数学建模 人口增长.doc

数学建模摘要:人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的由于人口基数大尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策人口的增长依然很快，巨大人口压力会给我国的社会 政治经济医疗就业等带来了一系列的问题。因此研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。我们经常在报刊上看见关于人口增长预报，说到本世纪，或下世纪中叶，全世界的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字商场有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口整张模型计算出来的结果。 人类社会进入20世纪以来，在科学和技术和生产力飞速发展的同时世界人口也以空前的规模增长。人口每增加十亿的时间，有一百年缩短为十几年。我们赖以生存的地球已经携带着他的60亿子民踏入下一个世纪。长期以来，人类的繁殖一直在自然地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何惊醒人口控制等问题。本文件里两个模型： （1）：中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）：中国人口的Logistic图形，标出中国人口的实际统计数据进行比较。而且利用MATLAB图形 ，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。关键词：指数增长模型 Logistic模型 MATLAB软件 人口增长预测1.问题的提出下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），万人，万人。年198219831984198519861987198819891990人口（万）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（万）115823117171118517119850121121122389123626124810要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。语法为：t,Y =ode45(odefun,tspan,y0)2.问题的分析 人口的变化受到众多方面因素影响，因此对人口的预测与控制复杂，很难再一个模型中综合考虑到各个因素的影响。要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。例如根据我国国家统计局1990年10月30日归表的公报。1990年7月1日我国人口总数为11.6亿过去8年的平均年增长率为1.48%。如果今后的年增长率保持这个数字，那么容易算出，一年后我国人口为11.6*（1+1.0148）=11.77（亿），10年后即2000年警卫116*（1+0.0148）10=13.44(亿)。这种算法用式子表示也十分简单。记人口为X0，k年后人口为Xk，年增长率为r则预报公式为:Xk=X0（1+r）k (1)显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变。这个条件在什么情况下才能成立，如果不成立又该怎么办。在历史上，人口模型的发展过程回答这个问题。早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百来年发展了许多模型，指数增长模型和Logistic模型是其中最简单的两种模型。3模型一 3.1模型假设： （1）假设不存在某抽样年龄段出现0死亡概率 （2）假设人口平稳增长，无大行自然灾害，战争等因素影响 （3）假设境内外迁移率对我国未来人口影响不计 （4）人口净增长率（即出生率减去死亡率）为常数 （5）时刻t的人口函数是连续可微的3.2 名词解释与符号说明 t 表示年份（选定初始年份t=0） r 表示人口增长率 x表示人口数量3.3 模型的建立及求解 记 时刻t的人口为x（t）当烤翅一个国家或一个很大的地区人口时，x（t）是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x（t）视为连续的，可微的函数。记初始时刻（t=0）的人口为X0，人口增长率为r，r是单位时间内x（t）的增长量与x（t）的比例系数。根据r是常数的基本假设，t到t+t时间内人口的增量为： x(t+t)-x(t)=rx(t)t于是x（t）满足如下的微分方程：dx/dt=rx x(0)=x0 （2）有这个线性常系数微分方程容易得出 x（t）=x0 *e(rt)表明人口将按指数规律无限增长（r0）。将t以年为单位离散化，（3）是表明，人口以er为公比的等比数列增长因为这时候r表示年增长率通常rP*时人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口处置如何，当t趋向正无穷他们街趋于极限值P*。4.5 模型讨论 阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时间内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值的16亿，之后，将进入缓慢减少的过程这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。还有比指数增长模型、阻滞模型更好的人口预测方法吗？事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。5.模型作图圈：人口的实际统计数据绿线：人口的指数增长曲线（x0=101654(1982年人口)），xk=x0(1+r)k，P(t)=P*1+(P*P0-1)e-r*(t-t0)，r=0.01116）红线：人口的Logistic增长曲线（P*=1600000000，P0=x0）左图为指数增长曲线与真实数据的误差图，右图为Logistic增长曲线与真实数据的误差图6 参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型M.北京：.2003年8月第三版;2 姜启源.数学模型M.北京：高等教育出版社.1987年4月第一版;3 于洪彦.Excel统计分