1.1正弦定理 (2).pptx

太和一中刘晓坤 1 1正弦定理 第二章解三角形 高中数学必修5 太和一中刘晓坤 知识链接 问题1 在一个三角形中 有几个角 有几条边 三角形中的边角关系 问题2 在一个三角形中 三个内角有怎样的数量关系 三条边有怎样的数量关系 问题3 在一个三角形中 边与角有怎样的数量关系 答案 三个角 三条边 答案 三个内角和等于180 三条边满足 任意两边之和大于第三边 任意两边只差小于第三边 答案 大边对大角 小角对小边 新知探究 一 正弦定理 问题1 在直角三角形中 你能根据锐角的三角函数值 找到边角的等式关系吗 答 如图 在Rt ABC中 设BC a AC b AB c 则由三角函数的定义得 由上易得c sinA sinB sinC 1 sinA sinB sinC 自主探究 对定理的证明 教材用 方法证明了直角三角形和锐钝三角形的情况 为证明任意三角形中的正弦定理 还需要证明 三角形的情况 二 深层探究 2 问题与思考 你能用其他方法证明这一关系式么 等高法 锐角三角形 自主探究 三 拓展探究 1 你能用外接圆法证明正弦定理吗 证明 当 是直角三角形时 作它的外接圆O 则AB是圆O的直径 如图 并设其半径为R 由圆的性质知易得 sin sin sin 2 自主探究 三 拓展探究 当 为锐角三角形时 作ABC的外接圆O 如图 并设其半径为R 过点A作圆O的直径AD 连接CD 如图 则由圆的性质易得 ABC ADC AC DC 同理 sin 2 csinC 2 sin ABC sin ADC 又在Rt 中 sin ADC ACAD 2R sin ABC 2R 即在 中 sin 2 在锐角 中 sin sin sin 2R 自主探究 三 拓展探究 当 为钝角三角形时 作 的外接圆O 并设其半径为R 过点B作圆O的直径BD 连接CD 如图 由四边形及圆的性质易得A 180 sin sin 180 sin 2 在钝角 中 sin sin sin 2R成立 综上所述 对任意 都有 sin sin sin 2R 自主探究 1 正弦定理 3 解三角形 一 要点识记 2 三角形的元素 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 2R 一般地 把三角形的三个角A B C和它们的对边a b c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形 R为三角形外接圆半径 自主探究 3 正弦定理可以解决哪几种三角形问题 二 深层探究 4 正弦定理有哪些变形 答 1 已知两角及任一边 2 已知两边及一对角 变式2 sinA 2 sinB 2 sinC 2 变式1 化边为角 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 变式3 a b c sinA sinB sinC 化角为边 典例突破 两角任一边 例1 已知 中 AB 6 A 30 B 120 解此三角形 解析 A 30 B 120 C 180 30 120 30 由正弦定理得AC sin sin 6sin120 sin30 63 BC sin sin 6sin30 sin30 6 C 30 AC 63 BC 6 典例突破 两角任一边 变式1 在 中 已知B 45 C 60 a 12cm 解此三角形 解析 B 45 C 60 A 180 45 60 75 由正弦定理得 sin sin 12sin45 sin75 123 12 sin sin 12sin60 sin75 182 66 A 75 123 12 182 66 典例突破 二 两边一对角 型三角形 例2 已知 中 2 2 30 解此三角形 解析 由正弦定理得sinB sin 2sin302 22 A 30 180 B 45 或B 135 1 当B 45 时 C 180 105 sin sin 2sin105 sin30 3 1 典例突破 二 两边一对角 型三角形 2 当B 135 时 C 180 15 sin sin 2sin15 sin30 3 1 B 45 C 105 3 1或B 135 C 15 3 1 解题反思 解两边一对角的三角形时 如何对所求的角进行取舍 答 根据三角形的性质 大边对大角 或 三角形内角和等于180 典例突破 二 两边一对角 型三角形 变式1 在 中 43 42 A 60 求角 解析 由正弦定理得43sin60 42sin 解得sin 22 45 或 135 45 典例突破 两边一对角 变式2 在 中 若3 2 sinA 则 答案 B 60 或B 120 解析 由正弦定理得3sinA 2sin sinA sinA 0 sinB 32又B 0 B 60 或B 120 典例突破 四 判断三角形形状 例4 在 ABC中 已知 2tan 2tan 试判断 ABC的形状 解析 由 2tan 2tan 得 2sin cosB 2sin cosA 再由正弦定理 2 sin 2 sin 得4 2sin2 sin cosB 4 2sin2 sin cosA 化简整理得sin2 sin2 2 2 或2 2 即 或