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高等数学第一学期中考试试题(非物理类)参考答案1判定下列级数的敛散性,并说明理由：(1) (2) 解：(1) 因为，收敛，由比较判别法，收敛(2) 因为，根据比值判别法，级数收敛.2计算下列极限：(1) (2) 解：(1) (2) 3.求下列函数的导数：(1) 已知，求解：(1) (2) 已知，求它的反函数的二阶导数解：对等式两边对y求导，当x=0时，y=1, 代入上面式子可得，4设是由所确定的函数，计算和解：由方程组的第一个方程对t求导可得：;由方程组的第二个方程对t求导可得：;所以5把函数展开成的形式，其中为拉格朗日型余项.解：对函数逐次求导：则 那么 其中6(13分)已知函数.(1) 当函数f(x)在x=0处连续时，求a和b满足的条件；(2) 当函数f(x)在x=0处可导时，求a和b满足的条件；(3) 当函数f(x)在x=0处可导时，研究导函数在x=0处的连续性.解：由于函数可导必连续，于是所以 .由于函数可导，于是，而所以， 所以.利用求导公式计算，可得所以导函数在x=0连续.7证明：方程(n是大于等于2的整数) 在(0,1)内必有唯一的实根，并计算.证明：设，它在0,1连续， f(0)=-1, f (1)= n-10, 根据零点定理，原方程在(0,1)内至少存在一个实根.又， 函数在(0,1)内单调增加，所以原方程在(0,1)内必有唯一的实根，记为.由 可得数列an单调减少，而，根据单调有界原理数列an有极限，设极限为a. 又原方程有，两边取极限，得8设函数f(x)在0,1上可微，且试证明导函数在(0,1)内至少有两个零点.证明：，由极限的保号性知，存在(不妨设)，对任意，均有.特别地，取，使，得；同理，由得()），使得，从而得；又f(x)在x1,x2上连续，由介值定理知，至少有一点xx1,x2使得f(x)=A；
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