2009年全国高考重庆卷(数理)试题.pdf

中 09 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 理工农医类 09 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 理工农医类 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 第 卷 考生注意 考生注意 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号 填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条 形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 如果事件AB 互斥 那么 P ABP AP B 如果事件AB 相互独立 那么 P A BP A P B 如果事件A在一次试验中发生的概率是P 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 以R为半径的球体积 3 4 3 VR 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 1 直线1yx 与圆 22 1xy 的位置关系为 A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 直线过圆心 D 相离 2 已知复数z的实部为1 虚部为 2 则 5i z A 2i B 2i C 2i D 2i 中 3 28 2 x x 的展开式中 4 x的系数是 A 16 B 70 C 560 D 1120 4 已知1 6 2 aba ba 则向量a与向量b的夹角是 A 6 B 4 C 3 D 2 5 不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 A 1 4 B 2 5 C 1 2 D 1 2 6 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个 花生馅汤圆 5 个 豆沙馅汤圆 4 个 这三种汤圆的外部特征 完全相同 从中任意舀取 4 个汤圆 则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 7 设ABC 的三个内角 A B C 向量 3sin sin AB m cos 3cos BA n 若 1 cos AB m n 则C A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8 已知 2 2 lim 2 1 x x axb x 其中 a bR 则ab 的值为 A 6 B 2 C 2 D 6 9 已知二面角l 的大小为 0 50 P为空间中任意一点 则过点P且与平面 和平面 所成的角都是 0 25的直线的条数为 A 2 B 3 C 4 D 5 10 已知以4T 为周期的函数 2 1 1 1 12 1 3 mxx f x xx 其中0m 若方程 3 f xx 恰有 5 个实数解 则m的取值范围为 A 15 8 33 B 15 7 3 C 4 8 3 3 D 4 7 3 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案写在答题卡相应位置上 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案写在答题卡相应位置上 中 11 若 3AxR x 21 x BxR 则AB 12 若 1 21 x f xa 是奇函数 则a 13 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官 每个乡镇至少一名 则不同的分配方案有 种 用数字作答 14 设 1 2a 1 2 1 n n a a 2 1 n n n a b a nN 则数列 n b的通项公式 n b 15 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若 双曲线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc 则该双曲线的离心率的取值范围是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 设函数 2 sin 2cos1 468 f xxx 求 f x的最小正周期 若函数 yg x 与 yf x 的图像关于直线1x 对称 求当 4 0 3 x 时 yg x 的最大值 17 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽的成活率分 别为 2 3 和 1 2 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 两种大树各成活 1 株的概率 成活的株数 的分布列与期望 18 本小题满分 13 分 问 5 分 问 8 分 中 设函数 2 0 f xaxbxk k 在0 x 处取得极值 且曲线 yf x 在点 1 1 f 处的切线垂直于直线210 xy 求 a b的值 若函数 x e g x f x 讨论 g x的单调性 19 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 如题 19 图 在四棱锥SABCD 中 ADBC 且ADCD 平面CSD 平面 ABCD 22CSDS CSAD E为BS的中点 2 3CEAS 求 点A到平面BCS的距离 二面角ECDA 的大小 20 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为 4 3 3 y 离心 率 3 2 e M是椭圆上的动点 若 C D的坐标分别是 0 3 0 3 求MC MD 的 最大值 如题 20 图 点A的坐标为 1 0 B是圆 22 1xy 上的点 N是点M在 中 x轴上的射影 点Q满足条件 OQOMON 0QA BA 求线段QB的中点P的 轨迹方程 21 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 设m个不全相等的正数 12 7 m a aam 依次围成一个圆圈 若2009m 且 121005 a aa 是 公 差 为d的 等 差 数 列 而 1200920081006 a aaa 是 公 比 为qd 的 等 比 数 列 数 列 12 m a aa 的 前n项 和 n Snm 满足 3200920071 15 12SSSa 求通项 n a nm 若 每 个 数 n a nm 是 其 左 右 相 邻 两 数 平 方 的 等 比 中 项 求 证 22 16712 mm aaaama aa 中 绝密 启用前 绝密 启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题 理工农医类 答案 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题 理工农医类 答案 一 选择题 每小题 5 分 满分 50 分 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 C 8 D 9 B 10 B 二 填空题 每小题 5 分 满分 25 分 11 0 3 12 1 2 13 36 14 1 2n 15 1 21 三 解答题 满分 75 分 16 本小题 13 分 解 f x sincoscossincos 46464 xxx 33 sincos 2424 xx 3sin 43 x 故 f x的最小正周期为 T 2 4 8 解法一 在 yg x 的图象上任取一点 x g x 它关于1x 的对称点 2 x g x 由题设条件 点 2 x g x 在 yf x 的图象上 从而 2 3sin 2 43 g xfxx 3sin 243 x 3cos 43 x 当 3 0 4 x 时 2 3433 x 因此 yg x 在区间 4 0 3 上的最大值为 max 3 3cos 32 g 解法二 中 因区间 4 0 3 关于 x 1 的对称区间为 2 2 3 且 yg x 与 yf x 的图象关于 x 1 对称 故 yg x 在 4 0 3 上的最大值为 yf x 在 2 2 3 上的最大值 由 知 f x 3sin 43 x 当 2 2 3 x 时 6436 因此 yg x 在 4 0 3 上的最大值为 max 3 3sin 62 g 17 本小题 13 分 解 设 k A表示甲种大树成活 k 株 k 0 1 2 l B表示乙种大树成活 l 株 l 0 1 2 则 k A l B独立 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2 2 21 33 kkk k P AC 2 2 11 22 lll l P BC 据此算得 0 1 9 P A 1 4 9 P A 2 4 9 P A 0 1 4 P B 1 1 2 P B 2 1 4 P B 所求概率为 2111 412 929 P ABP AP B 解法一 的所有可能值为 0 1 2 3 4 且 0000 111 0 9436 PP ABP AP B 0110 11411 1 92946 PP ABP AB 021120 114141 2 949294 PP ABP ABP AB 中 13 36 1221 41411 3 94923 PP ABP AB 22 411 4 949 PP AB 综上知 有分布列 0 1 2 3 4 P 1 36 1 6 13 36 1 3 1 9 从而 的期望为 111311 01234 3663639 E 7 3 株 解法二 分布列的求法同上 令 12 分别表示甲乙两种树成活的株数 则 12 21 B 2 B 2 32 故有 12 1EE 241 2 2 332 从而知 12 7 3 EEE 18 本小题 13 分 解 因 2 0 2f xaxbxk kfxaxb 故 又 f x在 x 0 处取得极限值 故 0 fx 从而0b 由曲线 y f x在 1 f 1 处的切线与直线210 xy 相互垂直可知 该切线斜率为 2 即 1 2 f 有2a 2 从而a 1 由 知 2 0 x e g xk xk 中 2 22 2 0 x exxk g xk xk 令 0g x 有 2 20 0 xxkk 1 当440k 即当1k 时 0g x 在R 上恒成立 故函数 g x在 R 上 位增函数 2 当440k 即当1k 时 有 2 22 1 0 1 1 x ex g xx x 从而当1k 时 g x在 R 上为增函数 3 当440k 即当01k 时 方程 2 20 xxk 有两个不相等实根 12 11 11xk xk 当 11 xk 时 0g x 故 g x在 11 k 上为增函数 当11 11xkk 时 0 g x 故 11 11g xkk 在 上为 减函数 当11xk 时 0 g x 故 11g xk 在 上为增函数 19 本小题 12 分 19 本小题 12 分 解法一 因为 AD BC 且 BCBCS 平面所以 ADBCS平面从而 A 点到平面BCS的距离 等于 D 点到平面BCS的距离 因为平面 CSDABCDADCD 平面 故ADCSD 平面 从而ADSD 由 AD BC 得BCDS 又由CSDS 知DSBCS 平面 从而DS为点 A 到平面 BCS的距离 因此在Rt ADS 中 22 3 12DSASAD 如答 19 图 1 过E点作 EGCD 交CD于点G 又过G点作GHCD 交AB 于H 故EGH 为二面角ECDA 的平面角 记为 过E点作 EF BC 交CS 于 点F 连 结GF 因 平 面 ABCDCSD GHCDGHGF 平面易知 故 中 2 EGF 由于 E 为 BS 边中点 故 1 1 2 CFCS 在Rt CFE 中 22 2 11EFCECF 因EFCSD 平面 又 EGCD 故由三垂线定理的逆定理得FGCD 从而又可 得 CGFCSD 因此 GFCF DSCD 而在Rt CSD 中 22 426 CDCSSD 故 11 2 63 CF GFDS CD 在Rt FEG 中 tan3 EF EGF FG 可得 3 EGF 故所求二面角的大小为 6 解法二 解法二 如答 19 图 2 以 S O 为坐标原点 射线 OD OC 分别为 x 轴 y 轴正向 建立空间 坐 标 系 设 AAA A xyz 因 平 面 CODABCD ADCD 平面 故 ADCOD 平面 即点 A 在xOz平面上 因此01 AA yzAD uuu v 又 2 22 13 0 AA xASx uuv 解得2 A x 从而2 01A 因 AD BC 故 BC 平面 CSD 即平面 BCS 与 平面yOz重合 从而点 A 到平面 BCS 的距离为 2 A x 易知 C 0 2 0 D 0 0 因 E 为 BS 的中点 BCS 为直角三角形 知 22 2BSCE uuvuuv 设 0 2 0 BB BZZ 则 A Z 2 故 B 0 2 2 所以 E 0 1 1 在 CD 上取点 G 设 G 11 0 x y 使 GE CD 中 由 11 2 2 0 1 1 0CDGExyCD GE uuu vuuu vuuu v uuu v 故 11 22 1 0 xy 又点 G 在直线 CD 上 即 CGCD uuu vuuu v 由CG uuu v 11 2 0 x y 则有 11 2 22 xy 联立 解得 G 2 4 0 33 故GE uuu v 22 1 33 又由 AD CD 所以二面角 E CD A 的平面角为向量GE uuu v 与向量DA uuu v 所成的角 记此角 为 因为GE uuu v 2 3 3 0 0 1 1 1DADAGE DA uuu vuuu vuuu v uuu v 所以 3 cos 2 GE DA GEDA uuu v uuu v uuu vuuu v 故所求的二面角的大小为 6 20 本小题 12 分 解 由题设条件知焦点在 y 轴上 故设椭圆方程为 22 22 1 xy ab a b 0 设 22 cab 由准线方程 4 3 3 y 得 2 4 3 3 a c 由 3 2 e 得 3 2 c a 解得2 3ac 从而 b 1 椭圆的方程为 2 2 1 4 y x 又易知 C D 两点是椭圆 2 2 1 4 y x 的焦点 所以 24MCMDa 从而 22 24 2 MCMD MCMD 当且仅当MCMD 即点 M 的坐标为 1 0 时上式取等号 MCMD 的最大值为 4 中 II 如图 20 图 设M mmBB xyB xy QQ Q xy 因为 0 N N xOMONOQ 故 2 QNQM xxyy 222 2 4 y QQM xyxy 因为0 QA BA 1 1 1 1 0 QQNn QNQN xyxy xxy y 所以1 QNQNNQ x xy yxx 记 P 点的坐标为 PP xy 因为 P 是 BQ 的中点 所以 2 2 PQPPQP xxxyyy 由因为 22 1 NN xy 结合 得 2222 1 4 PPQNQN xyxxyy 2222 1 2 4 QNQnQNQN xxyyx xy y 1 52 1 4 QN xx 3 4 P x 故动点 P 的轨迹方程为 22 1 1 2 xy 21 本小题 12 分 解 I 因 1200920081006 a aaa 是公比为 d 的等比数列 从而 2 2000120081 aa d aa d 由 200920081200820091 1212SSaaaa 得 故 2 111 12a da da 即 2 12dd 解得3d 或4d 舍去 因此3d 又 31 3315Sad 解得 1 2a 从而当1005n 时 中 1 1 23 1 31 n aandnn 当10062009n 时 由 1200920081006 a aaa 是公比为 d 的等比数列得 2009 1 2010 11 10062009 n