北师大版选修11 4.1.1导数与函数的单调性 课件（17张）.ppt

函数的单调性与导数 温故知新 1 到现在为止 我们学过判断函数的单调性有哪些方法 定义法 图象法 2 要判断的单调性 如何进行 回顾分别用定义法 图象法完成 f x1 f x2 f x 在d上是增函数 f x 在d上是减函数 当x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域内某个区d上的任意两个自变量的值x1 x2 复习1 函数单调性的定义是怎样描述的 方法 定义法 图象法 问题3 那么判断下列函数的单调性 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 是否有更为简捷的方法呢 下面我们考察单调性与导数有什么关系 尤其是在不知道函数图象时 1 f x x3 3x 2 f x x2 2x 3 3 f x 2x3 3x2 24x 1 方法 定义法 图象法 复习2 导数的几何意义 如果函数在一个点处的导数值大于零 在此点附近 函数图象呈上升状 函数在一个点处的导数值 就是函数图象以该点为切点的切线的斜率 如果函数在一个点处的导数值小于零 在此点附近 函数图象呈下降状 如果函数在一个点处的导数值等于零 此点为极值点 也叫临界点 取得的函数值叫极值 高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10 高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 v t h t h t h t h t 0 h t 0 9 8t 6 5 再观察下面一些函数的图象 探讨导函数的正负与其对应函数的单调性的关系 f x 0 f x f x 0 f x f x 0 f x f x 0 f x f x 0 f x f x 0 f x f x 1 f x 2x f x 3x2 f x x 0 在某个区间 a b 内 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 都有f x 0 函数y f x 在这个区间内单调递增 都有f x 0 函数y f x 在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f x 0 那么函数f x 有什么特性 f x c 某个区间 的含义 它必须是定义域的一个子集 解 1 f x 3x2 3 所以f x x3 3x在x r上单调递增 2 f x 2x 2 当f x 0 例1 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 1 f x x3 3x 2 f x x2 2x 3 3 f x 2x3 3x2 24x 1 3 x2 1 0 2 x 1 即x 1时 f x 单调递增 当f x 0 即x 1时 f x 单调递减 所以函数的单调递增区间为 单调递减区间为 例1 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 1 f x x3 3x 2 f x x2 2x 3 3 f x 2x3 3x2 24x 1 3 f x 当f x 0 当f x 0 6x2 6x 24 f x 单调递增 f x 单调递减 即时 即时 所以函数的单调递增区间为 递减区间为 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为减区间 求函数单调区间的步骤 确定函数y f x 的定义域 求出函数的导数f x 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为增区间 求函数的单调区间实质就是解导数不等式f x 0或f x 0 练习 1 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 1 单调递增区间为 单调递减区间为 2 单调递增区间为 单调递减区间为 3 单调递增区间为 单调递减区间为 4 单调递增区间为 单调递减区间为 设是函数的导函数 的图像如右图所示 则的图像有可能是 练习 c 例2 已知导函数f x 的下列信息 当10 当x 4时 或x 1时 f x 0当x 4 或x 1时 f x 0 试画出函数f x 图象的大致形状 解 当1 x 4时 f x 0 f x 在此区间内单调递增 当x 4或x 1时 f x 0 f x 在这两区间内单调递减 当x 4 或x 1时 f x 0 这两点为 临界点 小结 导数f x 0 导数f x 0 单调递增 单调递减 1 函数单调性与导数符号的关系是 2 求函数单调性的步骤 确定