人教A版选修21 3.2.1用向量 方法解决平行问题 课时作业.docx

3.2.1用向量方法解决平行问题课时过关能力提升基础巩固1若a=(1,2,3)是平面的一个法向量,则下列向量能作为平面的法向量的是()a.(0,1,2)b.(3,6,9)c.(-1,-2,3)d.(3,6,8)解析:选项b中,向量(3,6,9)=3a与a平行,又a为平面的法向量,向量(3,6,9)也是平面的法向量.答案:b2设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若,则k等于() a.2b.-4c.4d.-2解析:,1-2=2-4=-2k,k=4.答案:c3若平面,的法向量分别为=(-2,3,-5),=(3,-1,4),则()a.b.c.,相交但不垂直d.以上均不正确解析:=-23+3(-1)+(-5)40,且k(kr),与既不垂直也不平行.与相交但不垂直.答案:c4若两个不同的平面与的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面与平面的关系是()a.平行b.垂直c.相交不垂直d.无法判断解析:a=-b,ab,.答案:a5若直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,则能使l的是()a.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)b.a=(1,3,5),u=(1,0,1)c.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)d.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析:l,au,即au=0.故选d.答案:d6已知两个不同的平面与有公共的法向量n=(1,-1,1),则平面,的位置关系为.答案:7如图,在正三棱锥s-abc中,点o是abc的外心,点d是棱bc的中点,则平面abc的一个法向量可以是,平面sad的一个法向量可以是.答案:osbc(答案不唯一)8已知a=(3,6,+6),b=(+1,3,2)为两个平行平面的法向量,则=.答案:29已知在长方体abcd-a1b1c1d1中,e,m,n分别是bc,ae,cd1的中点,ad=aa1=a,ab=2a.求证:mn平面add1a1.证明以d为原点,分别以da,dc,dd1为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系,则a(a,0,0),b(a,2a,0),c(0,2a,0),d1(0,0,a),e12a,2a,0.m,n分别为ae,cd1的中点,m34a,a,0,n0,a,a2.mn=-34a,0,a2.取n=(0,1,0),显然n平面a1d1da,且mnn=0,mnn.又mn平面add1a1,mn平面add1a1.10如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是边长为1的菱形,abc=4,pa底面abcd,pa=2,点m为pa的中点,点n为bc的中点.afcd于点f,如图建立空间直角坐标系.求出平面pcd的一个法向量并证明mn平面pcd.解:由题设知,在rtafd中,af=fd=22,a(0,0,0),b(1,0,0),f0,22,0,d-22,22,0,p(0,0,2),m(0,0,1),n1-24,24,0.mn=1-24,24,-1,pf=0,22,-2,pd=-22,22,-2.设平面pcd的一个法向量为n=(x,y, ),则npf=0,npd=022y-2z=0,-22x+22y-2z=0,令 =2,得n=(0,4,2).因为mnn=1-24,24,-1(0,4,2)=0,且mn平面pcd,所以mn平面pcd.能力提升1已知直线l的方向向量a=2,3,13,平面的法向量为n=6,-12,若l,则的值是()a.4b.-7118c.253d.-236解析:l,an,即an=0,26+3-16=0,解得=-7118.答案:b2给出下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0; 若n是平面的法向量,且向量a与平面共面,则an=0.其中正确命题的个数是()a.1b.2c.3d.0解析:中,与可能重合;中,可得到n1n2.答案:a3在三棱锥p-abc中,cp,ca,cb两两垂直,ac=cb=1,pc=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面pab的法向量的是()a.1,1,12b.(1,2,1)c.(1,1,1)d.(2,-2,1)解析:pa=(1,0,-2),ab=(-1,1,0).设平面pab的一个法向量为n=(x,y,1),则x-2=0,-x+y=0,解得x=2,y=2,n=(2,2,1).又1,1,12=12n,a正确.答案:a4已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=k,k+3,32,若ab,则k=. 解析:当k=0时,a与b不平行.当k0时,由4k=kk+3=k-132,解得k=-2.答案:-25已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且an=12,nb=14,则n=. 解析:设n=(0,y, ),由题意得3y+5z=12,4y+6z=14,解得y=-1,z=3.故n=(0,-1,3).答案:(0,-1,3)6已知平面内的三点a(0,0,1),b(0,1,0),c(1,0,0),平面的法向量为n=(-1,-1,-1),且与不重合,则.(填“”或“”)解析:ab=(0,1,-1),ac=(1,0,-1),则nab=-10+(-1)1+(-1)(-1)=0,nac=-11+(-1)0+(-1)(-1)=0.又与不重合,故.答案:7在长方体abcd-a1b1c1d1中,da=2,dc=3,dd1=4,m,n,e,f分别是棱a1d1,a1b1,d1c1,b1c1的中点,求证:平面amn平面efbd.证法一建立如图所示的空间直角坐标系,取mn,db及ef的中点r,t,s,连接ra,st,则a(2,0,0),m(1,0,4),n2,32,4,d(0,0,0),b(2,3,0),e0,32,4,f(1,3,4),r32,34,4,s12,94,4,t1,32,0,mn=1,32,0,ef=1,32,0,ar=-12,34,4,ts=-12,34,4.mn=ef,ar=ts,mnef,arts,mn平面efbd,ar平面efbd.又mnar=r,平面amn平面efbd.证法二由证法一可知,a(2,0,0),m(1,0,4),n2,32,4,d(0,0,0),e0,32,4,f(1,3,4),则am=(-1,0,4),an=0,32,4,de=0,32,4,df=(1,3,4).设平面amn,平面efbd的法向量分别为n1=(x1,y1, 1),n2=(x2,y2, 2),则n1am=0,n1an=0-x1+4z1=0,32y1+4z1=0,令x1=1,得 1=14,y1=-23.又n2de=0,n2df=032y2+4z2=0,x2+3y2+4z2=0, z。x。x。k令y2=-1,得 2=38,x2=32.n1=1,-23,14,n2=32,-1,38.n2=32n1,得n1n2.平面amn平面efbd.8如图,在多面体abcdef中,四边形abcd是正方形,efab,effb,ab=2ef,bfc=90,bf=fc,h为bc的中点,求证:fh平面edb.证明四边形abcd为正方形,abbc.又efab,efbc.又effb,fbbc=b,ef平面bfc,effh.abfh.又bf=fc,h为bc的中点,fhbc.又abbc=b,fh平面abc.