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2导数在实际问题中的应用2 1实际问题中导数的意义 课前预习学案 某人拉动一个物体前进 他所做的功w 单位 j 是时间t 单位 s 的函数 设这个函数可以表示为w w t t3 4t2 10t 1 t从1s到4s时 功w关于时间t的平均变化率是多少 2 上述问题的实际意义是什么 3 w 1 的实际意义是什么 1 功关于时间的导数是 2 降雨量关于时间的导数是 3 生产成本关于产量的导数是 4 路程关于时间的导数是 速度关于时间的导数是 5 质量关于长度的导数是 实际问题中导数的意义 功率 降雨强度 边际成本 速度 加速度 线密度 若把实际问题加以抽象 概括 建立数学模型 通过函数的方式来研究它们 导数的优势非常明显 导数的实质就是指瞬时变化率 在不同实际问题中其代表的意义不同 但数学实质不变 如降雨强度是降雨量关于时间的导数 建筑边际成本是建筑成本关于面积的导数 1 一质点运动的方程为s 5 3t2 则在时间 1 1 t 内相应的平均速度为 a 3 t 6b 3 t 6c 3 t 6d 3 t 6 2 质点运动的速度v 单位 m s 是时间t 单位 s 的函数 且v v t 则v 1 表示 a t 1s时的速度b t 1s时的加速度c t 1s时的位移d t 1s时的平均速度解析 v t 表示t时刻的加速度 答案 b 课堂互动讲义 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 时间 s 间的关系式为h t 5t2 7t 10 1 求t从1s到2s时 高度关于时间t的平均变化率 2 求h 1 h 2 并解释它们的实际意义 导数在物理学中的意义 利用导数解决物理问题 关键是要熟悉相关的物理概念 公式 并联系导数的物理意义求解 1 设某物体一天的温度t是时间t的函数 t t at3 bt2 ct d a 0 其中温度的单位是 时间的单位是小时 t 0表示12 00 t取正值表示12 00以后 若测得该物体在8 00的温度为8 12 00的温度为60 13 00的温度为58 且已知该物体的温度在8 00和16 00有相同的变化率 1 写出该物体的温度t关于时间t的函数关系式 2 该物体从10 00到14 00这段时间中 包括10 00和14 00 温度的平均变化率是多少 3 求t 0 并解释它的实际意义 导数在日常生活中的意义 工作效率即产量对时间t的导数 解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式 然后利用相应的求导公式及法则解决 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率 所以 纯净度为90 时 费用的瞬时变化率是52 84元 吨 同样 纯净度为98 时 费用的瞬时变化率是1321元 吨 导数在经济问题中的意义 在生产 营销等经济活动中 经常遇到的成本问题 用料问题 效率 效益和利润等问题 在讨论其改变量时常用导数解决 错因 没有弄清瞬时速度与平均速度的差别
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