2008年广东高考数学(理科).pdf

20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 理理科科 全解析全解析 一 选择题选择题 本大题共 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 已知02a 复数z的实部为a 虚部为 1 则z的取值范围是 C A 15 B 13 C 15 D 13 解析 1 2 az 而20 a 即511 2 a 51 z 2 记等差数列 n a的前n项和为 n S 若 1 1 2 a 4 20S 则 6 S D A 16 B 24 C 36 D 48 解析 2062 4 dS 3 d 故48153 6 dS 3 某校共有学生 2000 名 各年级男 女生人数如表 1 已知 在全校 学生中随机抽取 1 名 抽到二年级女生的概率是 0 19 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生 则应在三 年级抽取的学生人数为 C A 24 B 18 C 16 D 12 表 1 解析 依题意我们知道二年级的女生有 380 人 那么三年级的学生的人数应该是500 即总体 中各个年级的人数比例为2 3 3 故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为16 8 2 64 4 若变量xy 满足 240 250 0 0 xy xy x y 则32zxy 的最大值是 C A 90 B 80 C 70 D 40 解析 画出可行域 利用角点法易得答案 C 5 将正三棱柱截去三个角 如图 1 所示A BC 分别是GHI 三边的中点 得到几何体如图 2 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 或称左视图 为 A 解析 解题时在图 2 的右边放扇墙 心中有墙 可得答案 A 6 已知命题 p所有有理数都是实数 命题 q正数的对数都是负数 则下列命题中为真命题的是 D A pq B pq C pq D pq 解析 不难判断命题p为真命题 命题q为假命题 从而上述叙述中只有 pq 为真命 题 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图 1 图 2 B E A B E B B E C B E D 开始 1i n 整除 a 是 输入mn 结束 ami 输出ai 1ii 图 3 否 7 设a R 若函数3 ax yex x R有大于零的极值点 则 B A 3a B 3a C 1 3 a D 1 3 a 解析 3 ax fxae 若函数在xR 上有大于零的极值点 即 30 ax fxae 有正根 当有 30 ax fxae 成立时 显然有0a 此时 13 ln x aa 由0 x 我们马上就能得到 参数a的范围为3a 8 在平行四边形ABCD中 AC与BD交于点OE 是线段OD的中点 AE的延长线与CD交 于点F 若AC a BD b 则AF B A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 解析 此题属于中档题 解题关键是利用平面几何知识得出 1 2DF FC 然后利用向量的加减 法则易得答案 B 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 12 题 9 阅读图 3 的程序框图 若输入4m 6n 则输出a i 注 框图中的赋值符号 也可以写成 或 解析 要结束程序的运算 就必须通过n整除a的条件运算 而同时m也整除a 那么a的最小值应为m和n的最小公倍 数 12 即此时有3i 10 已知 2 6 1 kx k是正整数 的展开式中 8 x的系数小于 120 则k 解析 2 6 1 kx 按二项式定理展开的通项为 22 166 rrrrr r TC kxC k x 我们知道 8 x的系数为 444 6 15C kk 即 4 15120k 也即 4 8k 而k是正整数 故k只能取 1 11 经过圆 22 20 xxy 的圆心C 且与直线0 xy 垂直的直线 方程是 解析 易知点 C 为 1 0 而直线与0 xy 垂直 我们设待求的 直线的方程为yxb 将点 C 的坐标代入马上就能求出参数b的 值为1b 故待求的直线的方程为10 xy 12 已知函数 sincos sinf xxxx x R 则 f x的最小正周期是 解 析 2 1c o s 21 s i ns i nc o ss i n 2 22 x f xxxxx 此 时 可 得 函 数 的 最 小 正 周 期 2 2 T 二 选做题 二 选做题 13 15 题 考生只能从中选做两题 题 考生只能从中选做两题 13 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 12 CC 的极坐标方程分别为cos3 4cos0 0 2 则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 解析 我们通过联立解方程组 cos3 0 0 4cos2 解得 2 3 6 即两曲线的交点为 2 3 6 14 不等式选讲选做题 已知a R 若关于x的方程 2 1 0 4 xxaa 有实根 则a的 取值范围是 解析 方程即 2 11 0 44 aaxx 利用绝对值的几何意义 或零点分段法进行求解 可 得实数a的取值范围为 1 0 4 15 几何证明选讲选做题 已知PA是圆O的切线 切点为A 2PA AC是圆O的直径 PC与圆O交于点B 1PB 则圆O的半径R 解析 依题意 我们知道PBAPAC 由相似三角形的性质我们有 2 PAPB RAB 即 22 221 3 22 1 PA AB R PB 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 小题 满分满分 80 分 解答分 解答须须写出文字说明 证明过程或演算步骤 写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 已知函数 sin 0 0 f xAxA x R的最大值是 1 其图像经过点 1 3 2 M 1 求 f x的解析式 2 已知 0 2 且 3 5 f 12 13 f 求 f 的值 解析 1 依题意有1A 则 sin f xx 将点 1 3 2 M 代入得 1 sin 32 而 0 5 36 2 故 sin cos 2 f xxx 2 依题意有 312 cos cos 513 而 0 2 22 34125 sin1 sin1 551313 3124556 cos coscossinsin 51351365 f 17 本小题满分 13 分 随机抽取某厂的某种产品 200 件 经质检 其中有一等品 126 件 二等品 50 件 三等品 20 件 次品 4 件 已知生产 1 件一 二 三等品获得的利润分别为 6 万元 2 万元 1 万元 而 1 件次品亏损 2 万元 设 1 件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求 1 件产品的平均利润 即 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4 73 万元 则三等品率最多是多少 解析 的所有可能取值有 6 2 1 2 126 6 0 63 200 P 50 2 0 25 200 P A y x O B G F F1 图 4 20 1 0 1 200 P 4 2 0 02 200 P 故 的分布列为 6 2 1 2 P 0 63 0 25 0 1 0 02 2 6 0 632 0 25 1 0 1 2 0 024 34E 3 设技术革新后的三等品率为x 则此时 1 件产品的平均利润为 6 0 72 1 0 70 01 2 0 014 76 00 29 E xxxx 依题意 4 73E x 即4 764 73x 解得0 03x 所以三等品率最多为3 18 本小题满分 14 分 设0b 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 抛物线方程为 2 8 xyb 如图 4 所示 过点 02 Fb 作x轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为G 已知抛物线在点G的切线经过 椭圆的右焦点 1 F 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设A B 分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点P 使得ABP 为直角三角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 解析 1 由 2 8 xyb 得 2 1 8 yxb 当2yb 得4x G 点的坐标为 4 2 b 1 4 yx 4 1 x y 过点 G 的切线方程为 2 4ybx 即2yxb 令0y 得2xb 1 F 点的坐标为 2 0 b 由椭圆方程得 1 F点的坐标为 0 b 2 bb 即1b 即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y 和 2 8 1 xy 2 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P 以PAB 为直角的Rt ABP 只有一个 同理 以PBA 为直角的Rt ABP 只有一个 若以APB 为直角 设P点坐标为 2 1 1 8 xx A B两点的坐标分别为 2 0 和 2 0 22242 115 2 1 10 8644 PA PBxxxx 关于 2 x的二次方程有一大于零的解 x 有两解 即以APB 为直角的Rt ABP 有两个 因此抛物线上存在四个点使得ABP 为直角三角形 19 本小题满分 14 分 设k R 函数 1 1 1 11 x xf x xx F xf xkx x R 试讨论函数 F x的 单调性 解析 1 1 1 1 1 kxx xF xf xkx xkxx 2 1 1 1 1 1 21 kx x F x kx x 对于 1 1 1 F xkx x x 当0k 时 函数 F x在 1 上是增函数 当0k 时 函数 F x在 1 1 k 上是减函数 在 1 1 1 k 上是增函数 对于 1 1 21 F xk x x 当0k 时 函数 F x在 1 上是减函数 当0k 时 函数 F x在 2 1 1 1 4k 上是减函数 在 2 1 1 4k 上是增函数 20 本小题满分 14 分 如图 5 所示 四棱锥PABCD 的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形 其中BD是 圆的直径 60ABD 45BDC PD垂直底面ABCD 2 2PDR EF 分别是 PBCD 上的点 且 PEDF EBFC 过点E作BC的平行线交PC于G 1 求BD与平面ABP所成角 的正弦值 2 证明 EFG 是直角三角形 3 当 1 2 PE EB 时 求EFG 的面积 解析 1 在Rt BAD 中 60ABD 3ABR ADR 而 PD 垂直底面 ABCD 2222 2 2 3 11PAPDADRRR 2222 2 2 2 2 3PBPDBDRRR 在PAB 中 222 PAABPB 即PAB 为以PAB 为直角的直角三角形 设点D到面PAB的距离为H 由 P ABDD PAB VV 有PA AB HAB AD PD 即 32 22 66 1111 AD PDRR HR PAR 66 sin 11 H BD 2 PEPG EGBC EBGC 而 PEDF EBFC 即 PGDF GFPD GCDC GFBC GFEG EFG 是直角三角形 3 1 2 PE EB 时 1 3 EGPE BCPB 2 3 GFCF PDCD 即 112224 2 2cos45 2 2 333333 EGBCRR GFPDRR EFG 的面积 2 1124 24 22339 EFG SEG GFRRR 21 本小题满分 12 分 设pq 为实数 是方程 2 0 xpxq 的两个实根 数列 n x满足 1 xp F C P G E A B 图 5 D 2 2 xpq 12nnn xpxqx 34n 1 证明 p q 2 求数列 n x 的通项公式 3 若1p 1 4 q 求 n x的前n项和 n S 解析 1 由求根公式 不妨设 得 22 44 22 ppqppq 22 44 22 ppqppq p 22 44 22 ppqppq q 2 设 112 nnnn xsxt xsx 则 12 nnn xst xstx 由 12nnn xpxqx 得 stp stq 消去t 得 2 0 spsq s是方程 2 0 xpxq 的根 由题意可知 12 ss 当 时 此时方程组 stp stq 的解记为 12 12 ss tt 或 112 nnnn xxxx 112 nnnn xxxx 即 11 nn xt x 21 nn xt x分别是公比为 1 s 2 s 的等比数列 由等比数列性质可得 2 121 n nn xxxx 2 121 n nn xxxx 两式相减 得 22 12121 nn n xxxxx 2 21 xpq xp 22 2 x 1 x 222 21 nnn xx 222 21 nnn xx 1 nn n x 即 1 nn n x 11 nn n x 当 时 即方程 2 0 xpxq 有重根 2 40 pq 即 2 40 stst 得 2 0 stst 不妨设 st 由 可知 2 121 n nn xxxx 2 121 nn