第3讲+2第一章+电磁场的基本理论.ppt

导波场论 第一章电磁场的基本理论第二章规则波导理论第三章谐振腔理论第四章微扰理论与变分理论第五章不均匀波导第六章慢波系统的一般特性 导波场论 引言 导波场论 第一章电磁场的基本理论矢量分析1 1麦克斯韦方程1 2电磁场的边界条件1 3电磁场的能流定理1 4洛仑兹引理1 5亥姆赫兹定理 内容1 1矢量代数1 2三种常用的正交坐标系1 3标量场的梯度1 4矢量场的通量与散度1 5矢量场的环流和旋度1 6无旋场与无散场1 7拉普拉斯运算与格林定理1 8亥姆霍兹定理 2 标量乘矢量 3 矢量的标积 点积 矢量的标积符合交换律 4 矢量的矢积 叉积 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 若 则 若 则 5 矢量的混合运算 分配律 分配律 标量三重积 矢量三重积 1 2三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中 三种常用的正交曲线坐标系为 直角坐标系 圆柱坐标系和球坐标系 1 直角坐标系 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标单位矢量 2 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 圆柱坐标系中的线元 面元和体积元 圆柱坐标系 3 球坐标系 球坐标系 球坐标系中的线元 面元和体积元 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 4 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与圆柱坐标系 圆柱坐标与球坐标系 直角坐标与球坐标系 1 3标量场的梯度 如果物理量是标量 称该场为标量场 例如 温度场 电位场 高度场等 如果物理量是矢量 称该场为矢量场 例如 流速场 重力场 电场 磁场等 如果场与时间无关 称为静态场 反之为时变场 时变标量场和矢量场可分别表示为 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应 称在该区域上定义了一个场 从数学上看 场是定义在空间区域上的函数 标量场和矢量场 静态标量场和矢量场可分别表示为 方向导数 标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率 高度场 u M 沿方向增加 u M 沿方向减小 u M 沿方向无变化 特点 方向导数既与点M0有关 也与方向有关 问题 在什么方向上变化率最大 其最大的变化率为多少 梯度 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向 可见 梯度是一个矢量 举例 高度场 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面 或切平面 在直角坐标系中 标量场 的梯度可表示为 式中grad是英文字母gradient的缩写 也可用算符 表示 梯度运算的基本公式 15 1 矢量场的通量 通量的概念 面积元的法向单位矢量 穿过面积元的通量 如果曲面S是闭合的 则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外 矢量场对闭合曲面的通量是 1 4矢量场的通量与散度 16 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 有净的矢量线进入 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系 通量的物理意义 17 3 矢量场的散度 定义 流出单位体积元封闭面的通量 直角坐标系中散度可表示为 因此散度可用算符 表示为 18 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 散度的表达式 散度的有关公式 19 4 散度定理 通量与散度的关系 矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系 是矢量分析中的重要恒等式 是研究场的重要公式之一 公式为 F dS Fdv 是哈密顿算符F S为矢量若一个闭合曲面包围了电荷 则有如下关系 E dS Q 0 20 磁场的环流与电流的关系 环流的定义 1 5矢量场的环流和旋度 21 2 矢量场的旋度 1 环流面密度 称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度 单位面元边界闭合曲线的环流 特点 其值与点M处的方向有关 22 任一取向面元的环流面密度 是该点最大环流面密度的投影 23 而 推导的示意图如图所示 直角坐标系中 的表达式 24 于是 同理可得 故得 25 旋度的计算公式 26 旋度的有关公式 27 3 斯托克斯定理 环流与旋度的关系 28 4 散度和旋度的区别 29 1 矢量场的源 散度源 旋度源 1 6矢量场的分类与分析方法 2 矢量场按源的分类 1 无旋场 性质 线积分与路径无关 是保守场 仅有散度源而无旋度源的矢量场 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如 静电场 30 2 无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场 即 性质 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如 恒定磁场 31 3 无旋 无散场 源在所讨论的区域之外 叫拉普拉斯算符 32 直角坐标系 计算公式 圆柱坐标系 球坐标系 33 4 有散 有旋场 这样的场可分解为两部分 无旋场部分和无散场部分 其中 和可通过亥姆霍兹定理求得 34 条件 矢量场的源分布在有限区域 式中 1 8亥姆霍兹定理 一 在无界空间中的解 35 有界区域 结论 区域中的场不仅取决于分布在区域中的体分布的散度源和旋度源 还取决于分布于区域边界上的场值 面分布的散度源和旋度源 二 在有界空间区域中的解 一 练习 1 联系着一个矢量场的散度和通量关系的定理叫 定理 其关系式为 另外联系着旋度和环流关系的定理叫 定理 其关系式为 算符运算公式 2 6麦克斯韦方程组 微分形式 1 Maxwell方程组 电磁场的基本方程 积分形式 2 媒质的本构关系 代入麦克斯韦方程组中 有 各向同性线性媒质的本构关系为 2 7电磁场的边界条件 什么是电磁场的边界条件 为什么要研究边界条件 如何讨论边界条件 实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的 该空间中可能是由多种不同媒质组成的 边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系 是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性 物理 由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变 场在界面两侧也发生突变 麦克斯韦方程组的微分形式在分界面没有意义 必须对边界上电磁现象单独描述 数学 麦克斯韦方程组是微分方程组 其解是不确定的 非限定的 边界条件起定解的作用 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用 由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件 2 7 1边界条件一般表达式 两种理想介质分界面上的边界条件 2 7 2两种常见的情况 在两种理想介质分界面上 在自然状态下没有电荷和电流分布 即JS 0 S 0 故 2 理想导体表面上的边界条件 理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体 则E2 D2 H2 B2均为零 故 理想导体 电导率为无限大的导电媒质 特征 电磁场在理想导体内恒为零 标量场标量场的梯度矢量场矢量场的通量与散度 根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合面中源的正负性能 以及存在与否 但是 通量仅仅能表示闭合面中源的总量 它不能显示源的分布性能 由此引出散度 描述源在空间各点的性能 矢量场的环量与旋度 环量描述矢量场的漩涡性能 可以表示产生具有漩涡性能的源强度 但是它代表的是闭合曲线包围的总的源强度 不能显示源的分布性能 由此引出旋度 描述源在各点的强度 高斯定理将矢量函数的面积积分转化为标量函数的体积分 反之亦然 从场的观点来看 高斯定理建立了某一区域中的场与包围该区域边界上的场之间的关系 斯拖克斯定理将矢量函数的面积积分转化为线积分 反之亦然 从场的观点来看 斯拖克斯定理建立了某一区域中的场与区域边缘上的场之间的关系散度是标量 旋度是矢量 无论是梯度 散度还是旋度 都是微分运算 它们表示场在某点附近的变化性能 场中各点的梯度 散度或旋度可能不同 一切矢量场的源只有两种类型 即产生发散场的散度源和产生旋涡场的旋度源 因此 在全空间中 散度及旋度均处处为零的场是不存在的 但是 散度或旋度处处为零的场是存在的 通常 散度处处为零的矢量场称为无散场 旋度处处为零的矢量场称为无旋场 任一矢量场的旋度的散度一定等于0 任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度 或者说 任何旋度场一定是无散场 如 恒定磁场的磁感应强度B的散度处处为0 恒定磁场是一个无散场 任一标量场的梯度的旋度一定等于0 任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度 或者说 任何梯度场一定是无旋场 如 静电场的电场强度E的旋度处处为0 静电场为无旋场 格林定理说明区域V中的场与边界S上的场之间的关系 因此 利用格林定理可以将区域场中的求解问题转变为边界上场的问题求解 此外 格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系 因此 如果已知其中一种场的分布性能 即可利用格林定理求解另一种场的分布性能 矢量场的唯一性定理 位于某一区域中的场 当其散度 旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后 则该区域中的矢量场被唯一地确定 根据亥姆霍兹定理 无限空间中矢量场被其散度及旋度唯一地确定 有限空间中的矢量场被其散度 旋度及其边界条件唯一地确定 若该有限区域是无源的 则场仅决定于边界条件 梯度场是无旋场 旋度场是无散场 任一矢量场均可表示为一个无旋场与无散场之和 矢量场的散度及旋度性能是分析矢量场的首要问题 无旋也无散的矢量场在无限空间是不存在的 它只能存在于局部的无源区域之中 算符运算公式 电荷和电流普遍存在 但与它们相对应的 磁荷 和 磁流 却难以确定 最近 研究人员预测到 随后又在被称为 自旋冰 spinice 的 在磁学上让人迷惑不解的材料中演示了磁 单极 带一个净 磁荷 像只有一个 极 的磁铁的粒子 的存在 这样 我们便有了一个从中可能发现 磁流 magnetricity 的体系 Bramwell等人利