2012高考数学冲刺 圆锥曲线.pdf

用心 爱心 专心 1 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 知识点总结精华知识点总结精华 考试内容 考试内容 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性质 考试要求 考试要求 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 了解椭圆的参数方程 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 知识要点知识要点 一 椭圆方程一 椭圆方程 1 椭圆方程的第一定义 为端点的线段以 无轨迹 方程为椭圆 212121 2121 2121 2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 椭圆的标准方程 i 中心在原点 焦点在 x 轴上 0 1 2 2 2 2 ba b y a x ii 中心在原点 焦点在y轴上 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 一般方程 0 0 1 22 BAByAx 椭圆的标准参数方程 1 2 2 2 2 b y a x 的参数方程为 sin cos by ax 一象限 应是属于 2 0 顶点 0 0 ba 或 0 0 ba 轴 对称轴 x轴 y轴 长轴长a2 短轴长b2 焦点 0 0 cc 或 0 0 cc 焦距 22 21 2baccFF 准线 c a x 2 或 c a y 2 离心率 10 e a c e 焦点半径 i 设 00 yxP为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上的一点 21 F F为左 右焦点 则 由椭圆方程的第二定义可以推出 ii 设 00 yxP为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 上的一点 21 F F为上 下焦点 则 由椭圆方程的第二定义可以推出 由椭圆第二定义可知 0 0 000 2 200 2 01 xaexx c a epFxexa c a xepF 归结起来为 左 加右减 注意 椭圆参数方程的推导 得 sin cos baN方程的轨迹为椭圆 通径 垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 坐标 2 2 2 2 a b c a b d 和 2 a b c 0201 exaPFexaPF 0201 eyaPFeyaPF 用心 爱心 专心 2 共离心率的椭圆系的方程 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率是 22 bac a c e 方程 tt b y a x 2 2 2 2 是大于 0 的参数 0 ba的离心率也是 a c e 我们称此方程为共离心率的椭圆 系方程 若 P 是椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 上的点 21 F F为焦点 若 21PF F 则 21F PF 的面积为 2 tan 2 b 用余弦定理与aPFPF2 21 可得 若是双曲线 则面积为 2 cot 2 b 二 双曲线方程二 双曲线方程 1 双曲线的第一定义 的一个端点的一条射线以 无轨迹 方程为双曲线 212121 2121 2121 2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 双 曲 线 标 准 方 程 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ba b x a y ba b y a x 一 般 方 程 0 1 22 ACCyAx i 焦点在x轴上 顶点 0 0 aa 焦点 0 0 cc 准线方程 c a x 2 渐近线方程 0 b y a x 或 0 2 2 2 2 b y a x ii 焦点在y轴上 顶点 0 0 aa 焦点 0 0 cc 准线方程 c a y 2 渐近 线方程 0 b x a y 或0 2 2 2 2 b x a y 参数方程 tan sec by ax 或 sec tan ay bx 轴yx 为对称轴 实轴长为 2a 虚轴长为 2b 焦距 2c 离心率 a c e 准线距 c a22 两准线的距离 通径 a b22 参数关系 a c ebac 222 焦点半径公式 对于双曲线 方程1 2 2 2 2 b y a x 21 F F分别为双曲线的左 右焦点或分别为双曲线的上下焦点 长加短减 原则 aexMF aexMF 02 01 构成满足aMFMF2 21 aexFM aexFM 02 01 与椭圆焦半径不同 椭圆焦半径 要带符号计算 而双曲线不带符号 asin acos bsin bcos N y x N的轨迹是椭圆 y x M M F1 F2 y x M M F1 F2 用心 爱心 专心 3 aeyFM aeyFM aeyMF aeyMF 0 2 0 1 02 01 等轴双曲线 双曲线 222 ayx 称为等轴双曲线 其渐近线方程为xy 离心率2 e 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴 实轴为虚轴的双曲线 叫做已知双曲线的共轭 双曲线 2 2 2 2 b y a x 与 2 2 2 2 b y a x 互为共轭双曲线 它们具有共同的渐近线 0 2 2 2 2 b y a x 共渐近线的双曲线系方程 0 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为0 2 2 2 2 b y a x 如果双曲线的渐 近线为0 b y a x 时 它的双曲线方程可设为 0 2 2 2 2 b y a x 例如 若双曲线一条渐近线为xy 2 1 且过 2 1 3 p 求双曲线的方程 解 令双曲线的方程为 0 4 2 2 y x 代入 2 1 3 得1 28 22 yx 直线与双曲线的位置关系 区域 无切线 2 条与渐近线平行的直线 合计 2 条 区域 即定点在双曲线上 1 条切线 2 条与渐近线平行的直线 合计 3 条 区域 2 条切线 2 条与渐近线平行的直线 合计 4 条 区域 即定点在渐近线上且非原点 1 条切线 1 条与渐近线平行的直线 合计 2 条 区域 即过原点 无切线 无与渐近线平行的直线 小结 过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点 可以作出的直线数目可能有 0 2 3 4 条 2 若直线与双曲线一支有交点 交点为二个时 求确定直线的斜率可用代入 法与渐近 线求交和两根之和与两根之积同号 若 P 在双曲线1 2 2 2 2 b y a x 则常用结论 1 P 到焦点的距离为 m n 则 P 到两准线的距离 比为 m n 简证 e PF e PF d d 2 1 2 1 n m 常用结论 2 从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b 三 抛物线方程三 抛物线方程 3 设0 p 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 y x F1F2 1 2 3 4 5 3 3 用心 爱心 专心 4 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围 Ryx 0 Ryx 0 0 yRx 0 yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点 0 0 离心率 1 e 焦点 1 2 x p PF 1 2 x p PF 1 2 y p PF 1 2 y p PF 注 xcbyay 2 顶点 24 4 2 a b a bac 0 2 2 ppxy则焦点半径 2 P xPF 0 2 2 ppyx则焦点半径为 2 P yPF 通径为 2p 这是过焦点的所有弦中最短的 pxy2 2 或pyx2 2 的参数方程为 pty ptx 2 2 2 或 2 2 2 pty ptx t为参数 四 圆锥曲线的统一定义四 圆锥曲线的统一定义 4 圆锥曲线的统一定义 平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 当10 e时 轨迹为椭圆 当1 e时 轨迹为抛物线 当1 e时 轨迹为双曲线 当0 e时 轨迹为圆 a c e 当bac 0时 5 圆锥曲线方程具有对称性 例如 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关 于原点对称的 因为具有对称性 所以欲证 AB CD 即证 AD 与 BC 的中点重合即可 注 注 椭圆 双曲线 抛物线的标准方程与几何性质 用心 爱心 专心 5 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1 到两定点 F1 F2的距离 之和为定值 2a 2a F1F2 的点的轨 迹 1 到两定点 F1 F2的距 离之差的绝对值为定值 2a 0 2a F1F2 的点的 轨迹 2 与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹 0 e1 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹 图形 方 程 标 准 方程 1 2 2 2 2 b y a x ba 0 1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 y 2 2px 参 数 方程 为离心角 参数 sin cos by ax 为离心角 参数 tan sec by ax pty ptx 2 2 2 t 为参数 范围 a x a b y b x a y R x 0 中心 原点 O 0 0 原点 O 0 0 顶点 a 0 a 0 0 b 0 b a 0 a 0 0 0 对称轴 x 轴 y 轴 长轴长 2a 短轴长 2b x 轴 y 轴 实轴长 2a 虚轴长 2b x 轴 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 c 0 F2 c 0 0 2 p F 焦距 2c c 22 ba 2c c 22 ba 离心率 10 e a c e 1 e a c e e 1 准线 x c a 2 x c a 2 2 p x 渐近线 y a b x 焦半径 exar aexr 2 p xr 通径 a b22 a b22 2p 焦参数 c a2 c a2 P 1 椭圆 双曲线 抛物线的标准方程的其他形式及相应性质 2 等轴双曲线 3 共轭双曲线 用心 爱心 专心 6 9 8 73 2 1 7 5 4 3 2 1 5 方程 y 2 ax 与 x2 ay 的焦点坐标及准线方程 6 共渐近线的双曲线系方程 试题精粹试题精粹 江苏省江苏省 20112011 年高考数学联考试题年高考数学联考试题 5 江苏省 江苏省 20102010 届苏北四市第一次联考 届苏北四市第一次联考 若椭圆的对称轴为坐标轴 长轴长与短轴长的和为 18 焦距为 6 则椭圆的方程为 1 1625 22 yx 或1 2516 22 yx 9 江苏省 江苏省 20102010 届苏北四市第一次联考 届苏北四市第一次联考 已知圆O 22 1xy 与x轴交于点A和B 在 线段AB上取一点 0 D x 作DCAB 与圆O的一个交点为C 若线段AD BD CD 可作为一个锐角三角形的三边长 则x的取值范围为 52 52 12 姜堰二中学情调查 姜堰二中学情调查 三 三 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴上 以其两个焦点 和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 4 的正方形 设P为该椭圆上的动点 C D的坐标分别是 2 0 2 0 则PDPC 的最大值为 6 8 江苏省南通市 江苏省南通市 20112011 届高三第一次调研测试 届高三第一次调研测试 双曲线 22 1 412 xy 上一点M到它的右焦点的 距离是 3 则点M的横坐标是 5 2 3 南通市六所省重点高中联考试卷 南通市六所省重点高中联考试卷 方程 x 2 m y 2 4 m 1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线 则m的取值范围是 0 m 9 南通市六所省重点高中联考试卷 南通市六所省重点高中联考试卷 已知椭圆 22 22 1 0 yx ab ab 的中心为O 右焦点为 F 右顶点为A 右准线与x轴的交点为H 则 FA OH 的最大值为 12 宿迁市高三宿迁市高三 1212 月联考月联考 椭圆 22 22 10 xy a ab b 的左焦点为 F 其左准线与x轴的 交点为A 若在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值范围 是 1 2 1 1 无锡市 无锡市 1 1 月期末调研 月期末调研 设双曲线的渐近线方程为230 xy 则双曲线的离心率为 用心 爱心 专心 7 13 2 或 13 3 10 徐州市徐州市 1212 月高三调研 月高三调研 已知 A B F分别是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的上 下顶点和右 焦点 直线AF与椭圆的右准线交于点M 若直线MB x轴 则该椭圆的离心率e 2 2 12 盐城市第一次调研 盐城市第一次调研 在ABC 中 60ACB sin sin8 5AB 则以 A B为焦点且 过点C的椭圆的离心率为 7 13 10 苏北四市苏北四市 20112011 届高三第二次调研 届高三第二次调研 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的两条渐近线将平面 划分为 上 下 左 右 四个区域 不含边界 若点 1 2 在 上 区域内 则双曲线离 心率e的取值范围是 1 5 18 江苏天一中学 海门中学 盐城中学江苏天一中学 海门中学 盐城中学 20112011 届高三调研考试届高三调研考试 本小题满分 16 分 如图 已知椭圆1 2 2 2 y x C的左 右焦点分别为 21 F F 下顶点为A 点P是椭圆上任一 点 圆M是以 2 PF为直径的圆 当圆M的面积为 8 求PA所在的直线方程 当圆M与直线 1 AF相切时 求圆M的方程 求证 圆M总与某个定圆相切 解 易得 0 1 1 F 0 1 2 F 1 0 2 A 设 11 y xP 则 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 111 x x xyxPF 22 2 2 2 112 xxPF 2 又圆M的面积为 8 2 1 2 88 x 解得1 1 x 2 2 1P或 2 2 1 PA所在的直线方程为1 2 2 1 xy或1 2 2 1 xy 4 直线 1 AF的方程为01 yx 且 2 2 1 11 yx M到直线 1 AF的距离为 O A P 1 F M 2 F x y 用心 爱心 专心 8 1 11 4 2 2 2 2 1 22 1 x yx 化简得12 11 xy 6 联立方程组 1 2 12 2 1 2 1 11 y x xy 解得0 1 x或 9 8 1 x 8 当0 1 x时 可得 2 1 2 1 M 圆M的方程为 2 1 2 1 2 1 22 yx 9 当 9 8 1 x时 可得 18 7 18 1 M 圆M的方程为 162 169 18 7 18 1 22 yx 10 圆M始终与以原点为圆心 半径2 1 r 长半轴 的圆 记作圆O 相切 证明 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 2 2 84 1 4 1 44 1 x xxyx OM 14 又圆M的半径 122 4 2 2 2 xMFr 21 rrOM 圆M总与圆O内切 16 24 江苏天一中学 海门中学 盐城中学江苏天一中学 海门中学 盐城中学 20112011 届高三调研考试届高三调研考试 已知抛物线L的方程为 02 2 ppyx 直线xy 截抛物线L所得弦24 AB 求p的值 抛物线L上是否存在异于点A B的点C 使得经过A B C三点的圆和抛物线L在点C处 有相同的切线 若存在 求出点C的坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 由 pyx xy 2 2 解得 2 2 0 0 ppBA pppAB224424 22 2 p 4 由 得 4 4 0 0 4 2 BAyx 假设抛物线L上存在异于点A B的点C 4 0 4 2 tt t t 使得经过A B C三点的圆和抛 物线L在点C处有相同的切线 令圆的圆心为 baN 则由 NCNA NBNA 得 2 2 222 2222 4 4 4 t btaba baba 得 8 324 8 4 8 1 24 4 2 2 2 tt b tt a tttba ba 6 用心 爱心 专心 9 x N M O y A B l x t 抛物线L在点C处的切线斜率 0 2 t t yk tx 又该切线与NC垂直 0 4 1 221 2 4 3 2 ttbta t ta t b 0820 4 1 2 8 324 8 4 2 233 22 ttttt tt t tt 8 4 0 tt 2 t 故存在点C且坐标为 2 1 10 17 江苏省 江苏省 20102010 届苏北四市第一次联考 届苏北四市第一次联考 本小题满分 14 分 已知椭圆 2 2 1 4 x y 的左 右两个顶点分别为A B 直线 22 xtt 与椭圆相交于 M N两点 经过三点A M N的圆与经过三点B M N的圆分别记为圆C1与圆C2 1 求证 无论t如何变化 圆C1与圆C2的圆心距是定值 2 当t变化时 求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值 17 解 1 易得A的坐标 0 2 B的坐标 0 2 M的坐标 2 4 2 t t N的坐标 2 4 2 t t 线段AM的中点P 4 4 2 2 2 tt 直线AM的斜率 t t t t k 2 2 2 1 2 2 4 2 1 3 分 又AMPC 1 直线 1 PC的斜率 t t k 2 2 2 2 直线 1 PC的方程 4 4 2 2 2 2 2 2 tt x t t y 1 C的坐标为 0 8 63 t 同理 2 C的坐标为 0 8 63 t 7 分 2 3 21 CC 即无论t如何变化 为圆C1与圆C2的圆心距是定值 9 分 用心 爱心 专心 10 A B O M P Q y x l l1 2 圆 1 C的半径为 1 AC 8 103 t 圆 2 C的半径为 8 310 2 t BC 则 1009 32 2 2 2 2 1 tBCACS 2 t 2 显然t0 时 S最小 8 25 min S 14 分 18 常州市常州市 20112011 届高三数学调研届高三数学调研 15 已知直线l的方程为2x 且直线l与x轴交 于点M 圆 22 1O xy 与x轴交于 A B两点 如图 1 过M点的直线 1 l交圆于PQ 两点 且圆孤PQ恰为圆周的 1 4 求直线 1 l的方程 2 求以l为准线 中心在原点 且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程 3 过M点的圆的切线 2 l交 II 中的一个椭圆于CD 两点 其中CD 两点在x轴 上方 求线段CD的长 18 解 1I PQ为圆周的 1 42 POQ O 点到直线 1 l的距离为 2 2 设 1 l的方程为 2 2 2 21 2 27 1 k yk xk k 1 l 的方程为 7 2 7 yx 2 设椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 半焦距为c 则 2 2 a c 椭圆与圆O恰有两个不同的公共点 则1a 或1 b 当1a 时 222 13 24 cbac 所求椭圆方程为 2 2 4 1 3 y x 当1b 时 22222 2 1 2 bcccabc 所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y 3 设切点为N 则由题意得 椭圆方程为 2 2 1 2 x y 在Rt MON 中 2 1MOON 则30NMO 2 l 的方程为 3 2 3 yx 代入椭圆 2 2 1 2 x y 中 整理得 2 5820 xx 设 1122 C x yD x y 则 1212 82 55 xxx x 2 1212 14 6484 1 4 2 33 2555 CDxxx x 18 姜堰二中学情调查 三 姜堰二中学情调查 三 本小题共 16 分 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 和圆O 222 xyb 过椭圆上一点P引圆O的两 用心 爱心 专心 11 条切线 切点分别为 A B 1 若圆O过椭圆的两个焦点 求椭圆的离心率e 若椭圆上存在点P 使得90APB 求椭圆离心 率e的取值范围 2 设直线AB与x轴 y轴分别交于点M N 求证 22 22 ab ONOM 为定值 18 解 圆O过椭圆的焦点 圆O 222 xyb bc 2222 bacc 22 2ac 2 2 e 5 分 由90APB 及圆的性质 可得2OPb 2 22 2 OPba 22 2ac 2 1 2 e 2 1 2 e 10 分 设 001122 P x yA x yB xy 则 011 011 yyx xxy 整理得 22 0011 x xy yxy 222 11 xyb PA方程为 2 11 x xy yb PB方程为 2 22 x xy yb 11 x xy y 22 x xy y 021 210 xyy xxy 直线AB方程为 0 11 0 x yyxx y 即 2 00 x xy yb 令0 x 得 2 0 b ONy y 令0y 得 2 0 b OMx x 用心 爱心 专心 12 222222222 00 22442 a yb xaba ba bbb ONOM 22 22 ab ONOM 为定值 定值是 2 2 a b 16 分 19 姜堰二中学情调查 三 姜堰二中学情调查 三 本小题共 16 分 已知 M p q 为直线 x y m 0 与曲线 y 1 x 的交点 且 p q 若 f x 2x m x 2 1 为正实数 求证 f p q f p q 0 因为AM MN 所以M 4 2 t 由M在椭圆上 得t 6 故所求的点M的坐标为 M 4 3 4 分 所以 6 3 2 3 MAMB 1293MA MB 365 cos 65 36949 MA MB AMB MA MB 7 分 用余弦定理也可求得 2 设圆的方程为 22 0 xyDxEyF 将A F N三点坐标代入 得 2 2 1640 72 420 6480 8 D DF DFEt t tDEtF F 第 18 题 用心 爱心 专心 15 圆方程为 22 72 2 80 xyxty t 令0 x 得 2 72 80yty t 11 分 设 12 0 0 PyQy 则 2 1 2 7272 32 2 tt tt y 由线段PQ的中点坐标为 0 9 得 12 18yy 72 18t t 此时所求圆的方程为 22 21880 xyxy 15 分 本题用韦达定理也可解 2 法二 由圆过点A F得圆心横坐标为 1 由圆与 y 轴交点的纵坐标为 0 9 得圆心的纵坐标为 9 故圆心坐标为 1 9 11 分 易求得圆的半径为3 10 13 分 所以 所求圆的方程为 22 1 9 90 xy 15 分 18 苏北四市苏北四市 20112011 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 本小题满分 16 分 已知椭圆E 22 1 84 xy 的左焦点为F 左准线l与x轴的交点是圆C的圆心 圆C恰好经 过坐标原点O 设G是圆C上任意一点 1 求圆C的方程 2 若直线FG与直线l交于点T 且G为线段FT的中点 求直线FG被圆C所截得的弦长 3 在平面上是否存在定点P 使得 1 2 GF GP 若存在 求出点P坐标 若不存在 请说明 理由 讲评建议 对于第二问题当初是仿照 2004 年江苏高考题命制 用 2 GTDG 考查两解 情况 后改为GTDG2 但综合全题还是有一线教师认为运算量较大 后改为现在情况 改成中点后 命题思想完全发生了变化 改成中点 学生用中点坐标公式 是代数方法 而 原来思维是方程思想 这一点引起各位注意 对于第三问 也是教材的习题 逆向思维 同 时是对两个参量求最值 学生一般接触较少 当然此题也可转化成一个参数 即对y平方法 两次用圆方程消元 达到目的 建议教师讲解 同时注意到 此圆是以椭圆的左准线的的左准线的与 x 轴的交点为圆心 两个定点恰是椭圆的左右焦点 三问题之间非常和谐 融为一体 用心 爱心 专心 16 1818 1 由椭圆E 22 1 84 xy 得l 4x 4 0 C 2 0 F 又圆C过原点 所以圆C的方程为 22 4 16xy 4 分 2 由题意 得 3 G Gy 代入 22 4 16xy 得15 G y 所以FG的斜率为15k FG的方程为15 2 yx 8 分 注意 若点 G 或 FG 方程只写一种情况扣 1 分 所以 4 0 C 到FG的距离为 15 2 d 直线FG被圆C截得弦长为 2 15 2 16 7 2 故直线FG被圆C截得弦长为 7 10 分 3 设 P s t 00 G xy 则由 1 2 GF GP 得 22 00 22 00 2 1 2 xy xsyt 整理得 2222 0000 3 162 2160 xys xtyst 12 分 又 00 G xy在圆C 22 4 16xy 上 所以 22 000 80 xyx 代入 得 22 00 28 2160sxtyst 14 分 又由 00 G xy为圆C 上任意一点可知 22 280 20 160 s t st 解得4 0st 所以在平面上存在一点P 其坐标为 4 0 16 分 18 宿迁市高三宿迁市高三 1212 月联考月联考 本题满分 16 分 已知椭圆的中心为坐标原点 O 椭圆短轴长为 2 动点 2 Mt 0 t 在椭圆的准线上 1 求椭圆的标准方程 2 求以 OM 为直径且被直线3450 xy 截得的弦长为 2 的圆的方程 3 设 F 是椭圆的右焦点 过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N 求证 线段 ON 的长为定值 并求出这个定值 18 解 1 由22b 得1b 1 分 又由点 M 在准线上 得 2 2 a c 2 分 用心 爱心 专心 17 故 2 1 2 c c 1c 从而2a 4 分 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y 5 分 2 以 OM 为直径的圆的方程为 2 0 x xy yt 即 2 22 1 1 24 tt xy 其圆心为 1 2 t 半径 2 1 4 t r 7 分 因为以 OM 为直径的圆被直线3450 xy 截得的弦长为 2 所以圆心到直线3450 xy 的距离 2 1dr 2 t 9 分 所以 325 52 tt 解得4t 所求圆的方程为 22 1 2 5xy 10 分 3 方法一 由平几知 2 ONOK OM 直线 OM 2 t yx 直线 FN 2 1 yx t 12 分 由 2 2 1 t yx yx t 得 2 4 4 K x t 22 2 2 2 11 44 4 1 22 44 KM tt ONxx t t 所以线段 ON 的长为定值2 16 分 方法二 设 00 N xy 则 用心 爱心 专心 18 00 0000 1 2 2 FNxyOMt MNxyt ONxy 0000 2 1 0 22FNOMxtyxty 又 2 2 00000000 2 0 22MNONx xyytxyxty 所以 22 00 2ONxy 为定值 18 无锡市 无锡市 1 1 月期末调研 月期末调研 本小题满分 16 分 已知椭圆 2 2 1 4 x y 的左顶点为A 过A作两条互相垂直的弦AM AN交椭圆于M N 两点 1 当直线AM的斜率为1时 求点M的坐标 2 当直线AM的斜率变化时 直线MN是否过x轴上的一定点 若过定点 请给出证明 并求出该定点 若不过定点 请说明理由 18 1 直线AM的斜率为1时 直线AM 2yx 1 分 代入椭圆方程并化简得 2 516120 xx 2 分 解之得 12 6 2 5 xx 6 4 5 5 M 4 分 2 设直线AM的斜率为k 则AM 2 yk x 则 2 2 2 1 4 yk x x y 化简得 2222 14 161640kxkxk 6 分 此方程有一根为2 2 2 28 1 4 M k x k 7 分 同理可得 2 2 28 4 N k x k 8 分 由 1 知若存在定点 则此点必为 6 0 5 P 用心 爱心 专心 19 9 分 2 2 22 2 28 2 5 14 6 28644 5 1 45 M MP M k k yk k k kk x k 11 分 同理可计算得 2 5 44 PN k k k 13 分 直线MN过x轴上的一定点 6 0 5 P 16 分 19 徐州市徐州市 1212 月高三调研 月高三调研 本小题满分 16 分 已知椭圆C 2 2 1 2 x y 的左 右焦点分别为 12 F F 下顶点为A 点P是椭圆上任一点 M是以 2 PF为直径的圆 当 M的面积为 8 时 求PA所在直线的方程 当 M与直线 1 AF相切时 求 M的方程 求证 M总与某个定圆相切 19 解 易得 1 0 0 1 0 1 21 AFF 设点 P 11 y x 则 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 x x xyxPF 所以 12 2 2 2xPF 3 分 又 M的面积为 8 2 1 2 88 x 解得1 1 x 2 2 1 2 2 1 或P PA所在直线方程为1 2 2 1 xy或1 2 2 1 xy 5 分 因为直线 1 AF的方程为01 yx 且 2 2 1 11 yx M 到直线 1 AF的 距离为 1 11 4 2 2 2 2 1 22 1 x yx 7 分 化简 得 11 21xy 联立方程组 1 2 21 2 1 2 1 11 y x xy 解得0 1 x或 9 8 1 x 10 分 当0 1 x时 可得 2 1 2 1 M M的方程为 2 1 2 1 2 1 22 yx 当 9 8 1 x时 可得 17 18 18 M M的方程为 22 17169 1818162 xy 12 分 P 第 19题 x y A F1 F2 M O 用心 爱心 专心 20 O l x y A B F M 第 17 题 M始终和以原点为圆心 半径为 1 r2 长半轴 的圆 记作 O 相切 13 分 证明 因为 44 1 2 1 2 1 yx OM 1 2 1 2 1 4 2 2 2 84 1 4 1 x xx 又 M的半径 2 r 2 MF 1 4 2 2 2 x 21 rrOM M和 O相内切 16 分 17 盐城市第一次调研 盐城市第一次调研 本小题满分 16 分 已知抛物线 C 2 2 0 ypx p 的准线为l 焦点为F M 的圆心在x轴的正半轴上 且 与y轴相切 过原点O作倾斜角为 3 的直线n 交l于点A 交 M 于另一点B 且2AOOB 求 M 和抛物线C的方程 若P为抛物线C上的动点 求PM PF 的最小值 过l上的动点Q向 M 作切线 切点为 S T 求证 直线ST恒过一个定点 并求该定点的坐标 17 解 因为 1 cos6021 22 p OA 即2p 所以抛物线 C 的方程为 2 4yx 2 分 设 M 的半径为r 则 1 2 2cos60 OB r 所以M的方程为 22 2 4xy 5 分 设 0 P x y x 则 2 1 PM PFxyxy 222 322xxyxx 8 分 所以当0 x 时 PM PF 有最小值为 2 10 分 以点 Q 这圆心 QS 为半径作 Q 则线段 ST 即为 Q 与 M 的公共弦 11 分 设点 1 Qt 则 222 45QSQMt 所以 Q 的方程为 222 1 5xytt 13 分 从而直线 QS 的方程为320 xty 14 分 用心 爱心 专心 21 O M N F2 F1 y x 第18题 因为 2 3 0 x y 一定是方程 的解 所以直线 QS 恒过一个定点 且该定点坐标为 2 0 3 16 分 18 苏北四市苏北四市 20112011 届高三第二次调研 届高三第二次调研 本小题满分 16 分 如图 椭圆 22 22 1 xy ab 0 ab 过点 3 1 2 P 其左 右焦点分别为 12 F F 离心率 1 2 e M N是椭圆右准线上的两个动点 且 12 0FM F N 1 求椭圆的方程 2 求MN的最小值 3 以MN为直径的圆C是否过定点 请证明你的结论 18 1 1 2 c e a 且过点 3 1 2 P 22 222 19 1 4 2 ab ac abc 解得 2 3 a b 椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 2 设点 12 4 4 MyNy 则 1122 5 3 FMyF Ny 1212 150FM F Ny y 12 15y y 又 2111 11 1515 15MNyyyy yy 2 MN 的最小值为2 15 10 分 3 圆心C的坐标为 12 4 2 yy 半径 21 2 yy r 圆C的方程为 2 22 1221 4 24 yyyy xy 用心 爱心 专心 22 整理得 22 1212 8 160 xyxyyyy y 16 分 12 15y y 22 12 8 10 xyxyyy 令0y 得 2 810 xx 415x 圆C过定点 415 0 16 分 21 苏北四市苏北四市 20112011 届高三第二次调研 届高三第二次调研 本小题满分 10 分 已知动圆P过点 1 0 4 F且与直线 1 4 y 相切 1 求点P的轨迹C的方程 2 过点F作一条直线交轨迹C于 A B两点 轨迹C在 A B两点处的切线相交于点N M为线段AB的中点 求证 MNx 轴 21 1 根据抛物线的定义 可得动圆圆心P的轨迹 C 的方程为 2 xy 4 分 2 证明 设 22 1122 A x xB x x 2 yx 2yx ANBN 的斜率分 别 为 12 2 2xx 故AN的方程为 2 111 2 yxx xx BN的方程 为 2 222 2 yxx xx 7 分 即 2 11 2 22 2 2 yx xx yx xx 两式相减 得 12 2 N xx x 又 12 2 M xx x MN 的横坐标相等 于是MNx 10 分 18 苏州市 苏州市 20112011 届高三调研测试 届高三调研测试 本小题满分 16 分 如图 椭圆 22 1 43 xy 的左焦点为F 上顶点为A O F x y P 第 22 题 O F x y P 第 22 题 用心 爱心 专心 23 过点A作直线AF的垂线分别交椭圆 x轴于 B C两点 若ABBC 求实数 的值 设点P为ACF 的外接圆上的任意一点 当PAB 的面积最大时 求点P的坐标 18 解析 1 由条件得 1 0 0 3 FA 3 AF k 因为 ABAF 所以 3 3 AB k 3 3 3 AB yx 令0 y 得3 x 所以点C的坐标为 3 0 由 22 3 3 3 1 43 yx xy 得 2 13240 xx 解得 1 0 x 舍 2 24 13 x 所以点B的坐标为 24 5 3 1313 因为ABBC 所以0 且 24 8 13 24 5 3 13 AB BC 2 因为ACF 是直角三角形 所以ACF 的外接圆的圆心为 1 0D 半径为2 所以圆D的方程为 2 2 14xy 因为AB为定值 所以当PAB 的面积最大时点P到直线AC的距离最大 过D作直线AC的垂线m 则点P为直线m与圆D的交点 直线 31m yx 与 2 2 14xy 联立得2x 舍 或0 x 所以点P的坐标为 0 3 试题精粹试题精粹 江苏省江苏省 20102010 年高考数学联考试题年高考数学联考试题 一 填空题一 填空题 1212 江苏省南通市 江苏省南通市 20102010 年高三二模 年高三二模 A B是双曲线C的两个顶点 直线l与实轴垂直 与 双曲线C 交于P Q两点 若0PB AQ uur uuu r 则双曲线C的离心率e 用心 爱心 专心 24 解析 设双曲线方程为 22 22 10 0 xy ab ab 双曲线上点P x y 则 0 0 AaB a Q x y 由0PB AQ uur uuu r 得 0axyxay 从而 222 xya 又因点P在双曲线上 满足 22 22 1 xy ab 另从题 中知点 P 为任意可由两式比较得 22 ab 则双曲线C的离心率e 2 法二 由 PBAQ ABPQ 知B为垂心 即 PQ 运动中始终要 B 点垂心 从而可假设三角形 PAQ 为等边三角形来处理 7 江苏省无锡市 江苏省无锡市 20102010 年普通高中高三质量调研 年普通高中高三质量调研 已知双曲线的中心在原点 对称轴为坐标 轴 且经过点 2 2 与 2 0 则双曲线的焦点坐标为 解析 由题意知设双曲线的方程为 22 22 10 0 xy ab ab 且 2 2a 又过点 2 2 得 22 2xy 则双曲线的焦点坐标为 2 0 13 江苏省无锡市部分学校 江苏省无锡市部分学校 20102010 年年 4 4 月联考试卷 月联考试卷 已知c是椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的 半焦距 则 a cb 的取值范围是 解 2 2 1 22 2222 22 2 22 2 cb bc cb bccb a bccb a cb 2 1 2 江苏通州市江苏通州市 20102010 年年 3 3 月高三素质检测月高三素质检测 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆的交点M恰为线段 OT的中点 则该椭圆的离心率为 2 75e 5 江 苏 省 泰 州 市 江 苏 省 泰 州 市 20102010 届 高 三 联 考 试 题 届 高 三 联 考 试 题 已 知 双 曲 线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的实轴长为 2 离心率为 2 则双曲 用心 爱心 专心 25 线C的焦点坐标是 解析 由双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的实轴长为 2 离心率为 2 知2 22 ea 则2 c 故双曲线C的焦点坐标是 0 2 4 4 20102010 年年 3 3 月苏 锡 常 镇四市高三教学情况调查一 月苏 锡 常 镇四市高三教学情况调查一 在平面直角坐标系xOy中 已 知双曲线C 2 2 2 1 x y a 0a 的一条渐近线与直线l 210 xy 垂直 则实数 a 2 9 江苏省盐城市 江苏省盐城市 20102010 年高三第二次调研考试 年高三第二次调研考试 中心在坐标原点 焦点在x轴上的双曲线的 一条渐近线方程为430 xy 则该双曲线的离心率为 5 3 8 江苏省连云港市 江苏省连云港市 20102010 届高三二模试题 届高三二模试题 已知双曲线1 sincos 2 2 2 2 yx 为锐角 的 右焦为 F P 是右支上任意一点 以 P 为圆心 PF 长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等 于 PF 则 的值为 2 1 10 江苏省连云港市 江苏省连云港市 20102010 届高三二模试题 届高三二模试题 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B 为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB 与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中 点 则该椭圆的离心率为 2 75e 9 江苏省苏南六校 江苏省苏南六校 20102010 年高三年级联合调研考试 年高三年级联合调研考试 直线 tx 过双 曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于 A B 两点 若原点在以 AB 为直径的圆内 则双曲线离心率的取值范围是 2 13 20102010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试 如图 已知椭圆C的方程为 22 22 1 xy ab 0 ab B是它的下顶点 F是其右焦点 BF的延长线与椭圆及其右准线 分别交于P Q两点 若点P恰好是BQ的中点 则此椭圆的离心率是 3 3 4 O y x x y O F B Q P 第 13 题 用心 爱心 专心 26 11 江 江苏省南京市苏省南京市 20102010 年年 3 3 月高三第二次模拟 月高三第二次模拟 以椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的右焦点 为圆心的圆经过原点 O 且与该椭圆的右准线交与 A B 两点 已知 OAB 是正三角形 则该 椭圆的离心率是 6 3 3 江苏省洪泽中学 江苏省洪泽中学 20102010 年年 4 4 月高三年级第三次月考试卷 月高三年级第三次月考试卷 若抛物线 2 2 0 ypxp 的焦 点与双曲线 22 1 124 xy 的右焦点重合 则p的值为 8 12 江苏省洪泽中学 江苏省洪泽中学 20102010 年年 4 4 月高三年级第三次月考试卷月高三年级第三次月考试卷已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F是左右焦点 l是右准线 若椭圆上存在点P 使 1 PF是P到直线l的距离的 2 倍 则 椭圆离心率的取值范围是 317 1 2 二 解答题二 解答题 1818 江苏省南通市 江苏省南通市 20102010 年高三二模 年高三二模 本小题满分 15 分 平面直角坐标系xOy中 已知 M经过点F1 0 c F2 0 c A 3c 0 三点 其中c 0 1 求 M的标准方程 用含c的式子表示 2 已知椭圆 22 22 1 0 yx ab ab 其中 222 abc 的左 右顶点分别为D B M与x轴的两个交点分别为A C 且A点在B点右侧 C点在D点右侧 求椭圆离心率的取值范围 若A B M O C D O为坐标原点 依次均匀分布在x轴上 问直线MF1与直 线DF2的交点是否在一条定直线上 若是 请求出这条定直线的方程 若不是 请说明理由 17 20102010 年年 3 3 月苏 锡 常 镇四市高三教学情况调查一 月苏 锡 常 镇四市高三教学情况调查一 本小题满分 14 分 用心 爱心 专心 27 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点为F 右顶点为A 动点M 为右准线上一点 异于右准线与x 轴的交点 设线段FM交椭圆C于点P 已知椭圆C的离心率为 2 3 点M的横坐标为 9 2 1 求椭圆C的标准方程 2 设直线PA的斜率为 1 k 直线MA的斜率为 2 k 求 12 kk 的取值 范围 17 解 1 由已知 得 2 2 3 9 2 c a a c 2 分 M A P F O x y 第 17 题图 用心 爱心 专心 28 18 江苏省无锡市 江苏省无锡市 20102010 年普通高中高三质量调年普通高中高三质量调研 研 本题满分 16 分 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右两个焦点分别为 1 F 2 F 短轴的上端点为 B 短轴上的两个三等分点为 P Q 且 12 FPF Q为正方形 1 求椭圆的离心率 2 若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为 3 2 4 求此椭圆方程 用心 爱心 专心 29 2 江苏省无锡市 江苏省无锡市 20102010 年普通高中高三质量调研 年普通高中高三质量调研 本题满分 8 分 已知动抛物线的准线为x轴 且经过点 0 2 求抛物线的顶点轨迹方程 本题满分 8 分 设抛物线的顶点坐标为 2 yxyx则焦点坐标为 3 分 由题意得4 22 22 yx 6 分 即顶点的轨迹方程为 1 1 4 2 2 y x 8 分 18 江苏省无锡 江苏省无锡市部分学校市部分学校 20102010 年年 4 4 月联考试卷 月联考试卷 15 分 已知椭圆以坐标原点为中心 坐 标轴为对称轴 且椭圆以抛物线xy16 2 的焦点为其一个焦点 以双曲线1 916 22 yx 的 焦点为顶点 1 求椭圆的标准方程 2 已知点 0 1 0 1 BA