教育统计与测量 统计文档.doc

相关系数的显著性检验检验形式：双侧检验统计量为t，检验计算公式为：例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩之间存在显著相关?解：提出假设H0：=0，H1： 0选择检验统计量并计算对积差相关系数进行=0的显著性检验，检验统计量为t计 算统计决断根据df=10-2=8，查t值表P，得t(8)0.01=3.355，|t|t(8)0.01,则0.01，差异极其显著应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究假设结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在极其显著的相关。另一种方法：查积差相关系数临界值表根据df=8，查附表7，从=0.01一列中找到对应的积差相关系数临界值为0.765。计算得到的r=0.780，大于表中查到的临界值。因此应接受该相关关系极其显著的结论，而拒绝相关关系不显著的零假设。H0：0条件下，相关系数的显著性检验0时，r的抽样分布呈偏态，不能用上述公式计算。因此可先将r与都转换成Zr，因为Zr的分布无论的大小都近似于正态分布，于是不受0这一条件的限制。3平均数显著性检验的几种情形总体为正态，总体标准差已知平均数的抽样分布服从正态分布，以为检验统计量，其计算公式为：例：某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分数为66分，标准差为11.7。现以同样的试题测验应届毕业生（假定应届与历届毕业生条件基本相同），并从中随机抽18份试卷，算得平均分为69分，问该校应届与历届毕业生汉语拼音测验成绩是否一样？检验步骤. 提出假设H0：0， H1：0或 H0：66， H1：66.选择检验统计量并计算统计量的值学生汉语拼音成绩可以假定是从正态总体中抽出的随机样本。总体标准差已知，样本统计量的抽样分布服从正态，以Z为检验统计量计算.确定显著性水平和检验形式显著性水平为=0.05，双侧检验.做出统计结论查表得Z=1.96，而计算得到的Z=1.09|Z|，则概率P0.05 差异不显著,应在0.05显著性水平接受零假设结论:该校应届毕业生与历届毕业生汉语拼音测验成绩一致，没有显著差异。-3.94例2：某市高中入学考试数学平均分数为68分，标准差为8.6。其中某所中学参加此次考试的46名学生的平均分数为63。过去的资料表明，该校数学成绩低于全市平均水平，问此次考试该校数学平均分数是否仍显著低于全市的平均分数？总体为正态，总体标准差未知，样本容量小于30平均数的抽样分布服从t分布，以t为检验统计量，计算公式为：t2.266例：某区初三英语统一测验平均分数为65，该区某校20份试卷的平均分数为69.8，标准差为9.234。问该校初三年级英语平均分数与全区是否一样？t3.365例：某校上一届初一学生自学能力平均分数为38，这一届初一24个学生自学能力平均分数为42，标准差为5.7，假定这一届初一学生的学习条件与上一届相同，试问这一届初一学生的自学能力是否高于上一届？总体标准差未知，样本容量大于30平均数的抽样分布服从t分布，但由于样本容量较大，平均数的抽样分布接近于正态分布，因此可以用Z代替t近似处理，计算公式为：-2.11例5：某年高考某市数学平均分数为60，现从参加此次考试的文科学生中，随机抽取94份试卷，算得平均分数为58，标准差为9.2，问文科学生的数学成绩与全市考生是否相同？总体非正态，小样本不能对总体平均数进行显著性检验。两样本相关的判断两个样本的数据之间存在着一一对应的关系时，称两样本为相关样本。常见的情形主要包括三种：一是同一组被试在前后两次在同一类测验上的结果；二是同一组被试分别接受两种不同实验的测验结果；三是按条件相同的原则选择的配对实验结果。例1:某幼儿园在儿童入园时对49名儿童进行了比奈智力测验(=16)，结果平均智商为106。一年后再对同组被试施测，结果平均智商分数为110。已知两次测验结果的相关系数为r=0.74，问能否说随着年龄的增长和一年的教育，儿童智商有了显著提高？解题过程提出假设：H0:1=0 H1: 1 0选择检验统计量并计算正常儿童的智力测验结果，可以认为是从正态总体中随机抽出的样本。总体标准差已知，而同一组被试前后两次的测验成绩，属于相关样本。因此平均数之差的抽样分布服从正态分布，应选用作检验统计量，并选择相关样本、总体标准差已知的计算公式。提示：1216确定显著性水平 显著性水平为=0.05 做出统计结论单侧检验时0.05=1.65，0.01=2.33 而计算得到的=1.710.05 |Z|0.0，则概率0.05P0.01差异显著,应在0.05显著性水平接受备择假设结论:可以说随着年龄的增长和一年的教育，儿童智商有了显著提高。例：为了揭示小学二年级的两种识字教学法是否有显著性差异，根据学生的智力水平、努力程度、识字量多少、家庭辅导力量等条件基本相同的原则，选择了10对学生，然后把每对学生随机地分入实验组和对照组。实验组施以分散识字教学法，而对照组施以集中识字教学法。后期统一测验结果实验组平均成绩为79.5，标准差为9.124；对照组平均成绩为71.0，标准差为9.940，两个组成绩的相关系数为0.704。问两种识字教学法的教学效果是否有显著差异？解题过程：1提出假设H0:1=2 H1: 12 2选择检验统计量并计算两种识字教学法的测验得分假定是从两个正态总体中随机抽出的样本,它们差数的总体也呈正态分布。两总体标准差未知，因此平均数之差的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量。两样本为配对实验结果，属于相关样本，已计算出相关系数，因此选公式（11.5）计算。还可计算为例3：从高二年级随机抽取两个小组，在化学教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统讲授法教学。后期统一测试，结果为：实验组10人平均成绩为59.9,标准差为6.640；对照组9人平均成绩为50.3，标准差为7.272。问两种教学方法是否有显著性差异？（根据已有的经验，启发探究法优于传统讲授法）解题过程：1提出假设 H0:12 H1: 12 2选择检验统计量并计算两组化学测验分数假定是从两个正态总体中随机抽出的独立样本, 两总体标准差未知，经方差齐性检验两总体方差齐性，两样本容量小于30。因此平均数之差的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量，选用公式（11.7）计算。3两总体非正态，n1和n2大于30（或50）总体标准差未知条件下，平均数之差的抽样分布服从t分布，但样本容量较大，t分布接近于正态分布，可以以近似处理，因此以Z作为检验统计量，计算公式为： 例4：32人的射击小组经过三天集中训练,训练后与训练前测验数分别为:训练前平均成绩为44.156，标准差为13.650；训练后平均成绩为46.594，标准差为13.795。两组成绩相关系数为0.884,问三天集中训练有无显著效果？（根据过去的资料得知，三天集中射击训练有显著效果）解题过程：1提出假设 H0:12 H1: 12 2选择检验统计量并计算训练前后的射击成绩假定是从两个正态总体中随机抽出的相关样本, 两总体标准差未知，平均数之差的抽样分布服从t分布，但两样本容量大于30，因此可以代替t为近似处理，选用公式（11.9）计算。4总体非正态，小样本不能对平均数差异进行显著性检验。例1：从高二年级随机抽取两个小组，在化学教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统讲授法教学。后期统一测试，结果为：实验组10人平均成绩为59.9,标准差为6.640；对照组9人平均成绩为50.3，标准差为7.272。问两种教学方法是否有显著性差异？（根据已有的经验，启发探究法优于传统讲授法）解题过程：1提出假设 H0:12 H1: 12 2选择检验统计量并计算两组化学测验分数假定是从两个正态总体中随机抽出的独立样本, 两总体标准差未知，经方差齐性检验两总体方差齐性，两样本容量小于30。因此平均数之差的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量，选用公式（11.7）计算。计算 对本题做方差齐性检验根据分子自由度df1n11918，分母的自由度df2n211019，查附表，得F(8，9)0.054.10。由于实际计算的F1.214.10，由P0.05，应保留H0而拒绝H1。结论：启发探究法与传统讲授法两种测验分数的总体方差为齐性，或者说，两个样本方差来自同一个总体。例1：研究人员采用四种不同的心理治疗方案，对每个志愿参加治疗的患者进行心理治疗。他们用录音机记录了每个被试在一段时间中所讲的词数。由于录音的困难每种方案记录的人数各不相同，原始数据见表13-4。问这几种方案是否有差异？如有差异，表现在哪几组之间？计算表 方差分析表 进一步做平均数的多重比较计算每对平均数之差的q值将各平均数排序并计算各等级差数顺序 1 2 3 4 变量名 X3 X1 X2 X4平均数 41.67 51.33 56.86 75.5查表,求出 q 临界值将各对数据的q值与临界值比较，作出判断并列表呈现比较结果2检验的计算例1：随机抽取60名学生，询问他们在高中是否需要文理分科，赞成分科的39人，反对分科的21人，问他们对分科的意见是否有显著差异？解：1.提出假设H0：学生对分科的意见没有显著差异H1：学生对分科的意见有显著差异2.选择检验统计量并计算对点计数据进行差异检验,可选择2检验3.统计决断查2值表，当 df =1 时例2：大学某系54位老年教师中，健康状况属于好的有15人，中等的有23人，差的有16人。问该校老年教师健康状况好、中、差的人数比例是否为1：2：1？1.提出假设H0：健康状况好、中、差的人数比例是1：2：1H1：健康状况好、中、差的人数比例不是1：2：1例3：历年优秀学生干部中男女比例为2：8，今年优秀学生干部中有3个男生，7个女生。问今年优秀学生干部的性别比例与往年是否有显著差异？1.提出假设H0：今年优秀学生干部的性别比例与往年没有显著差异H1：今年优秀学生干部的性别比例与往年有显著差异二双向表2检验的计算1理论频数的计算双向表2检验中，理论频数的计算公式为例1：家庭经济状况属于上、中、下的高三毕业生，对于是否愿意报考师范大学有三种不同的态度（愿意、不愿意、未定），其人数分布如表16-1。问学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况是否有关系？不同家庭经济状况学生报考师范大学的不同态度解题过程解：1.提出假设H0：学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况无关H1：学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况有关2.选择检验统计量并计算对点计数据进行差异检验,可选择2检验 理论频数计算计算理论频数允许有小数，因为2分布已被作为连续型的分布看待。3.统计决断双向表的自由度: df=(r -1)(c -1)查2值表，当 df =(3-1)(3-1)=4 时双向表的2值除用理论频数方法计算外，还可以用下式由实际频数直接求得：公式中，foi 表示双向表中每格的实际频数将例1数据用公式（16.2）计算=10.48双向表的独立性2检验和同质性2检验只是检验的意义不同而方法完全相同。对于同一组数据所进行的2检验，有时既可以理解为独立性2检验，又可以理解为同质性检验，两者无根本区别。 假设检验的基本原理 利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。1假设假设检验一般有两互相对立的假设。H0：零假设，或称原假设、虚无假设（null hypothesis）、解消假设；是要检验的对象之间没有差异的假设。H1：备择假设（alternative hypothesis），或称研究假设、对立假设；是与零假设相对立的假设，即存在差异的假设。进行假设检验时，一般是从零假设出发，以样本与总体无差异的条件计算统计量的值，并分析计算结果在抽样分布上的概率，根据相应的概率判断应接受零假设、拒绝研究假设还是拒绝零假设、接受研究假设。2小概率事件样本统计量的值在其抽样分布上出现的概率小于或等于事先规定的水平，这时就认为小概率事件发生了。把出现概率很小的随机事件称为小概率事件。当概率足够小时，可以作为从实际可能性上，把零假设加以否定的理由。因为根据这个原理认为：在随机抽样的条件下，一次实验竟然抽到与总体参数值有这么大差异的样本，可能性是极小的，实际中是罕见的，几乎是不可能的。3显著性水平统计学中把拒绝零假设的概率称为显著性水平，用表示。显著性水平也是进行统计推断时，可能犯错误的概率。常用的显著性水平有两个：0.05 和 0.01。 在抽样分布曲线上，显著性水平既可以放在曲线的一端（单侧检验），也可以分在曲线的两端（双侧检验）。4假设检验中的两类错误及其控制对于总体参数的假设检验，有可能犯两种类型的错误，即错误和错误。为了将两种错误同时控制在相对最小的程度，研究者往往通过选择适当的显著性水平而对错误进行控制