2010年全国中考数学试题汇编专题十八·二次函数的图象.pdf

2828 2010201020102010 广东中山 广东中山 如图 1 2 所示 矩形 ABCD 的边长 AB 6 BC 4 点 F 在 DC 上 DF 2 动点 M N 分别从点 D B 同时出发 沿射线DA 线段 BA 向点A 的方向运动 点 M 可运动到 DA 的延长线上 当动点 N 运动到点 A 时 M N 两点 同时停止运动 连接 FM MN FN 当 F N M 不在同一直线时 可得 FMN 过 FMN 三边的中点作 PQW 设动点 M N 的速度都是 1 个单位 秒 M N 运动的时 间为 x 秒 试解答下列问题 1 说明 FMN QWP 2 设 0 x 4 即 M 从 D 到 A 运动的时间段 试问 x 为何值时 PQW 为直角三角 形 当 x 在何范围时 PQW 不为直角三角形 3 问当 x 为何值时 线段 MN 最短 求此时 MN 的值 答案 解 1 由题意可知 P W Q 分别是 FMN 三边的中点 PW 是 FMN 的中位线 即 PW MN FMN QWP 2 由题意可得DM BN x AN 6 x AM 4 x 由勾股定理分别得 2 FM 2 4x 2 MN 2 4 x 2 6 x 2 FN 2 4 x 16 当 2 MN 2 FM 2 FN时 2 4 x 2 6 x 2 4x 2 4 x 16 解得 3 4 x 当 2 FN 2 FM 2 MN时 2 4 x 16 2 4x 2 4 x 2 6 x 此方程无实数根 2 FM 2 MN 2 FN时 2 4x 2 4 x 2 6 x 2 4 x 16 解得10 1 x 不合题意 舍去 4 2 x 综上 当 3 4 x或4 x时 PQW 为直角三角形 当 0 x 3 4 或 3 4 x 4 时 PQW 不为直角三角形 3 当 0 x 4 即 M 从 D 到 A 运动时 只有当 x 4 时 MN 的值最小 等于 2 当 4 x 6 时 2 MN 2 AM 2 AN 2 4 x 2 6 x 2 5 2 2 x 当 x 5 时 2 MN取得最小值 2 当 x 5 时 线段 MN 最短 MN 2 2929 2010201020102010湖南常德湖南常德 如图 9 已知抛物线 2 1 2 yxbxc 与x轴交于A 4 0 和B 1 0 两点 与y轴交于C点 1 求此抛物线的解析式 2 设E是线段AB上的动点 作EF AC交BC于F 连接CE 当 CEF的面积是 BEF 面积的 2 倍时 求E点的坐标 3 若P为抛物线上A C两点间的一个动点 过P作y轴的平行线 交AC于Q 当P 点运动到什么位置时 线段PQ的值最大 并求此时P点的坐标 x y O B C A 图 9 答案 解 1 由二次函数 2 1 2 yxbxc 与x轴交于 4 0 A 1 0 B两点可得 2 2 1 4 40 2 1 10 2 bc bc 解得 3 2 2 b c 故所求二次函数的解析式为 2 13 2 22 yxx 2 S CEF 2S BEF 1 2 BF CF 1 3 BF BC EF AC B EFBACBFEBCA BEF BAC 1 3 BEBF BABC 得 5 3 BE 故E点的坐标为 2 3 0 3 解法一 由抛物线与y轴的交点为C 则C点的坐标为 0 2 若设直线AC 的解析式为ykxb 则有 20 04 b kb 解得 1 2 2 k b 故直线AC的解析式为 1 2 2 yx 若设P点的坐标为 2 13 2 22 aaa 又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线 AC的交点 则Q点的坐标为 1 2 2 aa 则有 2 131 2 2 222 PQaaa 2 1 2 2 aa 21 22 2 a 即当2a 时 线段PQ取大值 此时P点的坐标为 2 3 解法二 延长PQ交x轴于D点 则PDAB 要使线段PQ最长 则只须 APC 的面积取大值时即可 设P点坐标为 00 yx 则有 ACODPCO S APCADP SSS 梯形 111 222 AD PDPDOCODOA OC 00000 111 224 2 222 x yyyx 00 24yx 2 000 13 224 22 xxx 2 00 4xx 2 2 0 24x 即 0 2x 时 APC的面积取大值 此时线段PQ最长 则P点坐标 为 2 3 3030 2010201020102010 湖南郴州 湖南郴州 如图 1 抛物线4 2 yxx 与y轴交于点A E 0 b 为y 轴上一动点 过点E的直线yxb 与抛物线交于点B C 1 求点A的坐标 2 当b 0 时 如图 2 ABE 与ACE 的面积大小关系如何 当4b 时 上述关 系还成立吗 为什么 3 是否存在这样的b 使得BOC 是以BC为斜边的直角三角形 若存在 求出b 若 不存在 说明理由 y x C C C C B B B B A A A A O O O O E E E E y x C C C C B B B B A A A A O O O O E E E E 第 26 题 图 1 图 2 答案 1 将x 0 代入抛物线解析式 得点A的坐标为 0 4 2 当b 0 时 直线为yx 由 2 4 yx yxx 解得 1 1 2 2 x y 2 2 2 2 x y 所以B C的坐标分别为 2 2 2 2 1 424 2 ABE S 1 424 2 ACE S 所以 ABEACE SS 利用同底等高说明面积相等亦可 当4b 时 仍有 ABEACE SS 成立 理由如下 由 2 4 yxb yxx 解得 1 1 4 4 xb ybb 2 2 4 4 xb ybb 所以B C的坐标分别为 4b 4b b 4b 4b b 作BFy 轴 CGy 轴 垂足分别为F G 则4BFCGb 而ABE 和ACE 是同底的两个三角形 所以 ABEACE SS 3 存在这样的b 因为90BFCG BEFCEG BFECGE 所以BEFCEG 所以BECE 即E为BC的中点 所以当OE CE时 OBC 为直角三角形 因为44GEbbbbGC 所以24CEb 而OEb G F y B B B B C C C C Q Q Q Q O O O O R R R R 所以24bb 解得 12 4 2bb 所以当b 4 或 2 时 OBC为直角三角形 3131 2010201020102010 湖南怀化 湖南怀化 图 9 是二次函数kmxy 2 的图象 其顶点坐标为 M 1 4 1 求出图象与x轴的交点 A B 的坐标 2 在二次函数的图象上是否存在点 P 使 MABPAB SS 4 5 若存在 求出 P 点的 坐标 若不存在 请说明理由 3 将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折 图象的其余部分保持不变 得到一个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线 1 bbxy与此 图象有两个公共点时 b的取值范围 图 9 答案 解 1 因为 M 1 4 是二次函数kmxy 2 的顶点坐标 所以324 1 22 xxxy 令 0 32 2 xx解之得3 1 21 xx A B 两点的坐标分别为 A 1 0 B 3 0 2 在二次函数的图象上存在点 P 使 MABPAB SS 4 5 设 yxp则yyABS PAB 2 2 1 又84 2 1 ABS MAB 5 8 4 5 2 yy即 二次函数的最小值为 4 5 y 当5 y时 4 2 xx或 故 P 点坐标为 2 5 或 4 5 7 分 3 如图 1 当直线 1 bbxy经过 A 点时 可得 1 b 8 分 图 1 当直线 1 bbxy经过 B 点时 可得 3 b 由图可知符合题意的b的取值范围为13 b 3232 2010201020102010 湖北鄂州 湖北鄂州 如图 在直角坐标系中 A 1 0 B 0 2 一动点P沿过B点 且垂直于AB的射线BM运动 P点的运动速度为每秒 1 个单位长度 射线BM与x轴交与 点C 1 求点C的坐标 2 求过点A B C三点的抛物线的解析式 3 若P点开始运动时 Q点也同时从C出发 以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运 动 t秒后 以P Q C为顶点的三角形为等腰三角形 点P到点C时停止运动 点Q也 同时停止运动 求t的值 4 在 2 3 的条件下 当CQ CP时 求直线OP与抛物线的交点坐标 答案 1 点C的坐标是 4 0 2 设过点A B C三点的抛物线的解析式为y ax2 bx c a 0 将点A B C三点的 坐标代入得 0 2 0164 abc c abc 解得 1 2 3 2 2 a b c 抛物线的解析式是 y 1 2 x2 3 2 x 2 3 设P Q的运动时间为t秒 则BP t CQ t 以P Q C为顶点的三角形为等腰三 角形 可分三种情况讨论 若CQ PC 如图所示 则PC CQ BP t 有 2t BC 2 5 t 5 若PQ QC 如图所示 过点Q作DQ BC交CB于点D 则有CD PD 由 ABC QDC 可得出PD CD 2 5 5 t 4 5 2 5 5 tt 解得t 40 10 5 11 若PQ PC 如图所示 过点P作PE AC交AC于点E 则EC QE 2 5 5 PC 1 2 t 2 5 5 2 5 t 解得t 32 540 11 4 当CQ PC时 由 3 知t 5 点P的坐标是 2 1 直线OP的解析式是 y 1 2 x 因而有 1 2 x 1 2 x2 3 2 x 2 即x2 2x 4 0 解得x 1 5 直线OP与抛物线的 交点坐标为 1 5 1 5 2 和 1 5 15 2 3333 2010201020102010湖北省咸宁湖北省咸宁 已知二次函数 2 yxbxc 的图象与x轴两交点的坐标分别为 m 0 3m 0 0m 1 证明 2 43cb 2 若该函数图象的对称轴为直线1x 试求二次函数的最小值 答案 1 证明 依题意 m 3m 是一元二次方程 2 0 xbxc 的两根 根据一元二次方程根与系数的关系 得 3 mmb 3 mmc 2bm 2 3cm 22 4312cbm 2 解 依题意 1 2 b 2b 由 1 得 22 33 2 3 44 cb 22 23 1 4yxxx 二次函数的最小值为4 3434 20102010 湖北恩施自治州 湖北恩施自治州 如图 在平面直角坐标系中 二次函数cbxxy 2 的图 象与x轴交于A B两点 A点在原点的左侧 B点的坐标为 3 0 与 y 轴交于C 0 3 点 点P是直线BC下方的抛物线上一动点 1 求这个二次函数的表达式 2 连结PO PC 并把 POC沿CO翻折 得到四边形POP C 那么是否存在点P 使四边形POP C为菱形 若存在 请求出此时点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 当点P运动到什么位置时 四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边 形ABPC的最大面积 答案 解 1 将B C两点的坐标代入得 3 03 c cb 解得 3 2 c b 所以二次函数的表达式为 32 2 xxy 2 存在点P 使四边形POP C为菱形 设P点坐标为 x 32 2 xx PP 交CO于E 若四边形POP C是菱形 则有PC PO 连结PP 则PE CO于E OE EC 2 3 y 2 3 32 2 xx 2 3 解得 1 x 2 102 2 x 2 102 不合题意 舍去 P 点的坐标为 2 102 2 3 8 分 3 过点P作y轴的平行线与BC交于点Q 与OB交于点F 设P x 32 2 xx 易得 直线BC的解析式为3 xy 则Q点的坐标为 x x 3 EBQPOEQPOCABSSSS CPQBPQABC ABPC 2 1 2 1 2 1 四边形 3 3 2 1 34 2 1 2 xx 8 75 2 3 2 3 2 x 当 2 3 x时 四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为 4 15 2 3 四边形ABPC的 面积 8 75 的最大值为 3535 20102010 北京北京 在平面直角坐标系xOy中 抛物线23 4 5 4 1 22 mxx m x m y与 x 轴的交点分别为原点O和点A 点B 2 n 在这条抛物线上 1 求B点的坐标 2 点P在线段OA上 从O点出发向A点运动 过P点作x轴的垂线 与直线OB交 与点E 延长PE到点D 使得ED PE 以PD为斜边 在PD右侧做等等腰直角三角 形PCD 当P点运动时 C点 D点也随之运动 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时 求OP的长 若P点从 O 点出发向A点作匀速运动 速度为每秒 1 个单位 同时线段OA上另一 1 y x O 第 24 题 1 2 3 4 2 4 3 3 1 2 3 4412 个点Q从A点出发向O点作匀速运动 速度为每秒 2 个单位 当 Q 点到达O点时停 止运动 P点也同时停止运动 过Q点做x轴的垂线 与直线AB交与点F 延长 QF到点M 使得FM QF 以QM为斜边 在QM的左侧作等腰直角三角形QMN 当Q 点运动时 M点 N点也随之运动 若P点运动到t秒时 两个等腰直角三角形分 别有一条边恰好落在同一条直线上 求此刻t的值 答案 解 1 抛物线23 4 5 4 1 22 mmx m x m y经过原点 m 2 3m 2 0 解的m1 1 m2 2 由题意知m 1 m 2 抛物线的解析式为xxy 2 5 4 1 2 点B 2 n 在抛物线xxy 2 5 4 1 2 n 4 B点的坐标为 2 4 2 设直线OB的解析式为y k1x 求得直线OB的解析式y 2x A点是抛物线与x轴的一个交点 可求得A点的坐标为 10 0 设P点的坐标为 a 0 则E点的坐标为 a 2a 根据题意做等腰直角三角形PCD 如图 1 可求得点C的坐标为 3a 2a 有C点在抛物线上 得 2a 4 1 x 3a 2 2 5 x3a 即 4 9 a 2 2 11a 0 解得a1 9 22 a2 0 舍去 OP 9 22 依题意作等腰直角三角形QMN 设直线AB的解析式y k2x b 由点A 10 0 点B 2 4 求得直线AB的解析式为y 2 1 x 5 当P点运动到t秒时 两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上 有以 下三种情况 第一种情况 CD与NQ在同一条直线上 如图 2 所示 可证 DPQ为等腰直角三角形 此时QP OP AQ的长可依次表示为t 4t 2t个单 位 PQ DP 4t t 4t 2t 10 t 7 10 第二种情况 PC与MN在同一条直线上 如图 3 所示 可证 PQM为等腰直角三角形 此时OP AQ的长依次表示为t 2t个单位 OQ 10 2t F点在直线AB上 FQ t MQ 2t PQ MQ CQ 2t t 2t 2t 10 t 2 第三种情况 点P Q重合时 PD QM在同一条直线上 如图 4 所示 此时OP AQ的 长依次表示为t 2t个单位 t 2t 10 t 3 10 综上 符合题意的值分别为 7 10 2 3 10 3636 2010201020102010云南云南红河红河哈尼族彝族哈尼族彝族自治州自治州 二次函数 2 xy 的图像如图 8 所示 请将此图像向 右平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位 1 画出经过两次平移后所得到的图像 并写出函数的解析式 2 求经过两次平移后的图像与 x 轴的交点坐标 指出当 x 满足什么条件时 函数值大 于 0 答案 解 画图如图所示 依题意得 2 1 2 xy 212 2 xx 12 2 xx 平移后图像的解析式为 12 2 xx 2 当 y 0 时 12 2 xx 0 2 1 2 x 21 x 2121 21 xx 平移后的图像与 x 轴交与两点 坐标分别为 21 0 和 21 0 由图可知 当 x21 时 二次函数2 1 2 xy的函数值大于 0 3737 2010201020102010云南楚雄云南楚雄 已知 如图 抛物线 2 yaxbxc 与x轴相交于两点A 1 0 B 3 0 与y轴相较于点C 0 3 1 求抛物线的函数关系式 2 若点D 7 2 m 是抛物线 2 yaxbxc 上一点 请求出m的值 并求处此时 ABD 的面积 3124 1 2 3 4 O 1 2 1 2 x y 答案 解 1 由题意可知 0 930 3 abc abc c 解得 1 4 3 a b c 所以抛物线的函数关系式为 2 43yxx 2 把D 7 2 m 代人函数解析式 2 43yxx 中 得 2 775 43 224 m 所以 155 3 1 244 ABD S 3838 2010201020102010 湖北随州 湖北随州 已知抛物线 2 0 yaxbxc a 顶点为 C 1 1 且过原点 O 过 抛物线上一点 P x y 向直线 5 4 y 作垂线 垂足为 M 连 FM 如图 1 求字母 a b c的值 2 在直线 x 1 上有一点 3 1 4 F 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标 并 证明此时 PFM为正三角形 3 对抛物线上任意一点 P 是否总存在一点 N 1 t 使 PM PN 恒成立 若存在请求 出 t 值 若不存在请说明理由 答案 1 a 1 b 2 c 0 2 过 P 作直线 x 1 的垂线 可求 P 的纵坐标为 1 4 横坐标为 1 13 2 此时 MP MF PF 1 故 MPF 为正三角形 3 不存在 因为当 t 5 4 x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 同理 当 t 5 4 x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 3939 2010201020102010河南河南 在平面直角坐标系中 已知抛物线经过 A 4 0 B 0 一 4 C 2 0 三 点 1 求抛物线的解析式 2 若点 M 为第三象限内抛物线上一动点 点 M 的横坐标为 m AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式 并求出 S 的最大值 3 若点 P 是抛物线上的动点 点 Q 是直线 y x上的动点 判断有几个位置能使以点 P Q B 0 为顶点的四边形为平行四边形 直接写出相应的点 Q 的坐标 答案 1 设抛物线的解析式为y ax2 bx c a 0 则有 1640 4 420 abc c abc 解得 1 2 1 4 a b c 抛物线的解析式y 1 2 x2 x 4 2 过点M作MD x轴于点D 设M点的坐标为 m n 则AD m 4 MD n n 1 2 m 2 m 4 S S AMD S梯形DMBO S ABO 1 2 m 4 n 1 2 n 4 m 1 2 4 4 2n 2m 8 2 1 2 m 2 m 4 2m 8 m 2 4m 4 m 0 S最大值 4 3 满足题意的 Q 点的坐标有四个 分别是 4 4 4 4 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 4040 20102010 四川乐山四川乐山 如图 13 1 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 点 C 0 2 连接 AC 若 tan OAC 2 1 求抛物线对应的二次函数的解析式 2 在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P 使 APC 90 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 13 2 所示 连接 BC M 是线段 BC 上 不与 B C 重合 的一个动点 过点 M 作 直线l l 交抛物线于点N 连接CN BN 设点M的横坐标为t 当t为何值时 BCN 的面积最大 最大面积为多少 答案答案 解 1 抛物线 y x2 bx c 过点 C 0 2 x 2 又 tan OAC OC OA 2 OA 1 即 A 1 0 又 点 A 在抛物线 y x2 bx 2 上 0 12 b 1 2 b 3 抛物线对应的二次函数的解析式为 y x2 3x 2 2 存在 过点 C 作对称轴 l 的垂线 垂足为 D 如图所示 x 33 22 12 b a AE OE OA 3 2 1 1 2 APC 90 tan PAE tan CPD PECD EADP 即 1 2 PE 3 2 2PE 解得 PE 1 2 或 PE 3 2 点 P 的坐标为 3 2 1 2 或 3 2 3 2 备注 可以用勾股定理或相似解答 3 如图 易得直线 BC 的解析式为 y x 2 点 M 是直线l 和线段 BC 的交点 M 点的坐标为 t t 2 0 t 2 MN t 2 t2 3t 2 t2 2t S BCM S MNC S MNB 1 2 MN t 1 2 MN 2 t 1 2 MN t 2 t MN t2 2t 0 t 2 S BCN t2 2t t 1 2 1 当 t 1 时 S BCN 的最大值为 1 4141 20102010 江苏徐州 江苏徐州 如图 已知二次函数 y 4 2 3 4 1 2 xx的图象与 y 轴交于点 A 与 x 轴 交于 B C 两点 其对称轴与 x 轴交于点 D 连接 AC 全品中考网 1 点 A 的坐标为 点 C 的坐标为 2 线段 AC 上是否存在点 E 使得 EDC 为等腰三角形 若存在 求出所有符合条件的点 E 的坐标 若不存在 请说明理由 3 点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点 连接 PA PC 若所得 PAC 的面积为 S 则 S 取何值时 相应的点 P 有且只有 2 个 答案 4242 2010201020102010云南昆明云南昆明 在平面直角坐标系中 抛物线经过 O 0 0 A 4 0 B 3 2 3 3 三点 1 求此抛物线的解析式 2 以 OA 的中点 M 为圆心 OM 长为半径作 M 在 1 中的抛物线上是否存在这 样的点 P 过点 P 作 M 的切线l 且l与x轴的夹角为 30 若存在 请求出此 时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 注意 本题中的结果可保留根号 答案 解 1 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 由题意得 0 1640 2 3 93 3 c abc abc 解得 2 38 3 0 99 abc 抛物线的解析式为 2 2 38 3 99 yxx 2 存在 l l l l 抛物线 2 2 38 3 99 yxx 的顶点坐标是 8 3 2 9 作抛物线和 M 如图 设满足条件的切线l与x轴交于点B 与 M相切于点C 连接MC 过C作CD x轴于D MC OM 2 CBM 30 CM BC BCM 90 BMC 60 BM 2CM 4 B 2 0 在Rt CDM中 DCM CDM CMD 30 DM 1 CD 22 CMDM 3 C 1 3 设切线l的解析式为 0 ykxb k 点B C在l上 可得 3 20 kb kb 解得 32 3 33 kb 切线BC的解析式为 32 3 33 yx 点P为抛物线与切线的交点 由 2 2 38 3 99 32 3 33 yxx yx 解得 1 1 1 2 3 2 x y 2 2 6 8 3 3 x y 点P的坐标为 1 13 22 P 2 8 3 6 3 P 抛物线 2 2 38 3 99 yxx 的对称轴是直线2 x 此抛物线 M都与直线2 x成轴对称图形 于是作切线l关于直线2 x的对称直线l 如图 得到B C关于直线2 x的对称点B1 C1 l 满足题中要求 由对称性 得到P1 P2关于直线2 x的对称点 3 93 22 P 4 8 3 2 3 P 即为所求的点 这样的点 P 共有 4 个 1 13 22 P 2 8 3 6 3 P 3 93 22 P 4 8 3 2 3 P 4343 2010201020102010陕西西安陕西西安 如图 在平面直角坐标系中 抛物线经过 A 1 0 B 3 0 C 0 1 三点 1 求该抛物线的表达式 2 点 Q 在 y 轴上 点 P 在抛物线上 要使以点 Q P A B 为顶点的四边形是平行 四边形 求所有满足条件的点 P 的坐标 答案 解 1 设该抛物线的表达式为cbxaxy 2 根据题意 得 1 0 39 0 c cba cba 解之 得 1 3 2 3 1 c b a 所求抛物线的表达式为 1 3 2 3 1 2 xxy 2 当 AB 为边时 只要 PQ AB 且 PQ AB 4 即可 又知点 Q 在 y 轴上 点 P 的横坐标为 4 或 4 这时 将 合条件的点 P 有两个 分别记为 P1 P2 而当 x 4 时 7 4 3 5 yxy时当 此时 7 4 3 5 4 21 PP 当 AB 为对角线时 只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可 又知点 Q 在 y 轴上 且线段 AB 中点的横坐标为 1 点 P 的横坐标为 2 这时 符合条件的点 P 只有一个 记为 P3 而当 x 2 时 y 1 此时 P3 2 1 综上 满足条件的点 1 2 7 4 3 5 4 321 PPPP为 4444 2010201020102010 四川内江四川内江 如图 抛物线y mx2 2mx 3m m 0 与x轴交于A B两点 与y 轴交于C点 1 请求抛物线顶点M的坐标 用含m的代数式表示 A B两点的坐标 2 经探究可知 BCM与 ABC的面积比不变 试求出这个比值 3 是否存在使 BCM为直角三角形的抛物线 若存在 请求出 如果不存在 请说明理 由 x M AB C y O 答案 解 1 y mx2 2mx 3m m x2 2x 3 m x 1 2 4m 抛物线顶点M的坐标为 1 4m 2 分 抛物线y mx2 2mx 3m m 0 与x轴交于A B两点 当y 0 时 mx2 2mx 3m 0 m 0 x2 2x 3 0 解得x1 1 x 2 3 A B两点的坐标为 1 0 3 0 4 分 2 当x 0 时 y 3m 点C的坐标为 0 3m S ABC 1 2 3 1 3m 6 m 6m 5 分 过点M作MD x轴于D 则OD 1 BD OB OD 2 MD 4m 4m x M AB C y O D N S BCM S BDM S梯形OCMD S OBC 1 2BD DM 1 2 OC DM OD 1 2OB OC 1 2 2 4m 1 2 3m 4m 1 1 2 3 3m 3m 7 分 S BCM S ABC 1 2 8 分 3 存在使 BCM为直角三角形的抛物线 过点C作CN DM于点N 则 CMN为 Rt CN OD 1 DN OC 3m MN DM DN m CM2 CN2 MN2 1 m2 在 Rt OBC中 BC2 OB2 OC2 9 9m2 在 Rt BDM中 BM2 BD2 DM2 4 16m2 如果 BCM是 Rt 且 BMC 90 时 CM2 BM2 BC2 即 1 m2 4 16m2 9 9m2 解得m 2 2 m 0 m 2 2 存在抛物线y 2 2 x2 2x 3 2 2 使得 BCM是 Rt 10 分 如果 BCM是 Rt 且 BCM 90 时 BC2 CM2 BM2 即 9 9m2 1 m2 4 16m2 解得m 1 m 0 m 1 存在抛物线y x2 2x 3 使得 BCM是 Rt 如果 BCM是 Rt 且 CBM 90 时 BC2 BM2 CM2 即 9 9m2 4 16m2 1 m2 整理得m2 1 2 此方程无解 以 CBM为直角的直角三角形不存在 或 9 9m2 1 m2 4 16m2 1 m2 以 CBM为直角的直角三角形不存在 综上的所述 存在抛物线y 2 2 x2 2x 3 2 2 和y x2 2x 3 使得 BCM是 Rt 4545 2010201020102010 广东东莞广东东莞 已知二次函数cbxxy 2 的图象如图所示 它与x轴的一个交 点坐标为 1 0 与y轴的交点坐标为 0 3 求出b c的值 并写出此时二次函数的解析式 根据图象 写出函数值y为正数时 自变量x的取值范围 x y 3 1O 答案 根据题意 得 3 01 c cb 解得 3 2 c b 所以抛物线的解析式为 32 2 xxy 令032 2 xxy 解得3 1 21 xx 根据图象可得当函数值y为正数时 自变量 x的取值范围是 1 x 3 4646 2010201020102010 福建三明福建三明 已知抛物线 0 2 acbxaxy经过点 B 2 0 和点 C 0 8 且它的对称轴是直线2 x 1 求抛物线与x轴的另一交点 A 坐标 2 分 2 求此抛物线的解析式 3 分 3 连结 AC BC 若点 E 是线段 AB 上的一个动点 与点 A 点 B 不重合 过点E 作 EF AC 交 BC 于点 F 连结 CE 设 AE 的长为 m CEF 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式 4 在 3 的基础上试说明 S 是否存在最大值 若 存在 请求出 S 的最大值 并求出此时点 E 的 坐标 判断此时 BCE 的形状 若不存在 请 说明理由 答案 答案 1 抛物线Cbxaxy 2 的对称轴是直线2 x 由对称性可得 A 点的坐标为 6 0 2 分 2 点 C 0 8 在抛物线Cbxaxy 2 的图象上8 C 将 A 6 0 B 2 0 代入表达式得 8240 86360 ba ba 解得 3 8 3 2 b a 所求解析式为8 3 8 3 2 xxy 也可用aCxxay代入求出把 8 0 2 6 5 分 3 依题意 AE m 则 BE 8 m OA 6 OC 8 AC 10 EF AC BEF BAC 4 540m EF AB BF AC EF 即 过点 F 作 FG AB 垂足为 G 则 5 4 CABSFEGS inin m m FG EF FG 8 4 540 5 4 5 4 BFEBCE SSS 8 8 2 1 8 8 2 1 mmm mm4 2 1 2 10 分 4 存在 理由如下 0 2 1 8 4 2 1 4 2 1 22 且mmmS 当 m 4 时 S 有最大值 S 最大值 8 12 分 m 4 点 E 的坐标为 2 0 BCE 为等腰三角形 14 分 4747 20102010 湖北襄樊湖北襄樊 如图 7 四边形ABCD是平行四边形 AB 4 OB 2 抛物线过A B C三点 与x轴交于另一点D 一动点P以每秒 1 个单位长度的速度从B点出发沿BA 向点A运动 运动到点A停止 同时一动点Q从点D出发 以每秒 3 个单位长度的速 度沿DC向点C运动 与点P同时停止 1 求抛物线的解析式 2 若抛物线的对称轴与AB交于点E 与x轴交于点F 当点P运动时间 t 为何值时 四边形 POQE 是等腰梯形 3 当t为何值时 以P B O为顶点的三角形与以点Q B O为顶点的三角形相 似 图 7 答案 解 1 四边形 ABCD 是平行四边形 OC AB 4 A 4 2 B 0 2 C 4 0 抛物线y ax2 bx c过点B c 2 由题意 有 16420 16422 ab ab 解得 1 16 1 4 a b 所求抛物线的解析式为 2 11 2 164 yxx 2 将抛物线的解析式配方 得 211 22 164 yx 抛物线的对称轴为x 2 D 8 0 E 2 2 F 2 0 欲使四边形POQE为等腰梯形 则有OP QE 即BP FQ t 6 3t 即t 3 2 3 欲使以P B O为顶点的三角形与以点Q B O为顶点的三角形相似 PBO BOQ 90 有 BPOQ OBBO 或 BPBO OBOQ 即PB OQ或OB2 PB QO 若P Q在y轴的同侧 当PB OQ时 t 8 3t t 2 当OB2 PB QO时 t 8 3t 4 即 3t2 8t 4 0 解得 12 2 2 3 tt 若P Q在y轴的异侧 当PB OQ时 3t 8 t t 4 当OB2 PB QO时 t 3t 8 4 即 3t2 8t 4 0 解得 42 7 3 t t 42 7 3 0 故舍去 t 42 7 3 当t 2 或t 2 3 或t 4 或t 42 7 3 秒时 以P B O为顶点的三角形与以点Q B O 为顶点的三角形相似 4848 2010201020102010 山东东营山东东营 如图 已知二次函数 2 4yaxxc 的图象与坐标轴交于点A 1 0 和点 B 0 5 1 求该二次函数的解析式 2 已知该函数图象的对称轴上存在一点P 使得 ABP的周长最小 请求出点P的坐 标 xO A 第 23 题图 B y 答案 答案 解 1 根据题意 得 0405 1 4 1 0 2 2 ca ca 2 分 解得 5 1 c a 3 分 二次函数的表达式为54 2 xxy 4 分 2 令y 0 得二次函数54 2 xxy的图象与x轴 的另一个交点坐标C 5 0 5 分 由于P是对称轴2 x上一点 连结AB 由于26 22 OBOAAB 要使 ABP的周长最小 只要PBPA 最小 6 分 由于点A与点C关于对称轴2 x对称 连结BC交对称轴于点P 则PBPA BP PC BC 根据两点之间 线段最短 可得PBPA 的最小值为BC xO A 第 23 题图 B y C P x 2 因而BC与对称轴2 x的交点P就是所求的点 8 分 设直线BC的解析式为bkxy 根据题意 可得 50 5 bk b 解得 5 1 b k 所以直线BC的解析式为5 xy 9 分 因此直线BC与对称轴2 x的交点坐标是方程组 5 2 xy x 的解 解得 3 2 y x 所求的点P的坐标为 2 3 10 分 4949 2010201020102010 四川绵阳四川绵阳 如图 抛物线y ax2 bx 4 与x轴的两个交点分别为A 4 0 B 2 0 与y轴交于点C 顶点为D E 1 2 为线段BC的中点 BC的垂直平分 线与x轴 y轴分别交于F G 1 求抛物线的函数解析式 并写出顶点D的坐标 2 在直线EF上求一点H 使 CDH的周长最小 并求出最小周长 3 若点K在x轴上方的抛物线上运动 当K运动到什么位置时 EFK的面积最大 并求出最大面积 C E D G A x y OBF 答案 答案 1 由题意 得 0424 0 4416 ba ba 解得 2 1 a b 1 所以抛物线的解析式为4 2 1 2 xxy 顶点D的坐标为 1 2 9 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 因为EF垂直平分BC 即C关于直线EG的 对称点为B 连结BD交于EF于一点 则这一点为所求点H 使DH CH最小 即最小为 DH CH DH HB BD 13 2 3 22 DMBM 而 2 5 4 2 9 1 22 CD CDH的周长最小值为CD DR CH 2 1335 设直线BD的解析式为y k1x b 则 2 9 0 2 11 11 bk bk 解得 2 3 1 k b1 3 所以直线BD的解析式为y 2 3 x 3 由于BC 25 CE BC 2 5 Rt CEG COB 得CE CO CG CB 所以CG 2 5 GO 1 5 G 0 1 5 同理可求得直线EF的解析式为y 2 1 x 2 3 联立直线BD与EF的方程 解得使 CDH的周长最小的点H 4 3 8 15 3 设K t 4 2 1 2 tt xF t xE 过K作x轴的垂线交EF于N 则KN yK yN 4 2 1 2 tt 2 1 t 2 3 2 5 2 3 2 1 2 tt 所以S EFK S KFN S KNE 2 1 KN t 3 2 1 KN 1 t 2KN t2 3t 5 t 2 3 2 4 29 即当t 2 3 时 EFK的面积最大 最大面积为 4 29 此时K 2 3 8 35 5050 2010201020102010 湖北孝感 湖北孝感 如图 已知二次函数图像的顶点坐标为 2 0 直线1 xy与 二次函数的图像交于 A B两点 其中点 A 在 y 轴上 1 二次函数的解析式为 y 3 分 2 证明点 12 mm不在 1 中所求的二次函数的图像上 3 分 3 若 C 为线段 AB 的中点 过 C 点作xCE 轴于 E 点 CE 与二次函数的图像交于 D 点 y 轴上存在点K 使以 K A D C 为顶点的四边形是平行四边形 则 K 点的 坐标是 2 分 二次函数的图像上是否存在点 P 使得 ABDPOE SS 2 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 请说明理由 4 分 答案 答案 1 解 2 4 1 1 4 1 22 xyxxy或 3 分 2 证明 设点1 4 1 1 2 2 xxymm在二次函数的图像上 则有 1 4 1 12 2 mmm 4 分 整理得 084 2 mm 0 1684 4 2 mmmm得到 从而判断点 12 mm不在二次函数图像上的同样给分 3 解 3 0 5 0 或K 8 分 二次函数的图象上存在点 P 使得 2 ABDPOE SS 如图 过点 B 作xBF 轴于 F 则 BF CE AO 又 C 为 AB 中点 5 4 1 4 0 4 9 8 11 4 1 2 轴 可求得点和由 xADCDE BxyxxyEFOE 1644 2 1 22 ACDABD SS 9 分 设 1 4 1 2 xxxP 由题意有 2 2 2 1 1 4 1 4 2 1 22 xxxxS POE 10 分 3222 2 1 2 2 xx SS ABDPOE 解得 106 xx或 11 分 16110100 4 1 10 161636 4 1 6 yx yx 时当 时当 2 16 10 16 6 ABDPOE SSPP 使得和存在点 12 分 说明 在求出 ABDPOEABD SSS 2 16也可由后得到 POE 的边 OE 上的高为 16 即点 P 的纵坐标为 16 然后由1 4 1 16 2 xx可求出 P 点坐标 5151 2010201020102010 江苏镇江 江苏镇江 运算求解 已知二次函数mxxy 2 2 的图象 C1与 x 轴有且只有一个公共点 1 求 C1的顶点坐标 2 将 C1向下平移若干个单位后 得抛物线 C2 如果 C2与 x 轴的一个交点为A 3 0 求 C2的函数关系式 并求 C2与 x 轴的另一个交点坐标 3 若nyyCyQynP求实数且上的两点是 2 21121 的取值范围 答案 答案 1 1 1 1 2 22 xmxmxxy对称轴为 1 分 x与 轴有且只有一个公共点 顶点的纵坐标为 0 C1的顶点坐标为 1 0 2 分 2 设 C2的函数关系式为 1 2 kxy 把 A 3 0 代入上式得 4 0 13 2 kk得 C2的函数关系式为 4 1 2 xy 3 分 抛物线的对称轴为xx与 1 轴的一个交点为 A 3 0 由对称性可知 它与x 轴的另一个交点坐标为 1 0 4 分 3 当xyx随时 1 的增大而增大 当 2 1 21 nyyn 时 5 分 6 4 2 4 2 2 12 2 1 21 11 分或综上所述 且的对称点坐标为时当 nn nnyy nynynPn 5252 2010 2010 江苏苏州江苏苏州 本题满分 9 分 如图 以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B 已知A B 两点的坐标分别为 3 0 0 4 1 求抛物线的解析式 2 设 M m n 是抛物线上的一点 m n 为正整数 且它位于对称轴的右侧 若以 M B O A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数 求点 M的坐标 3 在 2 的条件下 试问 对于抛物线对称轴上的任意一点 P PA2 PB2 PM2 28 是 否总成立 请说明理由 答案 答案 5353 2010 广东广州 21 12 分 已知抛物线y x2 2x 2 1 该抛物线的对称轴是 顶点坐标 2 选取适当的数据填入下表 并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象 x y 3 若该抛物线上两点 A x1 y1 B x2 y2 的横坐标满足x1 x2 1 试比较y1 与y2的大小 5 4 3 2 1O1 2 3 4 5x y 1 1 答案 解 1 x 1 1 3 2 x 10123 y 1232 1 5 4 3 2 1O1 2 3 4 5 x y 1 1 3 因为在对称轴x 1 右侧 y随x的增大而减小 又x1 x2 1 所以y1 y2 5454 1010 湖南益阳 湖南益阳 如图 在平面直角坐标系中 已知A B C三点的坐标分别为A 2 0 B 6 0 C 0 3 1 求经过A B C三点的抛物线的解析式 2 过 点作CD平行于x轴交抛物线于点D 写出D点的坐标 并求AD BC的交点E的 坐标 3 若抛物线的顶点为 连结 C D 判断四边形CEDP的形状 并说明理由 P A C D E B o x y 1 1 1 答 案 解 由 于 抛 物 线 经 过 点 3 0 C 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 0 3 2 abxaxy 则 03636 0324 ba ba 解得 1 4 1 b a 抛物线的解析式为3 4 1 2 xxy 4 分 D的坐标为 3 4 D 5 分 直线AD的解析式为1 2 1 xy 直线BC的解析式为3 2 1 xy 由 3 2 1 1 2 1 xy xy 求得交点E的坐标为 2 2 8 分 连结PE交CD于F P的坐标为 4 2 又 E 2 2 3 4 3 0 DC 1 EFPF2 FDCF 且PECD 四边形CEDP是菱形 12 分 5555 2010201020102010 江苏南京江苏南京 7 分 已知点A 1 1 在二次函数 2 2yxaxb 图像上 1 用含a的代数式表示b 2 如果该二次函数的图像与x轴只有一个交点 求这个二次函数的图像的顶点 坐标 答案 5656 2010201020102010 江苏盐城江苏盐城 本题满分 12 分 已知 函数y ax2 x 1 的图象与x轴只有一个公共 点 1 求这个函数关系式 2 如图所示 设二次 函数y ax2 x 1 图象的顶点为B 与y轴的交点为A P为图象 上的一点 若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B 求P点的坐标 3 在 2 中 若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M 试探索点M是否在抛 物线y ax2 x 1 上 若在抛物线上 求出M点的坐标 若不在 请说明理由 答案 解 1 当a 0时 y x 1 图象与x轴只有一个公共点 1分 当a 0时 1 4a 0 a 1 4 此时 图象与x轴只有一个公共点 函数的解析式为 y x 1 或 y 1 4 x2 x 1 3 分 2 设P为二次函数图象上的一点 过点P作PC x 轴于点C y ax2 x 1是二次函数 由 1 知该函数关系式为 y 1 4 x2 x 1 则顶点为B 2 0 图象与y轴的交点 坐标为A 0 1 4 分 以PB为直径的圆与直线AB相切于点B PB AB则 PBC BAO Rt PCB Rt BOA AO BC OB PC 故PC 2BC 5 分 设P点的坐标为 x y ABO是锐角 PBA 是直角 PBO 是钝角 x 2 BC 2 x PC 4 2x 即y 4 2x P点的坐标为 x 4 2x 点P在二次函数y 1 4 x2 x 1 的图象上 4 2x 1 4 x2 x 1 6 分 解之得 x1 2 x2 10 x 6 分 抛物线的对称轴l为4x C点到l的距离为 2 抛物线的对称轴l与 C相交 7 分 A x y BOC D 第 23 题 3 解 如图 过点P作平行于