2013年高考数学预测新课标数学考点预测(20)坐标系与参.pdf

20132013 年高考数学预测年高考数学预测新课标数学考点预测 新课标数学考点预测 新课标数学考点预测 新课标数学考点预测 20202020 坐标系与参数方程 一 坐标系与参数方程 一 一 考点介绍一 考点介绍一 考点介绍一 考点介绍 1 了解坐标系的作用 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 2 了解极坐标的基本概念 会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 能进行极坐标 和直角坐标的互化 3 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 表 示的极坐标方程 4 了解参数方程 了解参数的意义 5 能选择适当的参数写出直线 圆和椭圆的参数方程 二 高考真题二 高考真题二 高考真题二 高考真题 2007200720072007 广东卷理广东卷理广东卷理广东卷理 13 13 13 13 在平面直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 3 3 xt yt 参 数t R R R R 圆C的参数方程为 2cos 2sin2 x y 参数 0 2 则圆C的圆心坐标 为 圆心到直线l的距离为 解析解析 将 2cos 2sin2 x y 消去参数得方程4 2 2 2 xx 圆C的圆心坐标为 0 2 将 3 3 xt yt 去参数得方程为x y 6 0 利用点到直线的距离公式得d 26 2 2 2 答案答案 0 2 2 2 2 2 2 2 2007200720072007 广东卷文广东卷文广东卷文广东卷文 14 14 14 14 在极坐标系中 直线l的方程为sin3 则点 2 6 到直线 l的距离为2 解析解析 方程sin3 表示直线2 y 点 2 6 的直角坐标为 1 3 则点 1 3 到直线2 y的距离为 2 答案答案 2 3 2007200720072007 海 南 宁 夏 卷 理海 南 宁 夏 卷 理海 南 宁 夏 卷 理海 南 宁 夏 卷 理 22222222 1 O 和 2 O 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 4cos4sin 把 1 O 和 2 O 的极坐标方程化为直角坐标方程 求经过 1 O 2 O 交点的直线的直角坐标方程 解析解析 以极点为原点 极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系 两坐标系中取相同 的长度单位 cosx siny 由4cos 得 2 4cos 所以 22 4xyx 即 22 40 xyx 为 1 O 的直角坐标方程 同理 22 40 xyy 为 2 O 的直角坐标方程 由 22 22 40 40 xyx xyy 解得 1 1 0 0 x y 2 2 2 2 x y 即 1 O 2 O 交于点 0 0 和 22 过交点的直线的直角坐标方程为yx 4 4 4 4 2008200820082008 广 东卷 理广 东卷 理广 东卷 理广 东卷 理 13 13 13 13 已知 曲线 12 CC 的极 坐标方程 分别为cos3 4cos0 0 2 则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 解析解析 我们通过联立解方程组 cos3 0 0 4cos2 解得 2 3 6 即两曲线的 交点为 2 3 6 5 5 5 5 2008200820082008 海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理海南 宁夏卷理 23232323 已知曲线C1 cos sin x y 为参数 曲线C2 2 2 2 2 2 xt y t为参数 指出C1 C2各是什么曲线 并说明C1与C2公共点的个数 若把C1 C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 分别得到曲线 12 CC 写出 12 CC 的参数方程 1 C 与 2 C 公共点的个数和C 21 C与公共点的个数是否相同 说明你 的理由 解析解析 1 C是圆 2 C是直线 1 C的普通方程为 22 1xy 圆心 1 0 0 C 半径 1r 2 C的普通方程为20 xy 因为圆心 1 C到直线20 xy 的距离为1 所以 2 C与 1 C只有一个公共点 压缩后的参数方程分别为 1 C cos 1 sin 2 x y 为参数 2 C 2 2 2 2 4 xt yt t为参数 化为普通方程为 1 C 22 41xy 2 C 12 22 yx 联立消元得 2 22 210 xx 其判别式 2 2 2 4 2 10 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点 和 1 C与 2 C公共点个数相同 6 6 6 6 2008200820082008 江苏卷理江苏卷理江苏卷理江苏卷理 21 21 21 21 在平面直角坐标系xOy中 点 P xy 是椭圆 2 2 1 3 x y 上的一 个动点 求Sxy 的最大值 解析解析 因椭圆 2 2 1 3 x y 的参数方程为 3cos sin x y 为参数 故可设动点P的坐标为 3cos sin 其中02 因此 31 3cossin2 cossin 2sin 223 Sxy 所以 当 6 时 S取最大值 2 三 名校试题三 名校试题 考点一 考点一 考点一 考点一 参数方程 极坐标方程和直角坐标方程的互化 1 2008 年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题 求直线 4 1 5 3 1 5 xt yt 为参数t 被曲线2cos 4 所截的弦长 解析解析 将方程 4 1 5 3 1 5 xt yt 2cos 4 分别化为普通方程 3410 xy 22 0 xyxy 5 分 2 17 2 105 dd 2 11211 圆心C 半径为圆心到直线的距离 弦长 2 r 2222100 考点二 考点二 考点二 考点二 了解参数方程和参数的意义 2 2008 年宁夏银川一中第二次模拟考试数学试题 理科 设方程 sin3 cos1 y x 为参数 表示的曲线为 C 1 求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小值 2 点 P 为曲线 C 上的动点 当 OP 最小时 O 为坐标原点 求点 P 的坐标 设圆上的点 解析解析 P 1 cosa asin3 0 a 2 OP 22 sin3 cos1 aa 3 cos 45 a 当 a 3 4 时 OP min 1 2 P 2 3 2 1 考点三 考点三 考点三 考点三 能选择适当的参数写出直线 圆和椭圆的参数方程及极坐标方程 3 2008 年宁夏银川一中高三年级第三次模拟考试 已知椭圆 C 的极坐标方程为 22 2 sin4cos3 12 点 F1 F2为其左 右焦点 直线l l l l的参数方程为 ty tx 2 2 2 2 2 t 为参数 t R 求直线l l l l和曲线 C 的普通方程 求点 F1 F2到直线l l l l的距离之和 解析解析 直线l普通方程为2yx 2 分 曲线C的普通方程为 22 1 43 xy 4 分 1 1 0 F 2 1 0 F 点 1 F到直线l的距离 1 1 023 2 22 d 6 分 点 2 F到直线l的距离 2 1 022 22 d 8 分 12 2 2 dd 10 分 考点四考点四考点四考点四 能给出简单图形能给出简单图形 如过极点的直线如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆过极点或圆心在极点的圆 表示的极坐标表示的极坐标 方程方程 4 南通市 2008 届高三第三次调研考试数学试题 设点P在曲线sin2 上 点Q在 曲线2cos 上 求 PQ的最小值 解析 解析 以极点为原点 极轴所在直线为x轴建立直角坐标系 将曲线sin2 2 与曲 线2cos 分别化为直角坐标方程 得直线方程2y 圆方程 22 1 1xy 所以圆 心 1 0 到直线距离为 2 PQ 的最小值为 2 1 1 四 考点预测四 考点预测四 考点预测四 考点预测 高考对这部分知识的考查主要考查极坐标的基本概念 能进行极坐标和直角坐标的互 化 给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 表示的极坐标方程 能选 择适当的参数写出直线 圆和椭圆的参数方程等 题型仍以填空题或解答题形式出现 1 已知圆的极坐标方程为2cos 则该圆的圆心到直线sin2cos1 的 距离是 解析解析 直线sin2cos1 化为直角坐标方程是 2x y 1 0 圆2cos 的 圆心 到直线 2x y 1 0 的距离是 5 5 2 若曲线22 上有n个点到曲线2 4 cos 的距离等于2 则n 解析解析 曲线22 的直角坐标方程为 22 2 2 2 y x 曲线2 4 cos 的 直角坐标方程为2 yx 由于圆心 0 0 O到直线2 yx的距离为2 所以满足题意 的点有 3 个 3 南京市 2008届高三第一次调研测试数学附加题 设方程 x 1 cosx y 3 sin 为参数 表示 的曲线为C 求在曲线C上到原点O距离最小的点P的坐标 解析解析 222 sin3 cos1 OP cos2sin325 6 sin 45 当Zkk 3 4 2 时 OP最小 此时点P的坐标为 2 3 2 1 4 2008 年南通四县市高三联合考试 已知曲线C的极坐标方程是4cos 以极点 为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程 是 2 1 2 2 2 xt yt 求直线l与曲线 C 相交所成的弦的弦长 解析解析 曲线 C 的极坐标方程是4cos 化为直角坐标方程为x2 y2 4x 0 即 x 2 2 y2 4 直线l的参数方程 2 1 2 2 2 xt yt 化为普通方程为x y 1 0 曲线 C 的圆心 2 0 到直线l的距离为 12 22 所以直线l与曲线 C 相交所成的弦的弦长 1 2 4 2 14 5 5 5 5 江苏省泰兴市江苏省泰兴市2007200720072007 2008200820082008学年第一学期高三调研学年第一学期高三调研 已知直线l经过点 1 1 P 倾斜角 6 1 写出直线l的参数方程 2 设l与圆4 22 yx相交与两点 A B 求点P到 A B两点的距离之积 解析解析 1 直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt 即 3 1 2 1 1 2 xt yt 2 把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt 代入4 22 yx 得 222 31 1 1 4 31 20 22 tttt 1 2 2t t 则点P到 A B两点的距离之积为2 6 6 6 6 盐城市盐城市 2007 20082007 20082007 20082007 2008 学年度高三第三次调研考试学年度高三第三次调研考试 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原 点O处 极轴与x轴的正半轴重合 直线l的参数方程为 cos sin xt yt t为参数 为直线l的 倾斜角 圆C的极坐标方程为 2 8cos120 若直线l与圆C相切 求 的值 若直线l与圆C有公共点 求 的范围 解析解析 因为直线l的直角坐标方程为y xtan 圆C 的直角坐标方程为 x 4 2 y2 4 1 当直线l与圆 C 相切时 6 或 5 6 2 当直线l与圆 C 有公共点时 5 0 66 坐标系与参数方程 二 坐标系与参数方程 二 坐标系与参数方程 二 坐标系与参数方程 二 坐标系与参数方程在高考中根据各省的情况而选考 一般是 5 10 分的比较容易的题 常与几何证明选讲 不等式选讲和矩阵与变换等多个选修模块进行选择其一解答 知识相对 比较独立 与其他章节联系不大 容易拿分 根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系 坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系 的数据确立 有些问题用极坐标系解答比较简单 而有些问题如果我们引入一个参数就可以 使问题容易入手解答 计算简便 高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程 参数方程以 及极坐标方程 参数方程与普通方程间的相互转化 并用极坐标方程 参数方程研究有关的 距离问题 交点问题和位置关系的判定 一 极坐标一 极坐标 平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题 以这两个量为变量建立极坐标系得 到点的坐标 线的方程研究问题就比较容易 而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进 行相互转化 在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点 O 为极点 x轴的正半 轴为极轴 且在两坐标系中取相同的长度单位 平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分 别为 yx和 则有 cos sin x y 和 222 tan xy y x 这样的互化关系式 这就给两种方程 之间建立了桥梁关系 我们可以来去自由 注意在极坐标系中 极径 允许取负值 极角 也 可以去任意的正角或负角 当 0 时 点 M 位于极角终边的反向延长线上 且 OM M 也可以表示为 12 2 kk或 zk 1 1 直接求解 直接求解 例 1 在极坐标系中 过圆 6cos 的圆心 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 分析 把极坐标方程化为普通方程求出直线 再得到极坐标方程 解 由题意可知圆的标准方程为 2 2 39xy 圆心是 3 0 所求直线标准方程 x 3 则坐标方程为 cos 3 答案 cos 3 评注 在研究极坐标问题时常常要把极坐标方程转化为普通方程解决问题 例 2 08 广 东 卷 理 13 已 知 曲 线 12 CC 的 极 坐 标 方 程 分 别 为cos3 4cos0 0 2 则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 分析 本题给出的是极坐标方程 而所求的交点为极坐标 可以直接求解 解 联 立解 方程 组 cos3 0 0 4cos2 解 得 2 3 6 即 两曲 线的 交点 为 2 3 6 答案 2 3 6 评注 本题中的已知与所求都是极坐标问题 所以可以直接求解 当然也可以转化为普通方 程解答 2 2 2 2 由极坐标求最值 由极坐标求最值 例 3 2009 大丰市 已知 A 是曲线 3cos 上任意一点 求点 A 到直线 cos 1 距 离的最大值和最小值 分析 可以把极坐标方程转化为普通方程 再结合图形解答问题 解 将极坐标方程转化成直角坐标方程 3cos 即 x2 y2 3x x 3 2 2 y2 9 4 cos 1 即 x 1 直线与圆相交 所求最大值为 2 最小值为 0 评注 将极坐标方程转化为普通方程是解决两曲线位置关系的重要方法 例 4 2008 盐城市 在极坐标系中 设圆3 上的点到直线 cos3sin2 的距离 为d 求d的最大值 分析 已知圆为极坐标方程 可以转化为普通方程 然后改写为参数式即可表示出圆上任意 一点的坐标 并把直线的极坐标方程转化为普通方程 圆上的点的坐标可以表示出来 由点 到直线的距离公式即可求出 也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答 解法一 将极坐标方程3 转化为普通方程 22 9xy cos3sin2 可 化为32xy 在 22 9xy 上任取一点 A 3cos 3sin 则点 A 到直线的距离为 0 3cos3 3sin26sin 30 2 22 d 它的最大值为 4 解法二 将极坐标方程3 转化为普通方程 22 9xy cos3sin2 可 化为32xy 则圆心到直线的距离为 1 圆的半径为 3 所以圆上的点到直线的最大 距离为 4 评注 在求点线距离时常常转化为普通方程解答 而且要学会转化的思想和数形结合的思想 3 3 极坐标方程研究两曲线的位置关系 极坐标方程研究两曲线的位置关系 例 5 江苏省南通市 2008 2009 求直线 12 12 xt yt t为参数 被圆 3cos 3sin x y 为参 数 截得的弦长 分析 把参数方程转化为普通方程来判断位置关系 利用圆心距与半径求出弦长 解 把直线方程 12 12 xt yt 化为普通方程为2xy 将圆 3cos 3sin x y 化为普通方程为 22 9xy 圆心O到直线的距离 2 2 2 d 弦长 22 22 922 7LRd 所以直线 12 12 xt yt 被圆 3cos 3sin x y 截得的弦长为2 7 评注 消去参数可得普通方程 在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参 二 参数方程二 参数方程 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式 它借助于中间变量把曲线上的动点的两个 坐标间接地联系起来 参数方程与变通方程同等地描述 了解曲线 参数方程实际上是一个 方程组 其中x y分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标 参数方程求法 1 建立直角坐 标系 设曲线上任一点 P 坐标为 yx 2 选取适当的参数 3 根据已知条件和图形的 几何性质 物理意义 建立点 P 坐标与参数的函数式 4 证明这个参数方程就是所由于 的曲线的方程 求曲线的参数方程关键是参数的选取 选取参数的原则是曲线上任一点坐标 当参数的关系比较明显关系相对简单 与运动有关的问题选取时间t做参数 与旋转的有关 问题选取角 做参数 或选取有向线段的数量 长度 直线的倾斜斜角 斜率等 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种 代入法 利用解方程的 技巧求出参数 t 然后代入消去参数 三角法 利用三角恒等式消去参数 整体消元法 根 据参数方程本身的结构特征 从整体上消去 化参数方程为普通方程为0 yxF 在消 参过程中注意变量x y取值范围的一致性 必须根据参数的取值范围 确定 tf和 tg值 域得x y的取值范围 常见曲线的参数方程要熟悉 如 圆 椭圆 双曲线 抛物线以及过一点的直线 并 明确各参数所表示的含义 在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解 答 1 1 1 1 两曲线的位置关系 两曲线的位置关系 例 1 08 海南 宁夏理 已知曲线C1 cos sin x y 为参数 曲线C2 2 2 2 2 2 xt y t为参数 指出C1 C2各是什么曲线 并说明C1与C2公共点的个数 若把C1 C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 分别得到曲线 12 CC 写出 12 CC 的参数方程 1 C 与 2 C 公共点的个数和C 21 C与公共点的个数是否相同 说明你 的理由 分析 从参数方程来看曲线C1为圆 曲线C2为直线 也可以通过消参数 求得曲线的普通 方程判断 并由参数方程进行图象的变换 得到曲线 12 CC 再将其方程化为普通方程解 方程组判断其交点的个数 解 1 C是圆 2 C是直线 1 C的普通方程为 22 1xy 圆心 1 0 0 C 半径1r 2 C的普通方程为20 xy 因为圆心 1 C到直线20 xy 的距离为1 所以 2 C与 1 C只有一个公共点 压缩后的参数方程分别为 1 C cos 1 sin 2 x y 为参数 2 C 2 2 2 2 4 xt yt t为参数 化为普通方程为 1 C 22 41xy 2 C 12 22 yx 联立消元得 2 22 210 xx 其判别式 2 2 2 42 10 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点 和 1 C与 2 C公共点个数相同 评注 本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化 在研究图象的伸缩变换时用 参数方程比较容易得到 而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好 例 2 2007 年广东省深圳市 若直线bxy 与曲线 sin cos y x 为参数 且 22 有两个不同的交点 则实数b的取值范围是 分析 本题中参数方程表示的是圆的一部分 可以通过图形解答 解 曲线 sin cos y x 为参数 且 22 表示的以原点为圆心 以 1 为半径的右半 圆 如图 直线bxy 与曲线有两个不同的交点 直线应介于 两直线之间则 2 1 b 答案 1 2 评注 对于熟悉的曲线常用数形结合法解答 例 3 2007 年广东 理 13 在平面直角坐标系 x y 中 直线 L 的参数方程为 t3y 3tx 参数Rt 圆 的参数方程为 2sin2y cos2x 参数 2 0 则圆 的圆心坐标 为 圆心到直线 L 的距离为 分析 把参数方程转化为普通方程 并由点到直线的距离公式求解 解 消去 2sin2y cos2x 的参数 得 2 2 24xy 消去 t3y 3tx 的参数t 得 x y 6 所以圆 的圆心坐标是 0 2 圆心到直线 L 的距离是 11 620 22 或直线的方程为 x y 6 0 圆心到直线 L 的距离是 d 26 2 2 2 答案 0 2 2 2 评注 对于含有正弦余弦的参数方程常常利用正弦余弦的平方和消参转化 例 4 2008 江苏卷 在平面直角坐标系xOy中 点 P xy 是椭圆 2 2 1 3 x y 上的一个动 点 求Sxy 的最大值 分析 由于已知条件椭圆为二次式 而所求为一次式 所以要求Sxy 的最大值需要把 椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之 解 因椭圆 2 2 1 3 x y 的参数方程为 3cos sin x y 为参数 故可设动点P的坐标为 3cos sin 其中02 因此 31 3cossin2 cossin 2sin 223 Sxy 所以 当 6 时 S取最大值 2 评注 在所求函数为一次 而已知为二次时 常常用曲线的参数方程求出 其实质为换元或 为三角代换 目的就是降次 2 2 2 2 极坐标方程与参数方程混合 极坐标方程与参数方程混合 例 5 2008 南通四县市 已知曲线C的极坐标方程是4cos 以极点为平面直角坐标 系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 2 1 2 2 2 xt yt 求直线l与曲线 C 相交所成的弦的弦长 分析 本题中的曲线为极坐标方程 直线为参数方程 要求弦长 就要把它们都统一成普通 方程 再进一步解答 解 曲线 C 的极坐标方程是4cos 化为直角坐标方程为 22 40 xyx 即 2 2 24xy 直线l的参数方程 2 1 2 2 2 xt yt 化为普通方程为x y 1 0 曲线 C 的圆心 2 0 到直线l的距离为 12 22 所以直线l与曲线 C 相交所成的弦的 弦长 1 2 4 2 14 评注 在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题 要统一成普通方程解答 对于直线 被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出 例 6 2008 宁夏银川一中 已知椭圆 C 的极坐标方程为 22 2 sin4cos3 12 点 F1 F2为其左 右焦点 直线l l l l的参数方程为 ty tx 2 2 2 2 2 t 为参数 t R 求直线l l l l和曲线 C 的普通方程 求点 F1 F2到直线l l l l的距离之和 分析 本题中的椭圆为极坐标方程 直线为参数方程 先把它们化为普通方程 再由点到直 线的距离公式求距离 解 直线l普通方程为2yx 曲线C的普通方程为 22 1 43 xy 1 1 0 F 2 1 0 F 点 1 F到直线l的距离 1 1 023 2 22 d 点 2 F到直线l的距离 2 1 022 22 d 12 2 2 dd 评注 本题主要考查极坐标方程 参数方程转化为普通方程的过程 极坐标方程化为普通方 程时可由公式 cos sin x y 进行转化 即同乘右面的分母把分母去掉 得到普通方程 而对 于参数方程则需要两式相减消掉参数即可 例 7 淮安 徐州 宿迁 连云港四市 2008 2009 已知在直角坐标系 x0y 内 直线l的 参数方程为 22 14 xt yt t 为参数 以 Ox 为极轴建立极坐标系 圆 C 的极坐标方程为 2 2sin 4 1 写出直线l的普通方程和圆 C 的直角坐标方程 2 判断直线l和圆 C 的位置关系 分析 直线比较容易得到普通方程 而圆则需要用两角和的正弦公式展开 并需要两边同乘 以 才能将极坐标方程化为普通方程 再由圆心到直线的距离与半径比较进行判断 解 1 消去参数t 得直线l的直角坐标方程为23yx 2 2sin 4 即 cos sin2 两边同乘以 得 cossin 2 2 消去参数 得 C的 直角坐标方程为 22 1 1 2xy 2 圆心C到直线l的距离 22 2 1 3 2 5 2 5 21 d 所以直线l和 C相交 评注 注意在把极坐标方程化为普通方程时 极点应在直角坐标原点处 而且极轴要与x轴 重合 三 考点预测三 考点预测三 考点预测三 考点预测 1 潮南区 08 动点 M x y 过点 A 0 1 且以 1 3 at 为方向向量 为参数 tR 则它的轨迹方程是 分析 由 1 3 a 为直线的方向向量 可知直线的倾斜角的大小 从而写出轨迹方程 解 由 1 3 a 为直线的方向向量 可知直线的倾斜角为60 直线过点 A 0 1 所以直 线方程为 1 2