第十章 波动和声.ppt

第十章波动和声 10 1波的基本概念 10 1 1波是振动状态的传播 10 1 2多种多样的波 10 1 3平面波与球面波 波动是很普遍的现象 在我们周围常见的波有 水波 声 光 无线电波 还有宇宙深处许多天体的有韵律的辐射也是波 人类就生活在这各种各样波的 海洋 之中 近代物理证明 波动不仅存在于宏观世界中 甚至对于单个的电子 质子 中子等微观粒子而言 它们也具有波的性质 称之为物质波 不过 物质波与宏观世界中的波有完全不同的本质 尽管各种类型波的性质不同 但它们有相似的波动微分方程和波函数 且都具有波动特有的现象 如折射 反射 平涉和衍射等 波是与振动密切相关性的 在宏观上 可将气体 液体或固体当作连续体 其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着 当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时 邻近质元作用的弹性回复力就会使它发生振动 同时 这些邻近质元又受到该质元的弹性力作用 也会振动起来 于是振动就会由近及远 由此及彼地传播开去 这种机械振动在物质中的传播称为机械波 各个质元仅在各自的平衡位置附近振动 传播开去的只是振动或振动状态 由于位相可以反映振动状态 所以也可以说波动是位相的传播 顺着波传播的指向看过去 位相依次滞后 这反映了振动的传播需要时间 振动的传播速度叫作波速 不要把波速与质点的振动速度混淆起来 波动 是振动 相位 的传播 简称波 振动 机械振动 电磁振动 波 机械波 电磁波 10 1波的基本概念 10 1 1波是振动状态的传播 机械波产生的条件 振源和弹性介质 弹性介质 由弹性力组合的连续介质 正弹性力 压 张 液体 气体 固体 弹性力 切弹性力 固体 10 1 2多种多样的波 1 横波与纵波 纵波 振动方向与传播方向相同 如声波 t 0 t T 4 t T 2 t 3T 4 t T 横波 各振动方向与传播方向垂直 如电磁波 t 0 t T 4 t T 2 t 3T 4 t T 质点完成一次振动 波刚好传播了一个波形 2 水面波 水面波是由于表面张力和重力作用的结果 并非弹性波 水面平衡位置 10 1 3平面波与球面波 波线 波射线 沿波传播方向带箭头的线 波面 相面 波阵面 振动相位相同点连成的曲面 波前 某时刻处在最前面的波面 在各向同性均匀介质中 波线与波阵面垂直 球面波 平面波 10 1 4波长 波的周期 波的频率和波速 波长 同一波线上位相差为的二质点间的距离 即一完整波的长度 在横波情况下 波长可用相邻波峰或相邻波谷之间的距离表示 如下图 在纵波情况下 波长可用相邻的密集部分中心或相邻的稀疏部分中心之间的距离表示 波的周期T 波前进一个波长距离所用的时间 或一个完整波形通过波线上某点所需要的时间 波的频率 单位时间内前进的距离中包含的完整波形数目 可有 说明 由波的形成过程可知 振源振动时 经过一个振动周期 波沿波线传出一个完整的波形 所以 由此可知 波在不同的介质中其传播周期 或频率 不变 波的传播周期 或频率 波源的振动周期 或频率 波速 某一振动状态在单位时间内传播的距离 单位时间内波传播的距离 可有 对弹性波而言 波的传播速度决定于介质的惯性和弹性 具体地说 就是决定于介质的质量密度和弹性模量 而与波源无关 横波在固体中传播速度为 纵波速度为 10 2平面简谐波方程 10 2 1平面简谐波方程 10 2 2平面简谐波方程的多种形式 若平面波的波源作简谐振动 则在波已传到的区域中各质元都按波源振动的频率作简谐振动 这样的波就称为平面简谐波 其它复杂的波可视为平面简谐波的叠加 思考问题的方法 因为同一波面上各质元的位相相同 所以要描述某一波面上各质元的振动状态 只需任意选择其上一点作为代表 描述这个 代表点 的振动状态 就是描述了波面上所有质元的运动 波射线上的各点 可以看作是各波面的 代表点 若能描述波射线上各点的振动状态 也就是描述了媒质中各质元的运动 用这样的方法 把描述空间各点的运动转变为讨论一直线上各点的运动 问题得到了简化 问题 能否用一个式子表达出波线上全部质元的振动 现在就无吸收媒质 A不变 中平面简谐波情形来讨论这一问题 具体过程 取x轴沿某一波射线 只要能写出同时表达轴上各点振动的表达式 就是沿轴的这一条波线上的波的表达式 下面根据振动状态 相位 以波速v沿x轴传播的观点讨论一条波线上的简谐波 设波向x轴正方向传播 取平衡位置在坐标原点O处的质元作参考 设它在时刻t的振动位移为 振动方程 x 现在问 在时刻t 平衡位置坐标为x的一点处的质元位移等于什么 在x处的振动状态是O处振动状态经过一段时间后传到的 所以x处的相位比O处相位落后 具体地说 在t时刻O处的相位是 在x处的相位就应是O处在t时刻以前的时刻的相位 故x处的振动表达式 因x是任意的值 所以上式适用于向x轴正方向传播的波所传到的任意一点 去掉下标x可得平面简谐波的表达式 平面简谐波也称为简谐行波表达式 行波一词表明是在传播中的波 若波是向x轴负方向传播 则在x处t时刻的相位应是O处在时刻的相位 行波 相位逐点传波的波 讨论 令 0 波沿x正向传播 位移y既是t的函数 又是x的函数 1 当x一定时 令x x0 表达式变成y t关系 是x0点的振动方程 x0相位比x 0点落后 所以式 10 2 1 反映了介质中各点的运动规律 10 2 1 2 t一定 统观波线上所有质点 这时 y仅为x的周期函数 当t t0时 表达式变成y x关系 表达了t t0时刻空间各点的位移分布 波形图 3 x t均变 具有波动意义 即 各质点各自振动 波形向前传播 如图 20 因振动频率不变 所以这两点相位相同 即 整理得 就是波形向前传播的速度 也是相位的传播速度 所以也称为相速 令波数 波长波速与频率之间的关系为 波在空间的周期性 波在时间上的周期性 通过波速联系起来 10 2 2平面简谐波方程的多种形式 利用 因此下述几式等价 例题1 平面简谐波方程为 如何将此方程化成为最简形式 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标原点 对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为 解 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始相位为零 1 移动坐标原点 此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x 在t时刻的相位为 表明坐标原点应沿x轴正向移动 由此得 所以 2 改变计时起点 由此可得 表明计时起点应向前移六分之一周期 例题2 有一列向x轴正方向传播的平面简谐波 它在t 0时刻的波形如图所示 其波速为u 600m s 试写出波方程 原点处质点的振动方程为 波动方程为 解 10 3波动方程与波速 10 3 1波动方程 10 3 2波速 色散 前面从振动状态传播角度 即运动学角度 得出了简谐行波的表达式 还可以从动力学角度分析媒质中质元的受力与形变 从而得到动力学方程即波动的微分方程 其解就是前面的波动方程 通过求偏导数得出这样的方程 10 3 1波动方程 波动方程 由动力学规律得到的概括振动传播规律的方程 以平面横波为例讨论 设横波沿x方向传播 体元横截面积S 密度 x处 由胡克定律 在忽略高级无穷小量时 有 又 横波的波动方程 弹性介质中的纵波 张紧柔软线绳上的横波 对于一维简谐波 10 3 2波速 色散 在密度为 扬氏模量为E的介质传播的纵波的波速公式为 传播的横波的波速公式为 在同一种固体媒质中 横波波速比纵波波速小些 弦中横波的波速 在液体和气体只能传播纵波 在液体和气体中波速为 K为媒质的体积模量 为质量密度 理想气体纵波波速 声速 为气体的摩尔质量 R为摩尔气体常数 T为热力学温度 是气体的比热容比 波速与温度有关 深水波的波速依赖于频率 这种现象称色散 深水波 浅水波 相速跟频率无关的波叫作无色散的波 色散 一词是从光学借用来的 各种不同色彩 即各种不同频率 的光波在一些介质 例如水滴或玻璃中的相速各不相同 色散 就是复杂波在一定条件下分解为各种频率成分的现象 色散现象是由于在介质中光速随波长而变 以后在物理学中把 色散 的概念推而广之 凡波速与波长有关的现象 都叫做 色散 与k的依赖关系称为色散关系 10 4平均能流密度 声强与声压 10 4 1介质中的能量分布 10 4 2平均能流密度 10 4 3声强与声强级 10 4 4声压 声强和声压的关系 10 4 5声波的衰减 超声波的优势 10 4 6波的反射和透射 半波损失 10 4平均能流密度 声强与声压 10 4 1介质中的能量分布 1 波的能量 每个体元振动所具有的动能 之和 2 能量密度 每个体元形变所具有的势能 波场中单位体积的能量 体元振动的动能 3 弹性介质中机械横波能量密度 体元质量dm dV 体元形变势能 弹性力关系 切变模量 若细棒中传播的是简谐波 又 体元总机械能 2 E最大值出现在形变最大处 1 Ek Ep随时间周期性变化 周期为波动周期的一半 即 T 4 讨论 3 波动的能量与振动能量是有区别的 平均能量密度 能量密度 普适结论 平均能流密度 单位时间通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能量 1 平均能流密度 简称能流密度 或波强 坡印廷矢量 平均能流密度是矢量 方向沿波的传播方向 10 4 2平均能流密度 2 波的功率P 平均能流 功率 单位时间通过截面S的平均能量 S为任意曲面时 波源功率 S与I垂直 P IS S与I不垂直 I与S法向成 角 P IScos 证明 平面波 在垂直于I方向取两平面S1 S2 所以 平面波振幅相等 求证 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变 得证 对球面波 P1 P2即I1S1 I2S2 球面波 即振幅与离波源的距离成反比 球面简谐波的波函数 声波 能引起听觉的机械波 声波 次声波 超声波 人的听觉与频率和声强有关 最低声强 闻阈 I0 10 12W m2 约1000Hz 最高声强 痛阈 I 10W m2 约1000Hz 声强 声波平均能流密度的大小 10 4 3声强与声强级 声强级 人耳所感受到的声音的响度 声波传播的速度几乎与频率无关 而速度与介质的密度有关 所以声波传播的速度对于温度和压强的变化很敏感 定义声强级 I0为人耳听得到的最小声强 标准声强 红线为等响度线 10 4 4声压 声强和声压的关系 波不仅传递能量还传递动量 伴随波的传播 还存在压强的传播 声压 p是有声波传播的空间某一点在某一瞬时的压强 p0是没有声波时的压强 设简谐波方程 体元速度 声压波方程可表示为 声压幅 若波沿负x方向传播 波阻 或 波在介质中传播时 波强逐渐减弱 10 4 5声波的衰减 超声波的优势 声强级 I 入射初始声强 Id 深入介质d距离处的声强 衰减系数 1MHz频率超声波经过几种介质的衰减系数 10 4 6波的反射和透射 半波损失 反射系数 透射系数 Z大 波密介质 Z小 波疏介质 入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失 脉冲波在界面处的反射和透射 10 5波的叠加和干涉 驻波 10 5 1波的叠加 群速 10 5 2波的干涉 10 5 3驻波 10 5 4弦与空气柱的本征振动 波的叠加原理包含两个内容 一是波传播的独立性 二是波的可叠加性 具体来说 1 几列波相遇之后 仍然保持它们各自的特性 频率 波长 振幅 振动方向等 不变 并按照原来的方向继续前进 好象没有遇到其它波一样 2 在相遇区域内任一点的振动位移 为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和 它最初是从实验和观察中总结出来的 从理论上看 波的叠加原理与波动方程为线性微分方程是一致的 波的叠加原理 当几列波在介质中的某点相遇时 在相遇区域内 质元的振动位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和 10 5 1波的叠加 群速 1 波的叠加原理 注 此原理只适用于线性行波 对非线性行波 如爆炸 不适用 重要性 可将任一复杂的线性行波分解为简谐波的叠加 若y1 y2分别是它的解 则 y1 y2 也是它的解 即波动方程遵从叠加原理 波的叠加原理的基础是波动方程为线性微分方程 传递信息的载波通常是复杂波 谐波不携带任何信息 按Fourier分解观点 它是由频率在一定范围内的一系列简谐波叠加而成 有时也将它称为 波包 对于无色散的波 各种不同频率的谐波以同一速度传播 波包当然也以同一速度传播 但是当波包通过有色散的介质时 其中各个单色分量将以不同的波速前进 整个波包在向前传播的同时 形状也逐渐改变 通常把振幅最大的地方称为波包中心 将波包中心前进的速度叫做群速 即信息的传递速度 实际上 载波往往是频率很近的一系列谐波的叠加 2 群速 下面先来讨论两个频率相近 振幅相同的简谐波的同向叠加 振幅被调制的波包的速度 即群速 相速度 波在无色散的介质中传播 波的干涉之模拟演示图 10 5 2波的干涉 两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终最大 另一些位置振幅始终最小 而其它位置 振动的强弱介乎二者之间 保持不变 称这种稳定的叠加图样为干涉现象 1 波的干涉 2 相干条件 得到干涉所要求的条件 具有恒定的相位差 振动方向相同 两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显 两波源具有相同的频率 满足相干条件的波叫相干波 波源叫相干波源 叠加叫相干叠加 设有两个频率相同的波源S1和S2 其振动表达式为 3 强度计算 传播到P点引起的振动为 在P点的振动为 合振动的强度为 对空间不同的位置 都有恒定的 因而 合强度在空间形成稳定的分布 干涉特点 其中 干涉相长 强度最强点 4 干涉加强 减弱条件 干涉相消 强度最弱点 一般情况 A介于以上两值之间 这样从理论上解释了重叠区域形成固定不变的强弱分布 相应简谐波的强度为 从能量上看 当两相干波发生干涉时 在两波交叠的区域 合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和 而是作了重新分布 并且这种新的强度分布是时间上稳定的 空间上强弱相间具有周期性的一种分布 对于非相干叠加 其合成波的强度恰等于分波强度之和 即 当两相干波源为同相波源时 相干条件写为 相长干涉 相消干涉 波程差 干涉是能量的重新分布 实现干涉的艰难任务是实现初相差恒定 例题 两个同频率波源S1和S2相距 两波源振动的初相差为 在通过S1和S2的直线上 S2外侧各点的合振幅为多大 S1外侧各点的合振幅又为多大 设两列波在S1S2直线上各点的振幅不随传播距离变化 都等于A0 解 设S2外侧的任一点P距S1 S2的距离分别为r1和r2 则在P点两波传来振动的相位差 即两列波在任一P点的振动都是同相的 故在S2外侧任一点合振幅为A 2A0 在两波源连线上向S2外侧传播的波叠加后是一列加强了的波 在S1外侧 取任一点Q 同样求两列波在Q点的相位差 则由于这里 可得 即两列波传到S1外侧任一点的振动都是反相的 且振幅相等 故合振幅A 0 即在两波源连线上没有向S1外侧传播的波 这个例题具体地说明了波的干涉使两波源单独存在时波在空间传播的情况发生了显著的改变 这表现了波动性的特征 1 形成 驻波 沿相反方向传播的两列等幅相干波的叠加 10 5 3驻波 2 驻波特点 各质点的振幅各不相同 位移恒为零 波节 振幅始终最大 波腹 在波节 波腹之间各点作稳定的振动 其A有 0 A 2A 1 振幅特点 两相邻波节之间的各质元振动相位相同 每一波节两侧各质元的振动相位相反 在驻波中却没有能量的定向传递 2 相位特点 3 定量计算 振幅因子 谐振因子 1 驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体 波腹 振幅取最大值 波节 振幅为零 波节处的质元静止不动 相邻两波腹间或两波节间的距离均为半个波长 2 相位 相邻波节的坐标 代入振幅因子 中得 相邻波节间各体元余弦同号 即具有相同的相位 相邻波腹的坐标 代入驻波方程中 中得 相邻两波腹的相位相反 4 驻波的能量 动能与势能相位相反 注 驻波的振动 并不是各质元没有相互联系地各自作能量守恒的简谐振动 在驻波振动中 任一质元的机械能还是变化的 在波腹与波节间有往复的能量传播 段与段之间在能量上是隔离的 能量并不传播向任何一个方向 在设计激光谐振腔和用微观粒子的波粒二象性解释玻尔量子化条件时都要用到驻波的概念 设弦长l 其上形成驻波的波长必须满足 即弦线上形成的驻波波长 频率均不连续 这些频率称为弦振动的本征频率 对应的振动方式称为简正模式 最低的频率称为基频 其它整倍数频率为谐频 1 两端固定的弦中的驻波 10 5 4弦与空气柱的本征振动 弦线中的驻波 波长 波频 其中 系统究竟按那种模式振动 取决于初始条件 一般是各种简正模式的叠加 n 1 n 2 n 3 2 空气柱的振动 设管一端封闭 另一端敞开 开端形成波腹 闭端形成波节 固有振动的波长和频率为 10 6多普勒效应 10 6 1波源静止而观察者运动 10 6 2观察者静止而波源运动 10 6 3观察者和波源在同一直线上运动 当列车进站时 我们听到汽笛声不仅越来越大 而且音调升高 列车离去时 汽笛声不仅越来越小 而且音调降低 反之 若声源未动而观察者运动 或者声源和观察者都在运动 也会发生观测频率与波源频率不一致的现象 由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象 称为多普勒效应 是奥地利物理学家多普勒 J C Doppler1803 1853 在1842年发现的 对机械波来说 所谓运动或静止都是相对于媒质的 多普勒效应 由于波源和观测者的相对运动 造成观测频率与波源频率不同的现象 是介质中某点三量的关系 关系式 振源 观测者的相对运动状态 直接影响观测者探测到的频率 观察者观测到的波速v 与观测到的波长 之比称为观测频率 波源和观察者相对于介质静止 以介质为参考系 并设波源和观测者的运动都发生在它们之间的联线上 v源 波源相对于介质的速度 趋近观察者为正 v观 观察者相对介质的速度 趋近波源为正 v 介质中的波速 波源发射频率 10 6 1波源静止而观察者运动 即v源 0 v观 0 观察者迎向波源 相对观察者波的速率v v观 单位时间通过观察者的完整波长数 频率 为 频率升高 观察者离开波源 同理可得观察者接受到的频率 频率降低 波源迎着观察者 观测者测到的频率为 远离 10 6 2观