北师大版选修11 第二章 §2　抛物线 课件（43张）.pptx

2 1抛物线及其标准方程 第二章 2抛物线 学习目标1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 掌握抛物线的标准方程及其推导过程 3 明确抛物线标准方程中p的几何意义 能解决简单的求抛物线标准方程问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一抛物线的定义 思考1平面内 到两定点距离相等的点的轨迹是什么 答案连接两定点所得线段的垂直平分线 思考2平面内 到一定点和一条定直线 点不在定直线上 距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢 答案曲线 梳理 1 定义 平面内与一定点f和一条定直线l l不过f 的的点的集合叫作抛物线 2 焦点 叫作抛物线的焦点 3 准线 叫作抛物线的准线 距离相等 定点f 定直线l 知识点二抛物线的标准方程 思考抛物线方程中p有何意义 抛物线的开口方向由什么决定 答案p是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的方程中一次项决定开口方向 梳理抛物线的标准方程有四种类型 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 特别提醒 1 方程特点 焦点在x轴上 x是一次项 y是平方项 焦点在y轴上 y是一次项 x是平方项 2 一次项表明焦点所在轴 它的符号表明开口方向 有如下口诀 焦点轴一次项 符号确定开口向 若y是一次项 负时向下正向上 若x是一次项 负时向左正向右 思考辨析判断正误 1 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 2 抛物线的方程都是y关于x的二次函数 3 方程x2 2ay a 0 表示开口向上的抛物线 题型探究 类型一求抛物线的标准方程 解答 例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 解方法一 点 3 4 在第四象限 设抛物线的标准方程为y2 2p1x p1 0 或x2 2p2y p2 0 把点 3 4 分别代入y2 2p1x和x2 2p2y 得 4 2 2p1 3 32 2p2 4 方法二 点 3 4 在第四象限 抛物线的方程可设为y2 ax a 0 或x2 by b 0 2 焦点在直线x 3y 15 0上 解答 解令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为x2 20y或y2 60 x 反思与感悟求抛物线的标准方程的关键与方法 1 关键 确定焦点在哪条坐标轴上 进而求方程的有关参数 2 方法 直接法 建立恰当坐标系 利用抛物线的定义列出动点满足的条件 列出对应方程 化简方程 直接根据定义求p 最后写标准方程 利用待定系数法设标准方程 找有关的方程组求系数 跟踪训练1求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 解答 解设所求的抛物线方程为y2 2p1x p1 0 或x2 2p2y p2 0 过点 3 2 4 2p1 3 或9 2p2 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 解答 解令x 0得y 2 令y 0得x 4 抛物线的焦点坐标为 4 0 或 0 2 p 8 此时抛物线方程为y2 16x p 4 此时抛物线方程为x2 8y 故所求抛物线的标准方程为y2 16x或x2 8y 3 已知抛物线焦点在y轴上 焦点到准线的距离为3 解答 解由题意知 抛物线标准方程为x2 2py p 0 或x2 2py p 0 且p 3 抛物线的标准方程为x2 6y或x2 6y 类型二求抛物线的焦点坐标和准线方程 例2指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向 解答 p 2 焦点坐标是 0 1 准线方程是y 1 抛物线开口向上 2 x ay2 a 0 解答 当a 0时 开口向右 当a 0时 开口向左 反思与感悟1 先将抛物线方程化成标准形式 再判断开口方向 焦点位置 准确地求出p的值 跟踪训练2已知抛物线的方程如下 求其焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 解答 解由方程y2 6x 知抛物线开口向左 2 3x2 5y 0 解答 知抛物线开口向下 3 y 4x2 解答 知抛物线开口向上 4 y2 a2x a 0 解答 解由方程y2 a2x a 0 知抛物线开口向右 类型三抛物线在实际生活中的应用 例3河上有一抛物线形拱桥 当水面距拱桥顶5m时 水面宽为8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面上的部分高m 问 水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时 小船开始不能通航 解答 解如图 以拱桥的拱顶为原点 以过拱顶且平行于水面的直线为x轴 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 由题意可知 点b 4 5 在抛物线上 当船面两侧和抛物线接触时 船不能通航 设此时船面宽为aa 则a 2 ya 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时 小船开始不能通航 反思与感悟涉及拱桥 隧道的问题 通常需建立适当的平面直角坐标系 利用抛物线的标准方程进行求解 跟踪训练3某抛物线形拱桥跨度是20米 拱桥高度是4米 在建桥时 每4米需用一根支柱支撑 求其中最长支柱的长 解答 解如图 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 由题意知 点p 10 4 在抛物线上 所以100 2p 4 2p 25 即抛物线方程为x2 25y 因为每4米需用一根支柱支撑 所以支柱横坐标分别为 6 2 2 6 由图知 ab是最长的支柱之一 设点b的坐标为 2 yb 即最长支柱的长为3 84米 达标检测 1 抛物线y x2的准线方程是a y 1b y 2c x 1d x 2 答案 解析 1 2 3 4 5 则抛物线的焦点在y轴正半轴上 且2p 4 即p 2 2 抛物线y2 8x的焦点坐标和准线方程分别为a 1 0 x 1b 2 0 x 2c 3 0 x 3d 4 0 x 4 1 2 3 4 5 答案 解析 解析抛物线y2 8x的焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 3 已知抛物线的焦点到准线的距离为3 则抛物线方程可以为a y2 xb y2 2xc x2 3yd x2 6y 1 2 3 4 5 答案 解析 解析由题意知p 3 故选d 4 抛物线x2 8y上的点m到x轴的距离为6 则点m与抛物线的焦点间的距离为 1 2 3 4 5 答案 解析 8 5 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点p 2 4 则该抛物线的标准方程为 1 2 3 4 5 答案 解析 y2 8x或x2 y 解析设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0