2010年全国高考文科数学试题及答案-湖南.pdf

中国校长网 中国校长网资源频道 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 数学 文史类 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 数学 文史类 班姓名 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 复数 i i i i 1 2 等于 A i i i i 1B i i i i 1C 1 iD 1 i 2 下列命题中的假命题是 A 0 x x x xR R R Rx x x xlg lg lg lg B 1 x x x xR R R Rx x x xtantantantan C 0 3 x x x xR R R Rx x x x D 02 x x x x R R R Rx x x x 3 某商品销售量 y 件 与销售价格 x 元 件 负相关 则其回归方程可能是 A 20010 x x x xy y y y B 20010 x x x xy y y y C 20010 x x x xy y y y D 20010 x x x xy y y y 4 极坐标方程 coscoscoscos 和参数方程 t t t ty y y y t t t tx x x x 2 1 t 为参数 所表示的图形分别是 A 直线 直线B 直线 圆C 圆 圆D 圆 直线 5 设抛物线 y2 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线的焦点的距离是 A 4B 6C 8D 12 6 若非零向量a a a a b b b b满足 b b b ba a a a 02 b b b bb b b ba a a a 则a a a a与b b b b的夹角为 A 300B 600C 1200D 1500 7 在ABC 中 角C C C CB B B BA A A A 的所对的边长分别为 a b c 若a a a ac c c cC C C C21200 则 A a bB a bC a bD a 与 b 的大小关系不能确定 8 函数bxbxbxbxaxaxaxaxy y y y 2 与 loglogloglog b b b ba a a aababababx x x xy y y y a a a a b b b b 0在同一直角坐标系中的图象可能是 二填空题 本大题共 7 个小题 每小题 5 分 共 35 分 把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上 CD 中国校长网 中国校长网资源频道 9 已知集合 A 1 2 3 B 2 m 4 A B 2 3 则 m 10 已知一种材料的最佳入量在 100g 到 200g 之间 若用 0 618 法安排试验 则第一次试点 的加入量可以是g 11 在区间 1 2 上随机取一个数 x 则 x 0 1 的概率为 12 图 1 是求实数 x 的绝对值的算法程序框图 则判断框可填 13 图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3的几何体的三视图 则h cm 14 若不同两点 P Q 的坐标分别为 a b 3 b 3 a 则线段 PQ 的垂直平分线l的斜率为 圆132 22 y y y yx x x x关 于 直 线l对 称 的 圆 的 方 程 为 15 若规定 1021 a a a aa a a aa a a aE E E E 的子集 m m m m t t t tt t t tt t t t a a a aa a a aa a a a 21 为 E 的第 k 个子集 其中 111 222 21 m m m m t t t tt t t tt t t t k k k k 则 1 31 a a a aa a a a是 E 的第 个子集 2 E 的第 211 个子集是 三解答题 每小题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数x x x xx x x xx x x xf f f f 2 22sinsinsinsinsinsinsinsin 求函数 f x的最小正周期 II 求函数 f x的最大值及 f x取最大值时 x 的集 合 17 本小题满分 12 分 为了对某课题进行研究 用分层抽样的方法从三所高校 A B C 的相关人员中 抽取若干人组成研究小组 有关数据见下表 单位 人 I 求 x y II 若从高校 B C 抽取的人中选 2 人作 专题发言 求这 2 人都来自高校 C 的概率 高校相关人数抽取人数 A18x B362 C54y 开始 是 否 输出 x 结束 输入 x 输出 x 图 1 正视图 侧视图 俯视图 图 2 单位 cm h 56 中国校长网 中国校长网资源频道 18 本小题满分 12 分 如图 3 所示 在长方体 ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D D D D中 AB AD AA1 M 是棱C 1 C的中点 求异面直线 1 A 和 1 C 1 D D D D所成的角的正切 值 证明 平面 ABM 平面 A1B1M 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A B 两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平 分线为 y 轴建立平面直角坐标系 图 4 考察范围为到 A B 两点的距离之和不超过 10km 的 区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 4 所示 设线段 P1P2是冰川的部分边界线 不考虑其他边界线 当冰川融化 时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动的距 离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界线上 图 3 中国校长网 中国校长网资源频道 20 本小题满分 13 分 给出下面的数表序列 表 1表 2表 3 113135 448 12 其中表 n n 1 2 3 有 n 行 第 1 行的 n 个数是 1 3 5 2n 1 从第二行起 每行 中的每个数都等于它肩上的两数之和 写出表 4 验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列 并将结 论推广到表 n n 3 不要求证明 某个数表中最后一行都只有一个数 它们构成数列 1 4 12 记此数列为 bn 求和 N N N Nn n n n b b b bb b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b bb b b b b b b b n n n nn n n n n n n n 1 2 32 4 21 3 21 本小题满分 13 分 已知函数a a a ax x x xa a a ax x x x x x x x a a a a x x x xf f f f151 lnlnlnln 其中 0 1 164632 223 x x x xx x x xf f f fe e e e x x x xe e e ea a a aa a a aaxaxaxaxaxaxaxaxx x x x x x x xg g g g x x x x e 是自然对数的 底数 是否存在 a 使 g x 在 a a 上是减函数 若存在 求 a 的取值范围 若不存在 请说明理由 中国校长网 中国校长网资源频道 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 数学 文史类 数学 文史类 参考答案参考答案 一 题号12345678 答案ACADBCAD 二 9 310 161 8 或 138 211 3 1 12 x 0 或 x 0 或 x 0 或 x 0 13 414 1 x2 y 1 2 115 5 87521 a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a 三 16 解 因为1 4 22212 sin sin sin sin coscoscoscos sinsinsinsin x x x xx x x xx x x xx x x xf f f f 所以函数 f x的最小正周期 2 2 T T T T II 由 知 当 2 2 4 2 k k k kx x x x 即 Z Z Z Zk k k kk k k kx x x x 8 时 f x取最大值 12 因此函数 f x取最大值时 x 的集合为 Z Z Z Zk k k kk k k kx x x xx x x x 8 17 解 I 由题意可得 5436 2 18 y y y yx x x x 所以 x 1 y 3 II 记从高校 B 抽取的 2 人为 b1 b2 从高校 C 抽取的 3 人为c1 c2 c3 则从高校 B C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 b1 b2 b1 c1 b1 c2 b1 c3 b2 c1 b2 c2 b2 c3 c1 c2 c1 c3 c2 c3 共 10 种 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X 则 X 包含的基本事件有 c1 c2 c1 c3 c2 c3 共 3 种 因此 10 3 X X X XP P P P 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 10 3 18 解 如图 因为 1111 A A A AB B B BD D D DC C C C 所以 11B B B B MAMAMAMA 异面 直线 1 A 和 1 C 1 D D D D所成的角 因为 1 A 1 B 平面 11B B B B BCCBCCBCCBCC 所以 0 11 90 MMMMB B B BA A A A 而 1 A 1 B 1 2 2 1 2 111 MCMCMCMCC C C CB B B BMMMMB B B B 故2 11 1 11 B B B BA A A A MMMMB B B B B B B BMAMAMAMAtantantantan 即异面直线 1 A 和 1 C 1 D D D D所成的角的正切值为2 中国校长网 中国校长网资源频道 由 1 A 1 B 平面 11B B B B BCCBCCBCCBCC BM 平面 11B B B B BCCBCCBCCBCC 得 1 A 1 B BM 由 知 2 1 MMMMB B B B 2 22 CMCMCMCMBCBCBCBCBMBMBMBM 2 1 B B B BB B B B 所 以 2 1 22 1 B B B BB B B BBMBMBMBMMMMMB B B B 从而 BM B1M 又 1111 B B B BMMMMB B B BB B B BA A A A 再由 得 BM 平面 A1B1M 而 BM 平面 ABM 因此平面 ABM 平面 A1B1M 19 解 设边界曲线上点的坐标为 P x y 则由 PA PB 10 知 点 P 在以 A B 为焦点 长轴长为 2a 10 的椭圆上 此时短半轴 长345 22 b b b b 所以考察区域边界曲线 如图 的方程 为1 925 22 y y y yx x x x 易 知 过 点 P1 P2的 直 线 方 程 为 4x 3y 47 0 因此点 A 到直线 P1P2的距离为 5 31 34 4716 22 d d d d 设经过 n 年 点 A 恰好在冰川边界线上 则利用 等比数列求和公式可得 5 31 12 1220 n n n n 解得 n 5 即经过 5 年 点 A 恰好在冰川边界线上 20 解 表 4 为1357 4812 1220 32 它的第 1 2 3 4 行中的数的平均数分别为 4 8 16 32 它们构成首项为 4 公比为 2 的等比 数列 将结这一论推广到表 n n 3 即 表 n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n 公比为 2 的等比数列 表 n 第 1 行是 1 3 5 2n 1 其平均数是n n n n n n n n n n n n 12531 由 知 它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n 公比为 2 的等比数 列 从而它的第 k 行中的数的平均数是 1 2 k k k k n n n n 于是表 n 中最后一行的唯一一个数为 中国校长网 中国校长网资源频道 1 2 n n n n n n n n 因此 23221 1 1 2 21 1 2 1 21 12 21 2 212 22 k k k kk k k kk k k kk k k kk k k kk k k k k k k k k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk k k kk k k k k k k kk k k k k k k kk k k k k k k k k k k kk k k k k k k k b b b bb b b b b b b b k 1 2 3 n 故 230112 1 2 32 4 21 3 21 1 2 1 23 1 22 1 22 1 21 1 n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n n nn n n nb b b bb b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b bb b b b b b b b 2 21 1 4 n n n n n n n n 21 x x x xf f f f的定义域为 0 22 11 1 x x x x x x x xa a a ax x x x x x x x a a a a x x x x a a a a x x x xf f f f 1 若 1 a 0 则当 0 x x x x xf f f f 当 a x 1 时 01 时 0 x x x xf f f f 故 x x x xf f f f分别在 10a a a a上单调递增 在 1a a a a 上单调递减 2 若 a x x x x e e e e 因 此0 a a a am m m m 而 2 2 a a a aa a a aa a a am m m m 所以2 a a a a 此时 显然有 g x 在 a a 上为减函数 当且仅当 x x x xf f f f 在 1 a 上为减函数 h x 在 a 1 上为减函数 且 11f f f fe e e eh h h h 由 知 当 a 2 时 x x x xf f f f在 a a a a 1上为减函数 又 4 1 30313411 2 a a a aa a a aa a a af f f fe e e eh h h h 不难知道 0101 x x x xm m m ma