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高考真题专家全解 1 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 数学 文科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂 写在答题纸上 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 若集合 A x 1 x 3 B x x 2 则 A B 等于 A x 2 x 3 B x x 1 C x 2 x2 解 A B 1 x 3 x x 2 x 2 x 3 选 A 2 计算 1 2sin222 5 的结果等于 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 解 注意到 cos2x 1 2sin2x 易得 原式 2 cos45 2 故选 B 选 B 本题三角变换中的二倍角公式 考查特殊角的三角函数值 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其 侧面积 等于 A 3 B 2 C 2 3 D 6 解 作出直观图 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 侧面积为 3 2 1 6 C B C AB A 高考真题专家全解 2 选 D 4 i 是虚数单位 4 1 i 1 i 等于 A i B i C 1 D 1 解 2 444 1 1 1 1 2 ii i i 选 C 5 若 x y R 且 1 230 x xy yx 则 z x 2y 的最小值等于 A 2 B 3 C 5 D 9 解 作出不等式组 1 230 x xy yx 的可行域三角形区域 MNP 由于 z 代表直线 z x 2y 的横截距 所以当 z x 2y 过直线 y x 与 x 1 的交点 M 1 1 时 z 取得最小值 1 2 3 选 B 6 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的 i 值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 解 运行过程如下 初始 S 0 i 1 第一步 a 1 21 2 S 0 a 2 i 1 1 2 S 11 第二步 a 2 22 8 S 2 8 10 i 2 1 3 S11 输出 i 4 结束 选 C 说明 该程序的作用是求 S 1 21 2 22 3 23 的值 当 S 11 时 输出循环 次数 高考真题专家全解 3 7 函数 2 2 3 0 2ln 0 xxx f x x x 的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 解 当 x 0 时 令 x2 2x 3 0 解得 x 3 当 x 0 时 y 2 lnx 是增函数 所以在 x 0 时 至多 有一个零点 令 2 lnx 0 解得 x e2 所以已知函数有两个零点 选 C 8 若向量 a x 3 x R 则 x 4 是 a 5 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 充分性 若 x 4 则 a 4 3 a 22 435 所以 x 4 是 a 5 的充分条件 必要性 当 a 5 时 22 35x 所以 x2 52 32 16 x 4 所以 x 4 不是 a 5 的必要条 件 选 A 9 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均数分 别是 A 91 5 和 91 5 B 91 5 和 92 C 91 和 91 5 D 92 和 92 解 将得分按递增顺序排列如下 87 89 90 91 92 93 94 96 减 92 得 5 3 2 1 0 1 2 4 所得中位数为 91 92 2 91 5 平均数为 543 1 0 1 244 929291 5 88 答案 选 A 10 将函数 f x sin x 的图像向左平移 2 个单位 若所得图像与原图像重合 则 的值不可 能 等于 A 4 B 6 C 8 D 12 高考真题专家全解 4 解 将函数 f x sin x 的图像向左平移 2 个单位 若所得图像与原图像重合 则 2 是 f x 的周期的整数倍 所以 2 2 k k Z 所以 4k 即 是 4 的整数倍 所以 6 选 B 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则 OP FP的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 解析 由题意 F 1 0 设点 P x0 y0 则有 22 00 1 43 xy 解得 2 20 0 3 1 4 x y 因为 00 1 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 1 OP FPx xy 22 2200 000000 11 1 3 1 3 412 2 2 4444 xx OP FPx xxxxx 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 2 因为 2 x0 2 2 1 2 2 4 f xx 在 2 2 是增函数 所以当 x0 2 时 OP FP 取得最大值 2 2 236 4 选 C 12 设非空集合 S x m x l 满足 当 x S 时 有 x2 S 给出如下三个命题 若 m 1 则 S 1 若 1 2 m 则 1 1 4 l 若 1 2 l 则 2 0 2 m 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解 当 m 1 时 S x 1 x l 所以 l 1 因为 l S 所以 12 S 所以 l2 l 时 所以 l l 1 0 0 l 1 所以 l 1 所以 S 1 正确 当 1 2 m 时 则S x 1 2 x l 因为m2 S 所以 2 11 24 S 所以l 1 4 由 分析知l 1 所以 1 1 4 l 正确 高考真题专家全解 5 若 1 2 l 则 S x m x 1 2 则 m 1 2 当 2 0 2 m 时 0 m2 1 2 所以 m2 S 符合题设 当 2 2 m 时 2 1 m 2 S 不符合题设 当 0 m 1 2 时 S x m x 1 2 因为 m20 的渐近线方程式为 y 1 2 x 则 b 等于 解 由题意知 1 22 b 解得 b 1 答案 1 14 将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组 绘制频率分布直方图 若第一组至第六组数据的 频率之比为 2 3 4 6 4 1 且前三组数据的频数之和等于 27 则 n 等于 解 设第一组至第六组数据的频率分别为2 3 4 6 4 xxxxx x 则234641xxxxxx 解得 1 20 x 所以前三组数据的频率分别是 234 20 20 20 故前三组数据的频数之和等于 234 202020 nnn 27 解得 n 60 答案 60 15 对于平面上的点集 如果连接 中任意两点的线段必定包含于 则称 为平面上的 凸集 给出平面上 4 个点集的图形如下 阴影区域及其边界 高考真题专家全解 6 其中为凸集的是 写出所有凸集相应图形的序号 解 如图所示 A B 两点在 上 但线段 AB 不在 上 不是凸集 如图所示 A B 两点在 上 则线段 AB 在 上 是凸集 如图所示 A B 两点在 上 则线段 AB 在 上 是凸集 如图所示 A B 两点在 上 但线段 AB 不在 上 不是凸集 答案 16 观察下列等式 cos2 2cos2 1 cos4 8cos4 8cos2 1 cos6 32cos6 48 cos4 18 cos2 1 cos8 128 cos8 256 cos6 160 cos4 32 cos2 1 cos10 mcos10 1280 cos8 1120 cos6 n cos4 p cos2 1 可以推测 m n p 解 因为 2 21 8 23 32 25 128 27 所以 m 29 512 8 2 6 18 8 10 32 18 14 50 32 18 推测 p 32 18 即 p 50 因为当 0 时 1 m 1280 1120 n p 1 所以 n 400 A B A B A B A B 高考真题专家全解 7 所以 m n p 962 答案 962 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 数列 n a 中 1 1 3 a 前 n 项和 Sn满足 Sn 1 Sn 1 1 3 n n N I 求数列 an 的通项公式 an以及前 n 项和 Sn II 若 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列 求实数 t 的值 解 由 Sn 1 Sn 1 1 3n 得 1 1 1 3 n n a n N 又 1 1 3 a 故 1 3 n n a n N 从而 11 1 11 33 1 1 23 1 3 n n n s n N 由 可得 1 1 3 S 2 4 9 S 3 13 27 S 从而由 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列可得 141314 3 2 392739 t 解得 t 2 18 本小题满分 12 分 设平面向量 am m 1 bn 2 n 其中 m n 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 am am bn 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 解 有序数组 m n 的吧所有可能结果为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共 16 个 由 am am bn 得 m2 2m 1 n 0 即 n m 1 2 由于 m n 1 2 3 4 故事件 A 包含的基本条件为 2 1 和 3 4 共 2 个 又基本事件 的总数为 16 故所求的概率 21 168 P A 19 已知抛物线 C y2 2px p 0 过点 A 1 2 I 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 II 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线 L 使得直线 L 与抛物线 C 有公共点 高考真题专家全解 8 且直线 OA 与 L 的距离等于 5 5 若存在 求直线 L 的方程 若不存在 说明理由 解 将 1 2 代入 y2 2px 所以 p 2 故所求的抛物线 C 的方程为 y2 4x 其准线方程为 x 1 假设存在符合题意的直线 l 其方程为 y 2x t 由 2 2 4 yxt yx 得 y2 2 y 2t 0 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点 所以得 4 8t 0 解得 t 1 2 另一方面 由直线 OA 与 l 的距离 d 5 5 可得 5 t 5 5 解得 t 1 因为 1 1 2 1 1 2 所以符合题意的直线 l 存在 其方程为 2x y 1 0 20 本小题满分 12 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E H 分别是棱 A1B1 D1C1上的点 点 E 与 B1不重合 且 EH A1D1 过 EH 的平 面与棱 BB1 CC1相交 交点分别为 F G I 证明 AD 平面 EFGH II 设 AB 2AA1 2a 在长方体 ABCD A1B1C1D1内随机选 取一点 记该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p 当点 E F 分别在棱 A1B1 B1B 上运动且满足 EF a 时 求 p 的最小值 解法一 I 证明 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AD A1 D1 又 EH A1 D1 AD EH AD 平面 EFGH EH 平面 EFGH AD 平面 EFGH II 设 BC b 则长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积 V AB AD AA1 2a2b 几何体 EB1F HC1G 的体积 V1 1 2 EB1 B1F B1C1 2 b EB1 B1 F EB12 B1 F2 a2 G H B1A1 C1 B D C A D1 E F 高考真题专家全解 9 EB1 B1 F 222 11 EB B F 22 a 当且仅当 EB1 B1 F 2 2 a时等号成立 从而 2 1 4 a b V 故 2 1 2 2 7 4 11 82 a b V p Va b 解法二 I 同解法一 II 设 BC b 则长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积 V AB AD AA1 2a2b 几何体 EB1F HC1G 的体积 V1 1 2 EB1 B1 F B1C1 2 b EB1 B1 F 设 B1EF 0 90 则 EB1 a cos B1 F a sin 故 EB1 B1 F a2 sin cos 22 sin2 22 aa 当且仅当 sin 2 1 即 45 时等号成立 从而 2 1 4 a b V 2 1 2 2 7 4 11 82 a b V p Va b 当且仅当 sin 2 1 即 45 时等号成立 所以 p 的最小值等于 7 8 21 本小题满分 12 分 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港 口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处 并正以 30 海里 小时的航行速度沿正东方向 匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 v 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过 t 小时与轮船相 遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 是否存在 v 使得小艇以 v 海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向与轮船 相遇 若存在 试确定 v 的取值范围 若不存在 请说明理由 解法一 I 设相遇时小艇的航行距离为 S 海里 则 S 22 9004002 30 20 cos 9030 900400600tttt 2 1 9 0 0 3 0 0 3 t 高考真题专家全解 10 故 1 3 t 时 min 10 3S 10 3 30 3 1 3 v 即 小艇以30 3海里 小时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 设小艇与轮船在 B 处相遇 由题意可知 vt 2 202 30t 2 2 20 30t cos 90 30 化简得 22 2 40060013 900400 675 4 v ttt 由于 00 时 设2 m yt t t 1 高考真题专家全解 12 因为 2 10 m y t 所以函数2 m yt t 在 1 上单调递增 因此 ymin 3 m ymin 0 3 m 0 即 m 3 又 m 0 故 0 m 3 综上 m 的最大值为 3 将 g x 分解为关于 x 1 的多项式 32 32 32 3 13 32 31 13 396 31 13 331 66 1 31 13 1 6 1 1 31 g xxxx x g xxxx x g xxxxx x g xxx x 设 t x 1 则 3 13 61 3 h