2010高考数学广东(文科).pdf

高考真题专家全解 1 2010 年普通高等学校招生全国 统一考试 广东卷 数学 文科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂 写在答题纸上 1 若集合 A 0 1 2 3 B 1 2 4 则集合 A B A 0 1 2 3 4 B 1 2 3 4 C 1 2 D 0 解 求集合的并集 就是找出两个集合的所有元素 再去除重复的元素 A B 0 1 2 3 4 选 A 2 函数 f x lg x 1 的定义域是 A 2 B 1 C 1 D 2 解 x 1 0 得 x 1 选 B 3 若函数 f x 3x 3 x与 g x 3x 3 x的定义域均为 R 则 A f x 与 g x 均为偶函数 B f x 为偶函数 g x 为奇函数 C f x 与 g x 均为奇函数 D f x 为奇函数 g x 为偶函数 解 33 xx fxf x 所以 f x 是偶函数 33 xx gxg x 所以 g x 是奇函数 选 B 4 已知 an 为等比数列 Sn是它的前 n 项和 若 a2a3 2a1 且 a4与 2a7的等差中项为 5 4 则 S5 A 35 B 33 C 31 D 29 解 设 an 的公比为 q 则由等比数列的性质知 a2a3 a1a4 2a1 因为 a1 0 所以 a4 2 由 a4 与 2a7的等差中项为 5 4 知 47 5 22 4 aa 即 74 15151 2 22 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 即 1 16a 5 1 5 311 1616 1 1 322 1 31 11 1 1 22 n n aq SqS q 高考真题专家全解 2 选 C 5 若向量 1 1 2 5 3 x abc满足条件 8 30 ab c 则 x A 6 B 5 C 4 D 3 解 88 1 1 2 5 6 3 ab 由 8 30 ab c 所以 6 3 3 x 30 即 18 3x 30 解得 x 4 选 C 6 若圆心在 x 轴上 半径为5的圆 C 位于 y 轴左侧 且与直线 x 2y 0 相切 则圆 C 的方程是 A 22 5 5xy B 22 5 5xy C 22 5 5xy D 22 5 5xy 解 设圆心 C a 0 a0 是 32 x 0 成立的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 非充分非必要条件 D 充要条件 解 充分性 当 x 0 时 x2 0 所以 32 x 0 所以 x 0 是 32 x 0 成立的充分条件 必要性 2 3 1 0 即 x 10 是 32 x 0 成立的非 必要条件 选 A 9 如图 ABC 为三角形 AA BB CC CC 平面 ABC 且 3 AA 3 2 BB CC AB 则多面体 ABC A B C 的正视图 也称主 视图 是 选 D 10 在集合 a b c d 上定义两种运算 和 如下 a b c d a a b c d b b b b b c c b c b d d b b d 那么 d a c A a B b C c D d 解 由 法则可知 D C B A a b c d a a a a a b a b c d c a c c a d a d a d 图图1 B A C B C A 高考真题专家全解 4 a b c d a a b c d b b b b b c c b c b d d b b d 可知 a c c 由 法则 a b c d a a a a a b a b c d c a c c a d a d a d 可知 d c a 选 A 二 填空题 本大题共 5 小题 考生作答 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 一 必做题 11 13 题 11 某城市缺水问题比较突出 为了制定节水管理办法 对全 市居民某年的月均用水量进行了抽样调查 其中 4 位居民的月 均用水量分别为 x1 x4 单位 吨 根据图 2 所示的程序 框图 若 x1 x2 x3 x4 分别为 1 1 5 1 5 2 则输出的结 果 s 为 解 该程序框图的功能是计算输入的 4 个数据的平均数 其中 S1是累加器 第一 i 1 步 S1 S1 x1 0 1 1 s S1 1 第二 i 2 步 S1 S1 x2 1 1 5 2 5 s 1 5 24 S 第三 i 3 步 S1 S1 x3 2 5 1 5 4 s 1 4 33 S 第四 i 4 步 S1 S1 x4 4 2 6 s 1 63 442 S 第五 i 5 步 i 5 4 输出 3 2 s 高考真题专家全解 5 答案 3 2 12 某市居民 2005 2009 年家庭年平均收入 x 单位 万元 与年平均支出 Y 单位 万 元 的统计资料如下表所示 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入 x 11 5 12 1 13 13 3 15 支出 Y 6 8 8 8 9 8 10 12 根据统计资料 居民家庭年平均收入的中位数是 家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系 解 收入数据是 11 5 12 1 13 13 3 15 中位数为 13 绘制散点图如下 观察散点图可知 数据呈线性相关关系 11 5 12 1 13 13 3 15 12 98 5 x 6 88 89 8 10 12 9 48 5 y 设回归方程为ybxa 则 1 222222 2 2 1 1 11 5 6 8 12 1 8 8 13 9 8 13 3 10 15 125 12 98 9 48 1 37 11 512 11313 315 5 12 98 n ii i n i x ynxy b xnx 9 48 1 3749 12 988 36aybx 所以 线性回归方程为1 378 36yx y 1 37x 8 36 0 2 4 6 8 10 12 14 3271217 系列1 线性 系列1 高考真题专家全解 6 答案 1 378 36yx 13 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinA 解 因为 A C 2B A B C 为三角形 ABC 的内角 所以 A B C 3B 180 所以 B 60 由正弦定理可得 3 sin1 2 sin 23 aB A b 答案 1 sin 2 A 14 几何证明选讲选做题 如图 3 在直 角梯形 ABCD 中 DC AB CB AB AB AD a CD 2 a 点 E F 分别为线段 AB AD 的中点 则 EF 解 连结 DE 可知 AED 为直角三角形 则 EF 是 Rt DEA 斜边上的中线 等于斜边的一半 为 2 a 答案 2 a 15 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 0 2 中 曲线 cos sin 1 与 sin cos 1 的交点的极 坐标为 解 解法一 联立方程 cossin1 cossinsincos sincos 1 所以 sin1 cos02 所以 1 cos sin 1 与 sin cos 1 的交点的极坐标为 1 2 E F A B CD E F A B CD 高考真题专家全解 7 解法二 利用 cos sin x y 将 cos sin 1 和 sin cos 1 化为直角坐标方程可得 1 1 xy yx 解得 0 1 x y 化为极坐标得 1 2 答案 1 2 16 设函数 3sin 6 f xx 0 x 且以 2 为最小正周期 1 求 f 0 2 求 f x 的解析式 3 已知 9 4125 f 求 sin 的值 解 1 3 0 3sin 62 f 2 因为 3sin 6 f xx 所以 2 4 2 所以 3sin 4 6 f xx 3 因为 9 4125 f 所以 9 3sin 4 41265 3 cos 5 4 sin 5 17 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中 随机抽取了 100 名电视 观众 相关的数据如下表所示 文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 1 由表中数据直观分析 收看新闻节目的观众是否与年龄有关 2 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名 大于 40 岁的观众应该抽取几 名 高考真题专家全解 8 3 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名 求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率 解 1 因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目 而大于 40 岁的 42 名 观众中有 27 名观众收看新闻节目 所以经直观分析 收看新闻节目的观众与年龄有关的 2 大于 40 岁的观众应该抽取 273 553 455 名 3 用分层抽样方法抽取的 5 名观众中 20 至 40 岁观众有 2 名 记为 B1 B2 大于 40 岁的 观众有 3 名 记为 A1 A2 A3 5 名观众任取两名共有 10 种取法 A1A2 A1A3 A1B1 A1B2 A2A3 A2B1 A2B2 A3B1 A3B2 B1B2 设 A 表示随机事件 5 名观众中任取 2 名 恰有 1 名观众年龄为 20 到 40 岁 则 A 中的基 本事件有 6 种 A1B1 A1B2 A2B1 A2B2 A3B1 A3B2 所以 所求概率为 63 105 18 如图 4 AEC是半径为 a 的半圆 AC 为直径 点 E 为AC的中点 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等 分点 平面 AEC 外一点 F 满足 FC 平面 BED FB 5a 1 证明 EB FD 2 求点 B 到平面 FED 的距离 解 因为点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点 所以 AB BC CD a 因为 FC 平面 BED 且 EB 平面 BED 所以 EB FC AEC是半圆 点 E 为AC的中点 所以 EB AC 因为 FC AC C 所以 EB 平面 ACF FD 平面 ACF 所以 EB FD 2 解 2222 52FCBFBCaaa 高考真题专家全解 9 2 11 2 22 RtEBD SBE BDaaa 在 Rt FBE 中 22 6FEBEBFa 由于 FD ED 5a 222 11621 65 2222 FDEFE a SFE Haaa 因为 F EBDB FDE VV 所以 11 33 RtEBDFDE SFCSh 22 21 2 2 aaah 44 21 2121 h 点 B 到平面 FED 的距离为 4 21 21 19 本小题满分 12 分 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物 6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且 花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 解 设该儿童分别预订 x y 个单位的午餐和晚餐 共花费 z 元 则 5 4 2 zxy 可行域为 12864 6642 61054 0 0 xy xy xy xxN yyN 即 3216 7 3527 0 0 xy xy xy xxN yyN 作出可行域如图所示 高考真题专家全解 10 作直线 l 540 2 xy 平移直线 l 至 l0 当 l0经过 B 点时 可使 z 达到最小值 由 35274 73 xyx xyy 即 B 4 3 此时 5 44 322 2 z 答 午餐和晚餐分别预定 4 个单位和 3 个单位 花费 最少 z 22 元 20 已知函数 f x 对任意实数 x 均有 f x kf x 2 其中常数 k 为负数 且 f x 在区间 0 2 上 有表达式 f x x x 2 1 求 f 1 f 2 5 的值 2 写出 f x 在 3 3 上的表达式 并讨论函数 f x 在 3 3 上的单调性 3 求出 f x 在 3 3 上的最小值与最大值 并求出相应的自变量的取值 解 1 f 0 f 2 0 f 1 1 1 2 1 f 1 kf 1 2 kf 1 k 1113 f 2 5 2 52 0 5 0 5 0 52 4 ff kkkk 2 当 2 x 3 时 0 x 2 1 2 2 4 23 f xxx f xx kk 当 2 x 0 时 0 x 2 2 f x kf x 2 kx x 2 2 x 0 当 3 x 2 时 1 x 2 0 f x kf x 2 k k x 2 x 4 k2 x 2 x 4 3 x 2 2 kx2x432 2 20 2 02 2 4 23 x kx xx f x x xx xx x k 所以 f x 的递增区间是 3 1 和 1 3 f x 的递减区间是 1 1 3 由 2 知 函数的最大值可能在 x 1 或 x 3 取得 高考真题专家全解 11 函数的最小值可能在 x 3 或 x 1 取得 因为 f 1 k f 3 1 k 所以当 k 1 时 f 1 f 3 最大值为 f 1 k 当 k 1 0 时 f 1 f 3 最大值为 1 3 f k 因为 f 3 k2 f 1 1 所以当 k 1 时 f 3 f 1 最小值为 f 1 1 综上所述 当 k 1 时 x 1 时取得最大值 k x 3 时取得最小值 k2 当 k 1 0 时 x 3 时取得最大值 1 k x 1 取得最小值 1 21 已知曲线 Cn y nx2 点 Pn xn yn xn 0 yn 0 是曲线 Cn上的点 n 1 2 1 试写出曲线 Cn在点 Pn处