写 Exist 存在 的字头E的倒写 练习 存在 至少存在一个 10 二 函数 function 定义 设有两个变量x和y 自变量 因变量 定义域 记作 变量y的取值的集合称为函数的值域 range 即 x的变化域为D 如果对于D中的每一个x值 按照一定的法则f 变量y总有唯一的数值与之对应 则称y为x 的函数 function 1 函数概念 11 1 函数的记号 除常用的f外 可任意选取 如 相应地 函数可记作 等 等 也可记作 在同一个问题中 讨论到几个不同的函数时 则必须用不同的记号分别表示这些函数 以示区别 12 2 对应的函数值y总是唯一的 否则称为 如 是多值函数 它的两个单值分支是 单值函数 多值函数 约定 今后无特别说明时 函数是指单值函数 这种函数称为 3 构成函数的 是两个不同的函数 因为定义域不同 如 定义域Df与对应法则f 两个要素 13 函数的表示法只与定义域和对应法则有关 即 简称函数表示法的 4 而与用什么字母无关 无关特性 14 定义域一般有两种 1 自变量所能取的使算式有意义的一切 由问题的实际意义所确定 2 实际问题 几何或物理问题 在纯数学的研究中 函数由一个公式 实数组成的集合 这种定义域称为 自然定义域 表示的 15 例 求下列函数的定义域 解 定义域是 定义域是 16 常用的函数关系表示法是多种多样的 公式法 解析法 主要有三种形式 表格法 各种表示法 都有其优点和不足 图形法 公式法 解析法 图形法 表格法 今后以公式法为主 便于进行理论分析和计算 形象直观 富有启发性 便于记忆 便于查找函数值 但它常常是不完全的 也可用语言描述 配合使用图形法和表格法 需特别指出的是 公式法不一定仅用一个公式表示 函数 17 例 某商店对一种商品的售价规定如下 购买量 有些函数 分段函数 称为 函数关系也不同 除了可用一个数学式子表示函数外 随着自变量取不同的值 这种函数 不超过5千克时 每千克0 8元 购买量大于5千克而不 超过10千克时 若购买x千克的费用记为f x 则 购买量大于10千克时 超过10千克部分每千克0 4 元 元 在自然科学 工程技术和经济学中 经常会遇到分段函数的情形 其中超过5千克部分优惠价每千克0 6 18 用分段函数表示函数 分段函数在其整个定义域上是一个函数 答案 即 而不是几个函数 3 练习 并画出 其图形 19 几个今后常引用的函数 绝对值函数 例 定义域 值域 20 符号函数 定义域 值域 对 例 有 或 21 取整函数 如 例 阶梯曲线 定义域 值域 表示不超过x的最大整数 R Z 22 例 狄利克雷 Dirichlet 函数 x为有理函数 x为无理函数 定义域 值域 由于有理数和无理数在实数集中稠密 因此只能画出它的象征性的图像 有理数点 无理数点 例取最值函数 24 有界性 bounded 设函数y f x 在区间I上有定义 则说f x 在区间I上有上界 下 使得对所有 若存在 常数A 都有 B 3 函数的几种特性 25 若存在常数 使得对所有 则称f x 在I上有界 在I上无界 都有 若这样的M不存在 则称f x 即为对于任何 总存在 使 则称f x 在I上无界 有界 无界 26 在定义域上有界的函数叫做 例 是有界函数 是无界函数 但它在区间 在区间 一定要把区间明确出来 显然 boundedfunction 有界函数 有界等同于既有上界又有下界 有下界 有界 若f x 在I上有界 不是唯一的 则它在I上的上界和下界均 27 练习 A 有上界无下界 B 有下界无上界 C 有界 D 有界且 解 C 解题提示 将函数取绝对值 然后用不等式 放缩法 28 单调性 单调增加 如果对 恒有 设函数f x 的定义域为D 区间 则称函数f x 在区间I上是 29 应指明单调区间 否则会产生错误 单调减少 如果对 恒有 monotonedecreasing 设函数f x 的定义域为D 区间 则称函数f x 在区间I上是 30 奇偶性 偶函数的图形 称f x 为 偶函数 设D关于原点对称 31 奇函数的图形 称f x 为 奇函数 设D关于原点对称 奇偶函数的运算性质 1 两个奇 偶 函数的和仍为奇 偶 函数 2 两个奇 偶 函数的乘积为偶函数 3 偶函数与奇函数的乘积为奇函数 练习 判别下列函数的奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数的 33 周期性 periodicity 的周期 周期函数 periodfunction 如果存在一个 正数T 且总有 T称为f x 通常称周期函数的周期是指 最小正周期 周期为T的周期函数 设函数f x 的定义域为D 则称f x 是 34 4 生成新函数的几种运算 1 设函数f x g x 的定义域分别为D1 D2 则可定义这两个函数的下列运算 和 差 积 商 且 线性组合 为实数 而生成新的函数 35 设函数y f x 的值域为Y 则称变量x为变量y的函数 记为 2 定义 反函数 inversefunction 如果对于Y 中任一y值 从关系式y f x 中可确定唯一的一个 称为函数y f x 的反函数 习惯上y f x 的 反函数记为 x值 36 求反函数的步骤 求函数的反函数y f 1 x 1 把x从方程y f x 中解出 2 把刚才所得的表达式中的x与y对换 即得所 注意 1 y f x 的图形与其反函数x f 1 y 的图形 y f x 的图形与其反函数y f 1 x 的图形 直线 对称 2 只有一一对应的函数才有反函数 重合 关于 y x 37 直接函数与反函数的图形 直线 对称 关于 38 如 其反函数为 指数函数 定义域为 值域为 写成 并不是所有函数都存在反函数 如 函数 定义域为 值域为 但对 都有两个 和 与之对应 x不是y的函数 不存在反函数 并称为对数函数 39 定义 设函数y f u 的定义域为Df 而函数 若 则称函数 u g x 的值域为Rg y f g x 为x的复合函数 x为自变量 u为中间变量 y为因变量 也可记作 3 复合函数 40 1 并非任何两个函数都能复合成为复合函数 2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合 因为 不能构成复合函数 的定义域Df是 的值域Wg是 构成 41 复合函数的分解 复合函数拆成几个简单函数 由函数的最外层运算一层层剥到最 里边 切不可漏层 如 u v都是中间变量 复合函数的定义域是 即 而不是 的定义域 剥皮法 例 解 综上所述 先外后内法 法2 先内后外法 45 1 幂函数 powerfunction 定义域与的取值有关 5 初等函数 elementaryfunction basicelementaryfunction 1 基本初等函数 46 2 指数函数 定义域为 值域为 47 3 对数函数 定义域为 值域为 48 4 三角函数 正弦函数 定义域为 值域为 49 余弦函数 定义域为 值域为 50 正切函数 余切函数 定义域 值域 定义域 值域 51 三角函数常用公式 52 5 反三角函数 定义域 值域 主值 反正弦函数 但是 可以选取这些函数的 单值支 53 定义域 值域 主值 反余弦函数 54 主值 定义域 值域 反正切函数 反余切函数 主值 定义域 值域 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 55 2 初等函数 elementaryfunction 初等函数 如 都是初等函数 不是初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 加 减 乘 除 和有限次的函数复合步骤所构 成并可用一个式子表示的函数 称