2020届市六校高三上学期期末考试数学（理）试题试卷—附答案

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 学校 学校 班级 班级 年级年级 班班 姓名 姓名 考号 考号 请 不 要 在 密 封 线 内 答 题 2019 2020 学年第一学期期学年第一学期期末末考试考试 高三高三数学 理科 数学 理科 试题试题 考试时间 考试时间 120 分钟分钟 满分 满分 150 分分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 复数 10i 1 2i A 42i B 42i C 24i D 24i 2 已知集合 3125 RxxxA 0 8 ZxxxxB 则AB A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 1 2 3 已知平面向量 a b满足 3aa b 且2 1ab 则向量a与b的夹角为 A 6 B 3 C 3 D 6 4 已知数列 n a的前n项和为 n S 且21 nn SanN 则 5 a A 16 B 16 C 31 D 32 5 已知平面 直线 a b l 且 ab 则 la 且lb 是 l 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 曲线 2 x ax y在点 1 a 处的切线方程为02 byx 则 A 1 1 ba B 1 1 ba C 3 1 ba D 2 1 ba 7 已知命题 1 p Rx 函数 3 2sin xxf的图像关于直线 3 x对称 2 p R 函数 sin xxf的图像关于原点对称 则在命题 1 q 12 pp 2 q 12 pp 3 q 21 pp 和 4 q 21 pp 中 真命题是 A 1 q 3 q B 2 q 3 q C 1 q 4 q D 2 q 4 q 8 已知函数 f x 2sin x 其中 0 2 的相邻两条对称轴之间的距离为 2 f 0 3 则 A 6 2 1 B 3 2 1 C 6 2 D 3 2 9 设 n S为等差数列 n a的前n项和 若 1 1a 公差2d 36 2 kk SS 则k A 8 B 7 C 6 D 5 10 已知函数 f x x2 bx 的图象在点 A 1 f 1 处的切线l与直线 3x y 2 0 平行 若数列 1 nf 的前 n 项和为 Sn 则 S2009的值为 A 2008 2007 B 2010 2009 C 2009 2008 D 2011 2010 11 已知双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两条渐近线均和圆C 22 650 xyx 相切 则该双曲 线离心率等于 A 5 53 B 2 6 C 2 3 D 5 5 12 若函数 y f x x R 满足 f x 2 f x 且 x 1 1 时 f x 1 x2 函数 g x 0 1 0 lg x xx 则函数 h x f x g x 在区间 5 10 内零点的个数为 A 12 B 14 C 13 D 8 第第二部分二部分 非选择题 非选择题 共共 90 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡上 13 已知向量a sin 2 与向量b cos 1 互相平行 则 tan2 的值为 14 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 15 执行如图所示的程序框图 若输入k的值是4 则输出S的值是 16 设xxnd 23 2 1 2 则 2 nx x 展开式中含 2 x项的系数是 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 请 不 要 在 密 封 线 内 答 题 14 题图 15 题图 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 把答案答在答题 卡上 17 本小题 10 分 已知向量m sin2x cosx n 3 2cosx x R f x 1 nm 1 求 f x 的单调递增区间 2 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c f A 2 a 3 B 4 求 b 的值 18 本小题 12 分 某次有 1000 人参加的数学摸底考试 其成绩的频率分布直方图如图所示 规定 85 分及其以上为优秀 下表是这次考试成绩的频数分布表 求正整数 a b 的值 区间 75 80 80 85 85 90 90 95 95 100 人数 50 a 350 300 b II 现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成绩进行分析 求其中成绩为优秀的学生 人数 在 II 中抽取的 40 名学生中 要随机选取 2 名学生参 加座谈会 记 其中成绩为优秀的人数 为 X 求 X 的 分布列与数学期望 19 本小题 12 分 如图 四棱锥ABCDP 的底面为矩形 PA是四棱锥的高 PB与DC所成角 为 45 F是PB的中点 E是BC上的动点 证明 PEAF 若ABBEBC322 求直线AP与平面 PDE所成角的大小 20 本小题 12 分 设函数 2 e 1 ax f xa x R 当1a 时 求曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程 求函数 xf单调区间 21 本小题 12 分 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 Sn 2 an n 1 2 3 若数列 bn 满足 b1 1 且 bn 1 bn an 求数列 bn 的通项公式 设 cn n 3 bn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 22 本小题 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的两个焦点分别为 1 2 0 F 2 2 0 F 点 1 0 M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 求椭圆C的方程 已知点N的坐标为 3 2 点P的坐标为 3 m n m 过点M任作直线l与椭圆 C相交于A B两点 设直线AN NP BN的斜率分别为 1 k 2 k 3 k 若 132 2kkk 试求 m n满足的关系式 85 80 90 100 95 O 频率 组距 分数 75 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 2 1 1 3 3 正视图 侧视图 俯视图 2 1 开始 输入 k S 0 i 1 1 1 SS i i i i 1 ik 输出 S 结束 是 否 高三理科数学高三理科数学期末试卷答案期末试卷答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A D C B B B A D A B A B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 1313 3 4 1414 2 3 15 15 3 4 1616 4040 17 18 解 依题意 0 04 5 1000200 0 02 5 1000100ab 2 分 设其中成绩为优秀的学生人数为 x 则 350300 100 401000 x 解得 x 30 即其中成绩为优秀的学生人数为 30 名 5 分 依题意 X的取值为 0 1 2 2 10 2 40 3 0 52 C P X C 11 1030 2 40 5 1 13 C C P X C 2 30 2 40 29 2 52 C P X C 9 分 所以 X的分布列为 X 0 1 2 P 3 52 5 13 29 52 35293 012 5213522 EX 所以 X 的数学期望为 3 2 12 分 19 综上所解 建立如图所示空间直角坐标系 设2 ABAP aBE 则 000A 110200020FPB 02aE 于是 2 2 aPE 1 1 0 AF 则0 AFPE 所以AFPE 6 分 若ABBEBC322 则 0 0 34 D 2 0 34 PD 2 2 32 PE 设平面PDE的法向量为 zyxn 由 0 0 PEn PDn 得 02232 0234 zyx zx 令1 x 则3 32 yz 于是 32 3 1 n 而 2 0 0 AP 设AP与平面PDE所成角为 所以 2 3 sin APn APn 所以AP与平面PDE所成角 为 60 12 分 20 解 因为 2 e 1 ax f x x 所以 2 22 e 2 1 ax axxa fx x 当1a 时 2 e 1 x f x x 2 22 e 21 1 x xx fx x 所以 0 1 f 0 1 f 所以曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程为10 xy 5 分 因为 2 2 2222 e 2 e 2 1 1 axax axxa fxaxxa xx 7 分 1 当0a 时 由 0fx 得0 x 由 0fx 得0 x 所以函数 f x在区间 0 单调递增 在区间 0 单调递减 2 当0a 时 设 2 2g xaxxa 方程 2 20g xaxxa 的判别式 2 444 1 1 aaa 当01a 时 此时0 由 0fx 得 2 11a x a 或 2 11a x a 由 0fx 得 22 1111aa x aa 所以函数 f x单调递增区间是 2 11 a a 和 2 11 a a 单调递减区间 22 1111 aa aa 9 分 当1a 时 此时0 所以 0fx 所以函数 f x单调递增区间是 10 分 当10a 时 此时0 由 0fx 得 22 1111aa x aa 由 0fx 得 2 11a x a 或 2 11a x a 所以当10a 时 函数 f x单调递减区间是 2 11 a a 和 2 11 a a 单调递增区间 22 1111 aa aa 12 分 当1a 时 此时0 0fx 所以函数 f x单调递减区间是 21 22 解 依题意 2c 1b 所以 22 3abc 故椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y 5 分 当直线l的斜率不存在时 由 2 2 1 1 3 x x y 解得 6 1 3 xy 不妨设 6 1 3 A 6 1 3 B 因为 13 66 22 33 2 22 kk 又 132 2kkk 所以 2 1k 所以 m n的关系式为 2 1 3 n m 即10m n 8 分 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为 1 yk x 将 1 yk x 代入 2 2 1 3 x y 整理化简得 2222 31 6330kxk xk 设 11 A x y 22 B xy 则 2 12 2 6 31 k xx k 2 12 2 33 31 k x x k 9 分 又 11 1 yk x 22 1 yk x 所以 121221 13 1212 22 2 3