《线性系统理论和设计》习题1-6章习题答案.pdf

1 7 证明 det det det det det det det 1 111 A B AITAIT TAITATTIBIATTB BA 相似 与设 又因为特征值为特征方程 0 的根 故特征值也相同 1 11 解 可以参照课本 P18 的例题 1 12 1 3 2 1 3 2 1 300 020 1041 32111 AA 3 2 1 100 010 541 1 0 5 0 1 4 0 0 1 0 1 1 1 3211 QAQ QqqqqAI 由 4 2 1 1 2 1 1 4344 1 1 1 4321 2 4 A 12412 4 3 11 11 11 0 11 11 22 0 1 2 12 4 8 222 P IA qqq uIA q qu 对于 由 对于的特征值 其代数重数 由计算其对应的特征向量 计算出一个特征向量 即几何重数个数小于代数重数 即标准型中存在一个对应的约当块 约当块的阶数即的指数 可以利用 4443 4341234 1 44 18 1 682 001110 111121 441144 121211812 1 1 21 2 qIA qq qc qqQqqqq Q A Q 的式计算的广义特征向量由 取 1 12 证明 12n 222 112n n 1n 1n 1 12n 21n1 21n1 221nn1 n 3n 3 221n21n 2 2n 2n 2 221nn1 111 111 0 0 0 后一行减去前一行的 倍 n 2 21nn1 23n 2131n1 n 2n 2n 2 23n ji 1 i j n 111 同理 2 6 解 d 令 24231211 yxyxyxyx 则状态空间方程为 u m m k m k m k m k 0 0 1 0 0 2 0 1000 00 2 0010 1 22 11 x x xy 0100 0001 2 1 y y e 令yxyx 21 则状态空间方程为 u ee tt 1 010 2x x xy 01 2 7 解 c 非线性方程 2 12 21 u xx xx xy01 d 设 uxsxxu x s uxxsxx s x u 33 3 2 2 1 1221 21112 则状态空间方程可为 u 3 1 03 12 x x xy 01 另法 先求出传递函数 2 3 23 s G s ss 按 2 6 b 方法求解 2 9 解 s t x x kkk1k 3 7 解 由状态转移矩阵求系统矩阵 AtAt t 0 t 0 t 0 t 0 dd eAeA dtdt 为 因可得到 求得 100 0 211 a 0 44 b c 1 341 0 1 4 3 8 解 由初始状态的解分别确定系统矩阵 1212 x t t 0 0 x t x t t 0 x 0 x 0 x AtAt t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 dd eAeA dtdt 可以状态转阵 为 求出移矩 因可得到 22 22 3232 3232 22 22 132 77 54 77 02e2e2e2e t 0 13e e2e e 8221 0 742 e2eee t 0 2e 2e2e e tttt tttt tttt tttt tttt tttt aA eeee btA eeee c 01 23 A 3 9 解 0 0 2 2 0 0 0 0 11 cos4sin4sin4 24 1 5sin4cos4sin4 2 cos45sin4 18cos414sin4 t AtA t t AtA AtAtAt Att t x te xeBud e xe Btd e xe BexB ttt ee ttt tt x te tt 3 11 解 a 特征值为 1 2 3 它们对应的特征向量作为列 构成模态矩阵 1 111 111 222 543 421 632931 222 QQ b 1 121 3 1 2 3 t AtAtt t AQ AQ e eQe QQeQ e 23 102030102030102030 1 1 2 1232 3 3 23 101202303 111 11 5 42 4 93 3 22 63 0 0 0 ttt AtAt t t t ttt xxxexxxexxxe x te xQe Q x ep qqqepx ep p x e qp x eqp x eq 2 c 0 23 102030102030102030 0 0 1 2 11 5931 4 423 3 3 2222 32 3 t AtA tAt ttt x te xeBdexB xxxexxxexxxe 23 102030102030102030 11 423 936 22 ttt y txxxexxxexxxe 3 12 解 a 特征值 1 3 j b 1232 11 q1q3qq 186 j j 61 55 1 61 55 72 55 1 1102 131 1 186 1 100 AQ031 013 QQ Q 修正态阵 变换统阵 后的模矩 后的系矩 c 求零输入状态响应 1At1 At1331 000 33 A Qe Qe 00 eQeQ0cossin 0sincos t t ttt tt QQ e x txQ xetet Q x etet 3 13 解 1 1 2 1 31 22 4s2 1 sIA 31 ss3s2 21 Adet2A 2 2 12 32 2 414 939 1 712 27927 111 939 s1239212 1 sIA 7s2342 s 2s 12s27 2339s3 Adet27 sss sss sss A 3 14 解 11 1 1 0 x ssIAxsIABu s x tLx sy tCx t G sC sIAB a ttttt ttttt ttttt ee tAt sin21sin4cos22sin2cos22 sincos1sincos32cos22 cos1sincos22sincos2 731 222 2cossin 1 2cos2sin 1 23cossin ttt ttt ttt eetet x teetet eetet 311 222 44cos3sin cossin ttt tt eetet y t etet 2 3232 22 282 342342 321 2222 sss ssssss s ssss G s b t ttttttt ttttttt At e eeeeeee eeeeeee e 5 6526262 6526262 00 5 3 16 3 1 4 5 4 1 8 5 8 5 2 3 8 3 2 2 1 2 1 4 1 4 5 652 53221 153153 652 256411 156156 5 14 55 ttt ttt t eee x teee e 652 5141 3333 y t ttt eee 2 32 s8s20 G s s 13s52s60 6 1 考察受电流源激励的 LC 并联电路 L 1H C 1F 以并联电路两端电压为输出 该电路 是 BIBO 稳定电路吗 若否 求激励出无界输出的输入信号 解 如图示 2 1 1 1 s y su su s s Cs Ls 故 2 1 s g s s i sj 系统非 BIBO 稳定 可令 sin u tt 22 1 s y sg s u s s 则 1 sin 2 y ttt 6 2 若系统的冲激响应函数 1 1 g tt 系统是 BIBO 稳定系统 解 0 00 1 ln 1 1 g t dtdtt t 故非 BIBO 稳定 6 3 若系统传递函数 1 s g ses 系统是 BIBO 稳定系统 解 11 t g tLg se 1 00 t g t dtedte 故 BIBO 稳定 注意 系统传递函数为无理的 不能用书上定理 6 5 6 5 解 1 1 1 12 121 1 2 1 2 11 1000 121 0010 0101 0 0001 s s ss G sC sIABs s s G s 为矩阵时 BIBO 稳定要求矩阵的每个元素具有负实部 故 12 Re 0 2 由于 1 为最