1.不等式的基本性质 (5).pptx

第一讲不等式和绝对值不等式 必修4 5不等式选讲 第一节 不等式的基本性质 观察 最低限速60km 最低限50km h v 50km h 最高限速120km 小汽车限速范围60km v 120km h 横看成岭侧成峰远近高低各不同 雷声大 雨点小 捡了芝麻 丢了西瓜 道高一尺 魔高一丈 三个臭皮匠 抵过一个诸葛亮 你能发现下列成语 谚语中反映的不等关系吗 我们生活中的到处都有不等关系 说一说 在数学中我们如何表示不等关系 我们用数学符号 连接两个数或代数式 以表示它们之间的不等关系 含有这些不等号的式子叫做不等式 什么是不等式 思考 观察以下四个不等式 a 2 a 1 1 a 3 3a 2 3x 1 2x 6 3 x a 4 同向不等式 在两个不等式中 如果每一个的左边都大于右边 或每一个的左边都小于右边 不等号的方向相同 异向不等式 在两个不等式中 如果一个不等式的左边大于右边 而另一个的左边小于右边 不等号的方向相反 同解不等式 形式不同但解相同的不等式 其它重要概念 绝对不等式 绝对值不等式 条件不等式 矛盾不等式 一 情景导入 现实世界中的量 不等是普遍的 绝对的 而相等则是局部的 相对的 自来水管的直截面为什么做成圆的 而不做成方的呢 为什么糖水加糖甜更甜呢 二 合作探究 研究不等式的出发点是实数的大小关系 数轴上的点与实数一一对应 因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小 1 实数在数轴上的性质 设a b是两个实数 它们在数轴上所对应的点分别是A B 那么 当点A在点B的左边时 ab 1 实数在数轴上的性质 设a b是两个实数 它们在数轴上所对应的点分别是A B 那么 当点A在点B的左边时 ab 用数学式子表示为 关于a b的大小关系 有以下基本事实 如果a b 那么a b是正数 如果a b 那么a b等于零 如果a b 那么a b是负数 反过来也对 上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序 而右边部分则是实数的运算性质 合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小 而且是推导不等式的性质 不等式的证明 解不等式的主要依据 思考 从上述事实出发 你认为可以用什么方法比较两个实数的大小 要比较两个实数a与b的大小 可以转化为比较它们的差a b与0的大小 在这里 0为实数比较大小提供了 标杆 要比较两个实数a与b的大小 可以转化为比较它们的差a b与0的大小 在这里 0为实数比较大小提供了 标杆 判断两个实数a b的大小 归结为判断它们的差a b的符号 至于差本身是多少 在此无关紧要 为了判定差式的符号 常常要对差式进行因式分解 配方 通分 再利用平方式 绝对值 立方因子a2 ab b2均为非负的性质来判断 这是本章的基础 是证明不等式与解不等式的重要依据 说明 例1 比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6 的大小 解 x 3 x 7 x 4 x 6 x2 10 x 21 x2 10 x 24 3 0 x 3 x 7 x 4 x 6 注意 书写格式和步骤 试比较2x4 1和2x3 x2的大小 解 练习 2x4 1 2x3 x2 2x4 1 2x3 x2 2x4 2x3 x2 1 2x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x3 x 1 x 1 2x3 2x2 2x2 2x x 1 x 1 2 2x2 2x 1 x 1 2 2 x 1 2 2 1 2 x R 2 x 1 2 2 1 2 0 若x 1那么 x 1 2 0则2x4 1 2x3 x2 若x 1那么 x 1 2 0则2x4 1 2x3 x2 试比较2x4 1和2x3 x2的大小 解 练习 2x4 1 2x3 x2 x 1 2x3 x 1 x 1 2x3 2x2 2x2 2x x 1 x 1 2 2x2 2x 1 x 1 2 2 x 1 2 2 1 2 x R 2 x 1 2 2 1 2 0 若x 1那么 x 1 2 0则2x4 1 2x3 x2 若x 1那么 x 1 2 0则2x4 1 2x3 x2 综上所述 若x 1时2x4 1 2x3 x2 若x 1时2x4 1 2x3 x2 本题中的技能 分组组合 添项 拆项 配方法 求差比较大小的一般步骤 作差 变形 定号 下结论 常见的变形方法是 因式分解 配方 通分 有理化法等 变形的结果是常数 若干个因式的积或完全平方式等 2 不等式的基本性质 思考 类比等式的基本性质 不等式有哪些基本性质呢 类比等式的基本性质 不等式有哪些基本性质呢 性质1 如果a b 那么bb 即 性质2 如果a b b c 那么a c 即 性质3 如果a b 那么a c b c 即 传递性 对称性 同向可加性 推论 如果a b c d 那么a c b d 加法法则 P 4 性质1 如果a b 那么bb 即 性质2 如果a b b c 那么a c 即 性质3 如果a b 那么a c b c 即 性质4 如果a b c 0 那么ac bc 如果a b c 0 那么ac bc 即 传递性 对称性 同向可加性 可乘性 2 不等式的基本性质 推论 如果a b c d 那么a c b d 加法法则 P 4 推论 如果a b 0 c d 0 那么ac bd 性质5 如果a b 0 那么an bn n N n 2 性质6 如果a b 0 那么 n N n 2 乘法法则 乘方法则 开方法则 P 4 思考 上述结论是用类比的方法得到的 它们一定是正确的吗 你能够给出它们的证明吗 证明 性质1 如果a b 那么bb 即 对称性 a b 同理可证 a b 0 a b 0 b a 0 b a 性质2 如果a b b c 那么a c 即 传递性 性质4 如果a b c 0 那么ac bc 如果a b c 0 那么ac bc 即 可乘性 推论 如果a b 0 c d 0 那么ac bd 乘法法则 P 4 证明 性质6 如果a b 0 那么 n N n 2 开方法则 反证法 假设 n N n 2 则由性质5得 这与已知条件a b矛盾 假设不成立 n N n 2 1 注意公式成立的条件 要特别注意 符号问题 2 要会用自然语言描述上述基本性质 3 上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础 注意 练习 1 已知 求证 2 在三角形ABC中 求A B的取值范围 例2 已知a b 0 c d 0 求证 证明 注意 证明不等式时要依据不等式的性质进行 不能自己 制造 性质来做 P 4 例3 则A B C D的大小关系是 A A B C D B D A B C C D B A C D B D A C 解 本题采用了赋值法 使问题得以简化 明朗