2013年中考题分类——矩形、菱形、正方形.doc

一、选择题1. ( 2013云南普洱，6，3分)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOD=120，AC=8，则ABO的周长为（ ）A.16 B.12 C.24 D.20【答案】B2. （2013云南曲靖，7，3分）如图，在ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O,过点O作EFAC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF.则四边形AECF是（ ）A梯形 B矩形 C菱形 D正方形第7题 【答案】C3. （2013湖南怀化，2，3分）如图1，在菱形ABCD中，AB3，ABC60，则对角线AC（ ）A12 B9 C6 D3图1【答案】D4. （2013湖北随州，5，4分）如图，在菱形ABCD中， BAD120 已知ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A25 B20 C15 D10【答案】B5. （2013湖北随州，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB3，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF下列结论：点G是BC的中点；FGFC；SFGC其中正确的是（）A B C D 【答案】B14. 6.（2013江苏常州，8，2分）有3张边长为A的正方形纸片，4张边分别为A、B(BA)的矩形纸片，5张边长为B的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸乍进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 （ ） AA+BB2A+BC3A+BDA+2B【答案】 A7. （2013广西贵港市，12，3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，EBC的平分线交CD于点F.将DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N,有下列四个结论： DF=CF；BFEN；BEN是等边三角形；SBEF=3SDEF. 其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）A B C D【答案】D8. （2013山东枣庄，12，3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）A B C D第12题图【答案】D9.(2013内蒙古赤峰，3，3分)如图，44的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是( )ABCDEFAS四边形ABDC = S四边形ECDF BS四边形ABDC S四边形ECDFCS四边形ABDC = S四边形ECDF + 1 DS四边形ABDC = S四边形ECDF + 2【答案】A10. （2013广东茂名，8，3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60，AD=2，则AC的长是（ ）A2 B4 C DABDCO【答案】B11. (2013福建龙岩，9，4分)如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT = ( )A B C2 D1【答案】B二、填空题1. ( 2013黑龙江牡丹江，12，3分)如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 （只添一个即可），使ABCD是矩形. 【答案】答案不唯一.如ABC=90，BCD=90，ABC=90，BCD=90，AC=BD.2. （2013湖南岳阳，16，3分）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 【答案】140m3. (2013江苏苏州，18,3分)如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将ADE沿AE折叠后得到AFE，且点F在矩形ABCD内部将AF延长交边BC于点G若，则（用含k的代数式表示）【答案】：4. （2013广西桂林，18，3分）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是 FEABCDPGHKO1O2第18题图【答案】35. （2013四川攀枝花，16，4分）如图，分别以直角ABC的斜边AB，直角边AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，ACB=90，BAC=30给出如下结论：EFAC；四边形ADFE为菱形；AD=4AG；FH= BD其中正确结论的为 _（请将所有正确的序号都填上）【答案】6.(2013内蒙古赤峰，14，3分)如图，矩形ABCD中，E是BC中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE = 5cm，则AB的长为_cmABCDE【答案】47. （2013呼和浩特，15，3分）如图，在四边形ABCD 中，对角线 ACBD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD 的中点. 若AC =8，BD= 6，则四边形EFGH 的面积为 .【答案】128. （2013黑龙江龙东地区，3，3分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形【答案】AD=DC或ACBD等9.（2013武汉，16，3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 .【答案】-110. （2013遵义,16,4）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=9cm【答案】9三、解答题1. (2013昭通市，24，7分)如图15，在菱形ABCD中，AB = 2，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形.（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由. 图15【答案】（1）证明： 四边形ABCD是菱形， NDAM. NDE =MAE，DNE =AME. 点E是AD中点， DE = AE. NDE MAE， ND = MA. 四边形AMDN是平行四边形. （2） 1；理由如下： 四边形ABCD是菱形， AD = AB = 2. 若平行四边形AMDN是矩形，则DMAB， 即 DMA90. A60， ADM30. AMAD1.2. (2013昭通市，附加题4，14分)已知为等边三角形，点为直线上的一个动点（点不与重合），以为边作菱形 (按逆时针排列），使，连接CF. （1）如图4，当点D在边BC上时，求证：BD = CF， AC = CF + CD （2）如图5，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC = CF + CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由 （3）如图6，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，请补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系 图4 图5 图6【答案】（1）【证明】：, .又 . ABD AFC , . 由ABD AFC知, . 又在等边ABC中， （2）解：不成立，应该是CFACCD，理由为：如图，延长AC到H，使，连结BH，则 在ACD 与BCH中， ACD BCH. ABH与CAF中， ABHCAF， ， （3）解：当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形如下图6所示，此时AC、CF、CD之间存在的数量关系为（备注：连结CF，容易证明ABD AHC，又） 3. ( 2013黑龙江牡丹江，23，6分)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=，BC=4，向矩形ABCD外作CDE，使得CDE为等腰直角三角形，且点E不在边BC所在的直线上.请你画出图形，直接写出OE的长，并画出体现解法的辅助线.【答案】有以下两种图形： 图1 图2 OE= OE=64. （2013辽宁铁岭，20，12分）如图ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由.【答案】（1）点O为AB的中点，OE=OD，四边形AEBD是矩形AB=AC，AD是ABC的角平分线，ADBC四边形AEBD是矩形（2）当ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形ABC是等腰直角三角形，BAD=CAD=DBA=45BD=AD由（1）知四边形AEBD是矩形四边形AEBD是正方形5. （2013辽宁铁岭，25，12分）正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为 ；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论.（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系： .解：（1）互相垂直且相等（2）由（1）得EF=FG，且EFFG，又FQFP，FQ=FP，所以QFE=PFG所以FEQFGP,所以EQ=GP，在RtBGF中，FG=BG，所以BP=BG+GP=FG+QE=EF+QE（ 3）QE=BP+EF6.（2013沈阳，24，12分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.性质：如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD.应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O.（1） 求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2） 连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积.探究：在ABC中，A=30，AB=4, 点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，若ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积.CADBABCFOED图图【答案】(1)证明： 四边形ABCD为矩形，ADBC,EAO=BFO,又AOE=FOB,AE=BF，AOEFOB，EO=BO.AOB和AOE是“友好三角形”.（2）AOE和DOE是“友好三角形”，SAOE=SDOE，AE=ED=AD=3.AOB和AOE是“友好三角形”SAOB=SAOEAOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD-SABF=46-243=12.探究：2或.7. （2013贵州贵阳，20，10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC(1)求证：AE=EC；(5分)(2)当ABC=60，CEF=60时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由(5分)ABCDF【答案】【答案】(1) 证明：连接ACBD是菱形ABCD的对角线BD垂直平分ACAE=EC(2)点F是线段BC的中点.理由：ABCD是菱形AB=CB又ABC=60ABC是等边三角形BAC=60AE=ECEAC =ACECEF=60EAC =30AF是ABC的角平分线BF=CF点F是线段BC的中点.8. （2013福建厦门，23，6分）如图11，在正方形ABCD中，点G是边BC上的任意一点，DEAG，垂足为E，延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H，使得AGDEHG，连接BH.求证：ABHCDE.证明四边形ABCD是正方形，FAD90. DEAG，AED90. FAGEADADFEAD FAGADF. AGDEHG，AGAHHGDEAH 又ADAB， ADEABH AHBAED90. ADC90，BAHABHADFCDE ABHCDE. 9.（2013福建省三明市，21，10分）(本题潇分10分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PEPB(1)求证：BCPDCP；(4分)(2)求证：DPEABC；(4分)(3)把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变(如图)，若ABC58，则DPE 度(2分)BAA（第21题）CEDPBCEDP【答案】(1)证明：在正方形ABCD中， BCDC，BCPDCP45， PCPC， BCPDCP(2)证明：由(1)知BCPDCPCBPCDPPEPBCBPECDPE又121801CDP1802E即DPEDCEABCDDCEABCDPEABC(3)5810. （2013湖南岳阳，23，10分）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q（1） 求证：DP=DQ；（2） 如图，小明在图的基础上作的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明（3） 如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB:AP=3:4，请帮小明算出的面积【答案】11. (2013湖北鄂州，18，8分)如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点.(1)求证：ADEABF.(2)求AEF的面积. (1)证明： 四边形ABCD为正方形， AB=AD，B=D=90，DC=CB。 E、F为DC、BC中点， DE=DC，BF=BC， DE=BF， ADEABF；(2)由题知ABF、ADE、CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=4=2，CE=CF=4=2 SAEF=S正方形ABCD-SADE-SABF-SCEF=44-42-42-22=6。12. （2013江苏常州，23，7分）如图，在ABC中，AB=AC，B=60，FAC、ECA是ABC的两个外角，AD平分FAC，CD平分ECA。求证：四边形ABCD是菱形。 【答案】证明：AB=AC，B=60 ABC是正三角形 FAC120，AB=AC AD平分FACDAC=60同理可证：DCA=60ADC是正三角形AD=ACDCAB=BC= ADDC 四边形ABCD是菱形13. （2013广西桂林，21，8分）如图，在矩形ABCD中，E，F为上两点，且BE=CF，连接AF，DE交于点O求证：（1）ABFDCE；(2)AOD是等腰三角形ABCDFEO第21题图【答案】证明：(1) 在矩形ABCD中，B=C=900 ，AB=DCBE=CF，BF=CEABFDCE(SAS)(2) ABFDCE(SAS)，BAF=EDCDAF=900-BAF ，EDA=900-EDC，DAF=EDAAOD是等腰三角形14. （2013山东青岛，21，8分）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：ABMDCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当ADAB_时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）证明：（1）（2）（1） 证明：在矩形ABCD中，ABCD，AD90，又M是AD的中点，AMDM，ABMDCM（SAS）（2）四边形MENF是菱形证明：E、F、N分别是BM、CM、CB的中点，NFME，NFME，四边形MENF是平行四边形，由（1）得BMCM，MEMF，MENF是菱形（3）填21（理由见【解题思路】）15. （2013吉林长春，22，9分）探究：如图，在四边形ABCD中，BAD=BCD =90，AB=AD，AECD于点E，若AE=10，求四边形ABCD的面积如图，在四边形ABCD中，ABC+ADC =180，AB=AD，AEBC于点E，若AE=13，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为 图ABDCE 图ABDCE【答案】解：（1）过A点作AFCB于点F，则AFC=90AEDC于点E，C=90，AEC=AFC=C=90，四边形AECF是矩形EAF=90BAD =90，BAF=DAE，又AB=AD，AED=AFB=90，ADEABF（AAS），AE=AF，四边形AECF为正方形，而AE=10，S四边形ABCD=S正方形AECF=100ABDCEF（2）10416.(2013内蒙古赤峰，25，14分)如图，在RtABC中，B = 90，AC = 60cm，A = 60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D，E运动的时间是t秒(0 t 15)过点D作DFBC于点F，连接DE，EF(1)求证：AE = DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由ABCDEF【答案】解：(1)在DFC中，DFC = 90，C = 30，DC = 4t，DF = 2t，又AE = 2t，AE = DFABCDEF(2)能理由如下：ABBC，DFBC，AE / DF又AE = DF，四边形AEFD为平行四边形，AD = AC DC = 60 4t解得t = 10(秒)，当t = 10秒时四边形AEFD为菱形(3)当DEF = 90时，由(2)知EF / AD，ADE =DEF = 90，A = 60，AD = AEcos60 = t，又AD = 60 4t，即60 4t = t，解得t = 12秒当EDF = 90时，四边形EBFD为矩形，在RtAED中，A = 60，则ADE = 30，AD = 2AE，即60 4t = 4t，解得t =秒若EFD = 90，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在，所以当t =秒或12秒时，DEF为直角三角形17. （2013呼和浩特，23，9分）如图，在边长为 3 的正方形ABCD 中，点 E是BC边上的点，BE= 1，AEP= 90，且EP交正方形外角的平分线CP 于点P，交边CD于点F. (1)的值为 ； (2)求证：AE= EP；(3)在 AB 边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.【解】(1) 2分(2)证明：在BA边上截取 BK =BE，连接 KE. B= 90，BK=BEBKE= 45AKE= 135CP 平分外角DCP = 45ECP = 135AKE= ECPAB = BC , BK = BEAB - BK = BC- BE即：AK=EC易证 KAE=CEP在AKE和ECP 中，AKEECP(ASA) AE= EP 5分 (3)存在 . 6分作DMAE与AB 相交于点M则有：DM/EP，连接 ME，DP易证：ADMBAE. MD = AEAE= EP MD = EP四边形 DMEP 为平行四边形. 9分18. （2013黑龙江龙东地区，26，8分）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BPMN于点F（1）如图1，当O、B两点均位于直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE(不需证明) （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明【答案】解：图2结论：AFBF=2OE 图3结论：BFAF=2OE 对于图2证明： 过点B作BGOE交OE延长线于点G 则四边形EGBF是矩形BF=GE，EF=GB 四边形ABCD是正方形OAOB，AC=BDBGOG，OEMN1+2=901+3=902=3，OEA=OGB=90又正方形ABCDOA=OB=AC=BDAOEOBG AE=OG，OE=GB，OE=EF AFBF=2OE19.（2013四川达州，24，9分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。（1）思路梳理AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合。ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线。根据_，易证AFG_，得EF=BE+DF。（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45。若B、D都不是直角，则当B与D满足等量关系_互补_时，仍有EF=BE+DF。（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。 解：BD2+EC2=DE2【解】（1）SAS AFE (2) 结论B与D满足等量关系_互补_时，仍有EF=BE+DF如图，将ABE绕点A顺时针旋转，使AB与AD重合，得到ADE，则ABEADE，DAE=BAE，AE=AE，DE=BE，ADE=B， 又EAF=45E