2010高考数学天津文.pdf

高考真题专家全解 1 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 文科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂 写在答题纸上 1 i 是虚数单位 复数 3 1 i i A 1 2i B 2 4i C 1 2i D 2 i 解 进行复数的除法的运算需要分子 分母同时乘以分母的共轭复数 同时将 i2改为 1 331 24 1 2 1 1 1 2 iiii i iii 选 A 2 设变量 x y 满足约束条件 3 1 1 xy xy y 则目标函数 z 4x 2y 的最大值为 A 12 B 10 C 8 D 2 解 做出可行域 如图 由图可知 当目标函数过直线 y 1 与 x y 3 的交点 D 2 1 时 z 取得最大值 10 选 B 3 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 则输出 s 的值为 A 1 B 0 C 1 D 3 解 涉及循环语句的问题通常可以采用顺次执行循环体的方式解决 第一次运行程序时 i 1 s 3 第二次运行程序时 i 2 s 2 第三次运行程序时 i 3 s 1 第四次运行程序时 i 4 s 0 此时执行 i i 1 后 i 5 退出循环 输出 s 0 开始 结束 s 1 i 1 s s 3 i 1 i i 1 i 4 输出s 否 是 高考真题专家全解 2 4 函数 f x ex x 2 的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解 作出 y ex与 y 2 x 的图象 观察交点在 0 1 之间 因为 f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 选 C 5 下列命题中 真命题是 A m R 使函数 f x x2 mx x R 是偶函数 B m R 使函数 f x x2 mx x R 是奇函数 C m R 使函数 f x x2 mx x R 是偶函数 D m R 使函数 f x x2 mx x R 是奇函数 解 要注意奇偶函数的基本概念 与存在量词 全称量词的含义 当 m 0 时 函数 f x x2是偶函数 所以选 A 也可以利用奇偶函数的定义求解 选 A 6 设 a log54 b log53 2 c log45 则 A a c b B b c a C a b c D b a c 解 因为 b log53 1 所以 log53 2 log53 log54 a 1 log45 所以 b a c 比较对数值的大小时 通常利用 0 1 进行 本题也可以利用对数函数的图像进行比较 选 D 7 设集合 A x x a 1 x R B x 1 x 5 x R 若 A B 则实数 a 的取值范围是 A a 0 a 6 B a a 2 或 a 4 C a a 0 或 a 6 D a 2 a 4 解 不等式型集合的交 并集通常可以利用数轴进行 解题时注意验证区间端点是否符合题 意 高考真题专家全解 3 由 x a 1 得 1 x a 1 即 a 1 x a 1 如图 由图可知 a 1 1 或 a 1 5 所以 a 0 或 a 6 选 C 8 右图是函数y Asin x x R 在区间 5 66 上的图象 为了得到这个函数的图象 只要将 y sinx x R 的图象上所有 的点 A 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原 来的 1 2 倍 纵坐标不变 B 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 D 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 解 根据图像求函数的表达式时 一般先求周期 振幅 最后求 三角函数图像进行平移 变换时注意提取 x 的系数 进行周期变换时 需要将 x 的系数变为原来的 1 由图像可知函数的周期为 振幅为 1 所以函数的表达式可以是 y sin 2x 代入 6 0 可得 的一个值为 3 故图像中函数的一个表达式是 y sin 2x 3 即 y sin2 x 6 所以 只需将 y sinx x R 的图像上所有的点向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短 到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 选 C 9 如图 在 ABC 中 AD AB 3BC BD 1AD 则AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 解 设 DAC 则 BAC 90 cos DAC cos sin 90 sin BAC D B C A 高考真题专家全解 4 sin sin3 sin3 3 sinsin BCAC ACBACBCBBDBAD BACB cos cos sinAC ADACADDACACDACACBAC 所以3AC AD 选 D 10 设函数 g x x2 2 x R 4 g xxxg x f x g xxxg x 则 f x 的值域是 A 9 0 1 4 B 0 C 9 4 D 9 0 2 4 解 本题主要考查函数分段函数值域的基本求法 属于难题 解不等式 x g x 即 x0 分解因式得 x 1 x 2 0 所以 x g x x2 x g x 1 x 2 依题意知 22 22 2 4 2 22 xxxx f x xxxx 2 2 212 212 xxxx f x xxx 或 2 2 17 12 24 19 12 24 xxx f x xx 或 当 1 x 2 时 f x 9 4 0 当 x2 时 f x 8 f x 的值域为 9 4 0 2 选 D 高考真题专家全解 5 11 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB 1 PD 3 则 BC AD 的值为 解 因为 A B C D 四点共圆 所以 DAB PCB CDA PBC 因为 P 为公共角 所以 PBC PAB 所以 BCPB ADPD 1 3 答案 1 3 12 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体 积为 解 正视图和侧视图的高是几何体的高 由俯视图可以 确定几何体底面的形状 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形 则正视图和 俯视图可知该几何体的高为 1 结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 所以该几何题的体积为 1 2 1 2 2 1 3 本题也可以将几何体看作是底面是长为 3 宽为 2 高为 1 的长方体的一半 13 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是3yx 它的一个焦点与抛物线 y2 16x 的焦点相同 则双曲线的方程为 解 求圆锥曲线的标准方程通常利用待定系数法求解 由渐近线方程可知 3 b a 因为抛物线的焦点为 4 0 所以 c 4 又 c2 a2 b2 联立 解得 a2 4 b2 12 所以双曲线的方程为 22 1 412 xy 答案 22 1 412 xy 14 已知圆 C 的圆心是直线 x y 1 0 与 x 轴的交点 且圆 C 与直 线 x y 3 0 相切 则圆 C 的方程为 解 直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合 C B O P A D 高考真题专家全解 6 的方法求解 令 y 0 得 x 1 所以直线 x y 1 0 与 x 轴的交点为 1 0 因为直线与圆相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即 1 03 2 2 r 所以圆 C 的 方程为 x 1 2 y2 2 答案 x 1 2 y2 2 15 设 an 是等比数列 公比2q Sn为 an 的前 n 项和 记 2 1 17 nn n n SS TnN a 设 0 n T为 数列 Tn 的最大项 则 n0 解 本题的实质是求 Tn取得最大值时的 n 值 求解时为便于运算可以对 2 n进行换元 分 子 分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解 2 11 2 1 17 1 2 1 2 1 2 17 2 16 1212 2 12 2 nn nn n nn aa T a 116 2 17 12 2 n n 因 为 16 2 2 n n 8 当且仅当 2 n 4 即 n 4 时取等号 所以当 n0 4 时 Tn有最大值 答案 4 16 设函数 f x x 1 x 对任意 x 1 f mx mf x 0 由复合函数的单调性可知 f mx 和 mf x 均为增函数 此时不符合题意 m1 解得 m 1 答案 m 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若 cosA 1 3 求 sin4 3 B 的值 解 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sin sin B C cos cos B C 高考真题专家全解 7 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为BC 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 N G E A D B F M G E A D B F E A D B F 高考真题专家全解 9 若在区间 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解 当 a 1 时 32 3 1 2 f xxx f 2 3 f x 3x2 3x f 2 6 所以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 f x 3ax2 3x 3x ax 1 令 f x 0 由 a 0 解得 x 0 或 x 1 a 以下分两种情况讨论 1 若 00 等价于 1 0 2 1 0 2 f f 即 5 0 8 5 0 8 a a 解不等式组得 5 a 5 因此 02 则 11 0 2a 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 当 1 1 2 2 x 时 f x 0 等价于 1 0 2 1 0 f f a 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 ab 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 4 2 5 AB 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Q 0 y0 在线段 AB 的垂直平分线上 且4QA QB 求 y0的值 解 1 由 3 2 c e a 得 3a2 4c2 再由 c2 a2 b2 得 a 2b 由题意可知 1 224 2 ab 即 ab 2 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y i 由 可知 A 2 0 设点 B 的坐标为 x1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 消去 y 并整理 得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 由 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k 所以 2 2 22 222 2844 1 2 141414 kkk AB kkk 由 4 2 5 AB 得 2 2 4 14 2 514 k k 整理得 32k4 9k2 23 0 即 k2 1 32k2 23 0 解得 k 1 所以直线 l 的倾斜角为 4 或 3 4 ii 设线段 AB 的中点为 M 由 i 得到 M 为 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 高考真题专家全解 11 00 2 2 QAyQBy 由4QA QB 得2 2y 0 2 当 k 0 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk 令 x 0 解得 0 2 6 14 k y k 由 0 2 QAy 110 QBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 1 41 41 41 4 kkkk QA QBxyyy kkkk 42 2 2 4 16151 4 14 kk k 整理得 2 72k 故 14 7 k 所以 0 2 14 5 y 综上 0 2 2y 或 0 2 14 5 y 22 在数列 an 中 a1 0 且对任意 k N a2k 1 a2k a2k 1成等差数列 其公差为 2k 证明 a4 a5 a6成等比数列 求数列 an 的通项公式 记 222 23 23 n n n T aaa 证明 3 222 2 n nTn 解 I 证明 由题设可知 a2 a1 2 2 a3 a2 2 4 a4 a3 4 8 a5 a4 4 12 a6 a5 6 18 从而 65 54 3 2 aa aa 所以 a4 a5 a6成等比数列 II 解 由题设可得 a2k 1 a2k 1 4k k N 所以 a2k 1 a1 a2k 1 a2k 1 a2k 1 a2k 3 a3 a1 4k 4 k 1 4 1 2k k 1 由