2013挑战中考数学压轴题_(精选中考题训练).doc

2013挑战中考数学压轴题(精选中考题训练)第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1答案解：B（b，0），C（0，b4）；假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形. 设点P坐标（x，y），连接OP， 则S四边形PCOB=SPCO+SPOB=12b4x+12by=2b，x+4y=16. 过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E， PEO=EOD=ODP=90. 四边形PEOD是矩形. EPD=90.PBC是等腰直角三角形，PC=PB，BPC=90.EPC=BPD.PECPDB. PE=PD，即x=y.由x=yx+4y=16 ，解得：x=165y=165 .由PECPDB得EC=DB，即165-b4=b-165 ，解得b=128252符合题意.点P坐标为（165，165）.假设存在这样的点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似. QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO.要使得QOA和QAB相似，只能OAQ=QAB=90，即QAx轴.b2，ABOA. QOAQBA，QOA=AQB，此时OQB =90.由QAx轴知QAy轴，COQ=OQA.要使得QOA和OQC相似，只能OCQ=90或OQC=90.（）当OCQ=90时，QOAOQC. AQ=CO=b4 . 由AQ=AQ2=OAAB得：b42=b-1，解得：b=843. b2，b=8+43，b4=2+3. 点Q坐标为（1，2+3）.1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 (1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点(3)由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MAAC、MAMC、ACMC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解解：(1)将A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线yax2bxc中，得：，解得：抛物线的解析式：yx22x3(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：，解得：直线BC的函数关系式yx3；当x1时，y2，即P的坐标(1，2)(3)抛物线的解析式为：x1，设M(1，m)，已知A(1，0)、C(0，3)，则：MA2m24，MC2m26m10，AC210；若MAMC，则MA2MC2，得：m24m26m10，得：m1；若MAAC，则MA2AC2，得：m2410，得：m；若MCAC，则MC2AC2，得：m26m1010，得：m0，m6；当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M(1，)(1，)(1，1)(1，0)该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解例2 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1考点：二次函数综合题；分类讨论。解答：解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为（2，2）；（2）抛物线过原点O和点AB，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（22）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2），1.3 因动点产生的直角三角形问题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式图1 1.4 因动点产生的平行四边形问题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 图1 图21.5 因动点产生的梯形问题例2 2012年衢州市中考第24题如图1，把两个全等的RtAOB和RtCOD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线yax2bxc经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题。分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，解得a=，b=，抛物线解析式为y=x2+x（2）设点P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD，可得PN=P（t，），点M在抛物线上，M（t，t2+t）如解答图1，过M点作MGAB于G，过P点作PHAB于H，AG=yAyM=2（t2+t）=t2t+2，BH=PN=当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，t2t+2=，化简得3t28t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，点P的坐标为（，）存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形（3）如解答图2，AOB沿AC方向平移至AOB，AB交x轴于T，交OC于Q，AO交x轴于K，交OC于R求得过A、C的直线为yAC=x+3，可设点A的横坐标为a，则点A（a，a+3），易知OQTOCD，可得QT=，点Q的坐标为（a，）解法一：设AB与OC相交于点J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，=HT=2a，KT=AT=（3a），AQ=yAyQ=（a+3）=3aS四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQHT=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法二：过点R作RHx轴于H，则由ORHOCD，得 由RKHAOB，得 由，得KH=OH，OK=OH，KT=OTOK=aOH 由AKTAOB，得，则KT= 由，得=aOH，即OH=2a2，RH=a1，所以点R的坐标为R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SQOTSROK=OTQTOKRH=aa（1+a）（a1）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法三：AB=2，OB=1，tanOAB=tanOAB=，KT=ATtanOAB=（a+3）=a+，OK=OTKT=a（a+）=a，过点R作RHx轴于H，tanOAB=tanRKH=2，RH=2KH又tanOAB=tanROH=，2RH=OK+KH=a+RH，RH=a1，OH=2（a1），点R坐标R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQ（xQxR）=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为1.6 因动点产生的面积问题例 2 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D（1）求a、b及sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由图11.7因动点产生的相切问题例1 2012年河北省中考第25题如图1，A(5,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO45，CD/AB，CDA90点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP15时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值 图1解答：解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）1.8因动点产生的线段和差问题例2 2012年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l/AC交抛物线于点Q试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标图1第二部分 图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例3 2011年上海市中考第25题在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP