2010 年高考数学(理科)上海试题.pdf

2010 年高考数学 理科 上海试题 班级 学号 姓名 一 填空题一 填空题 本大题满分 56 分 每小题 4 分 1 不等式 2 0 4 x x 的解集是 2 若复数12zi i 为虚数单位 则z zz 3 若动点P到点 2 0 F的距离与它到直线20 x 的距离相等 则P的轨迹方程为 4 行列式 cossin 36 sincos 36 的值是 5 圆 22 2440C xyxy 的圆心到直线3440 xy 的距离d 6 随机变量 的概率分布率由下图给出 x 7 8 9 10 px 0 3 0 35 0 2 0 15 则随机变量 的均值是 7 2010 年上海世博会园区每天 9 00 开园 20 00 停止入园 在右边的框 图中 S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数 a 表 示整点报道前 1 个小时内入园人数 则空白的执行框内应填入 8 对任意不等于1的正数a 函数 log 3 a f xx 的反函数的图像都 过点P 则点P的坐标是 9 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 1 张 事件A为 抽得红 桃K 事件B为 抽得黑桃 则概率 p AB 结果用最简分数表示 10 在 n 行 n 列矩阵 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中 记位于第i行第j列的数为 1 2 ij a i jn 当9n 时 11223399 aaaa 11 将直线 2 0lnxyn 3 0lxnyn nN 2n x轴 y轴围成的封闭图形的面积 否 是 开始 T 9 S 0 输出 T S T 19 T T 1 输入 a 结束 第 7 题图 记为 n S 则lim n n S 12 如图所示 边长为 的正方形纸片 ABCD 中 AC 与 BD 相交于 O 剪去AOB 将剩余部分沿 OC OD 折叠 使 OA OB 重合 则以 A B C D O 为顶点的 四面体的体积为 13 如图所示 直线2x 与双曲线 2 2 1 4 x y 的渐近线交于 12 E E 两点 记 1122 OEe OEe 任取 双曲线 上的点 P 若 12 OPaebe a b R 则 a b 满足的一个等式是 14 从集合 Ua b c d 的子集中选出 个不同的子集 需同时满足 以下两个条件 U 都要选出 对选出的任意两个子集 A B 必有AB 或BA 则共有 种不同的选法 二 选择题二 选择题 本大题满分 20 分 每小题 5 分 15 2 4 xkkZ 是 tan1x 成立的 答 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分条件 D 既不充分也不必要条件 16 直线l的参数方程为 1 2 2 xt tR yt 则l的方向向量d 可以是 答 A B C 2 D 2 17 若 0 x是方程 1 3 1 2 x x 的解 则 0 x属于区间 答 A 2 3 1 B 1 2 2 3 C 1 3 1 2 D 0 1 3 18 某人要制作一个三角形 要求它的三条高的长度分别为 11 1 13 11 5 则此人能 答 A 不能做出这样的三角形 B 做出一个锐角三角形 C 做出一个直角三角形 D 做出一个钝角三角形 第 12 题图 第 13 题图 三 解答题三 解答题 本大题满分 74 分 19 本题满分 12 分 19 本题满分 12 分 已知0 2 x 化简 2 lg costan12sin lg 2cos lg 1 sin2 24 x xxxx 20 本题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 5 分 第 2 个小题满分 8 分 20 本题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 5 分 第 2 个小题满分 8 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且585 nn Sna nN 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n S的通项公式 并求出n为何值时 n S取得最小值 并说明理由 21 本大题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 8 分 21 本大题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 8 分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平 方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 在灯笼内 以矩形骨架的顶点为点 安装一些霓虹灯 当灯笼 的底面半径为 0 3 米时 求图中两根直线 1335 A BA B所在异面 直线所成角的大小 结果用反三角函数表示 22 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 10 分 22 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 10 分 若实数x y m满足xmym 则称x比y远离m 1 若 2 1x 比 1 远离 0 求x的取值范围 2 对任意两个不相等的正数a b 证明 33 ab 比 22 a bab 远离2ab ab 3 已知函数 f x的定义域 24 k Dx xkZ xR 任取xD f x等于sin x和cosx中 远离 0 的那个值 写出函数 f x的解析式 并指出它的基本性质 结论不要求证明 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 9 分 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 9 分 已知椭圆 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 点P坐标为 a b 1 若直角坐标平面上的点M 0 Ab 0 B a满足 1 2 PMPAPB 求点M的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 交直线 22 lyk x 于点E 若 2 12 2 b k k a 证明 E为CD的中点 3 对于椭圆 的点 cos sin 0 Q ab 如果椭圆 上存在不同的两个交点 1 P 2 P 满足 12 PPPPPQ 写出求作点 1 P 2 P的步骤 并求出使 1 P 2 P存在的 的取值范围 上海 2010 年高考数学 理科 试题详解详析 上海市高境第一中学 王大平 wdpfox 一 填空题一 填空题 本大题满分 56 分 每小题 4 分 1 不等式 2 0 4 x x 的解集是 析 解集为 2 4 2 4 2 0 4 2 00 4 x xxxx x 2 若复数12zi i 为虚数单位 则z zz 析 2 51262z zzzzii 3 若动点P到点 2 0 F的距离与它到直线20 x 的距离相等 则P的轨迹方程为 析 由抛物线定义得 焦点为 2 2 0 48Fpyx 4 行列式 cossin 36 sincos 36 的值是 析 cossin 36 cos 0 36 sincos 36 或直接代值计算 5 圆 22 244 0C xyxy 的圆心到直线3440 xy 的距离d 析 圆心为 22 314 24 3 3 2 5 1 d 6 随机变量 的概率分布率由下图给出 x 7 8 9 10 px 0 3 0 35 0 2 0 15 则随机变量 的均值是 析 随机变量 的均值为70 380 3590 2100 158 2 7 2010 年上海世博会园区每天 9 00 开园 20 00 停止入园 在右边的框 图中 S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数 a 表 示整点报道前 1 个小时内入园人数 则空白的执行框内应填入 析 SSa 否 是 开始 T 9 S 0 输出 T S T 19 T T 1 输入 a 结束 第 7 题图 8 对任意不等于1的正数a 函数 log 3 a f xx 的反函数的图像都 过点P 则点P的坐标是 析 函数 log 3 a f xx 的图像恒过点 2 0 由互为反函数的 图像的关系知 点P的坐标是 0 2 9 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 1 张 事件A为 抽得红桃K 事件B为 抽得黑桃 则概率 p AB 结果用最简分数表示 析 事件A 事件B为两个独立事件 所以有 1137 525226 p ABp Ap B 10 在 n 行 n 列矩阵 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中 记位于第i行第j列的数为 1 2 ij a i jn 当9n 时 11223399 aaaa 析 矩阵中的元素经过9次元素的轮换 主对角线上的元素 轮遍 了9个数字 故 11223399 12945aaaa 也可将矩阵完整列出 再计算 11 将直线 2 0lnxyn 3 0lxnyn nN 2n x轴 y轴围成的封闭图形的面积记为 n S 则lim n n S 析 依题意 封闭图形如图所示 直线 2 0lnxyn 3 0lxnyn nN 2n 恒过定点 1 0 0 1 且其交点为 11 nn P nn nN 2n 当n 三角形的第三个顶点无限接近 1 1 即limlim 1 nAOBABPAOBP nn SSSS 12 如图所示 边长为 的正方形纸片 ABCD 中 AC 与 BD 相 交于 O 剪去AOB 将剩余部分沿 OC OD 折叠 使 OA OB 重合 则以 A B C D O 为顶点的四面体的体积为 第 12 题图 析 依题意 因 AOODAOOD AOCDO BOOCAOOC 折叠后 面 故四面体 ACDO 的高为 2 42 2 2 AO 所以 28 211 1 2 2 2 2 33 23 A CDORt CDO VSAO 13 如图所示 直线2x 与双曲线 2 2 1 4 x y 的渐近线交于 12 E E两点 记 1122 OEe OEe 任取 双曲线 上的点 P 若 12 OPaebe a b R 则 a b 满足的一个等式是 析 依题意 点 P 为双曲线 2 2 1 4 x y 上的点 设 P x y 则 1122 2 1 2 1 OEeOEe 由 12 2 OPaebeab ab 得 2 abPbx ya 代入双曲线方程得 1 4 ab 14 从集合 Ua b c d 的子集中选出 个不同的子集 需同时满足以下两个条件 U 都要选出 对选出的任意两个子集 A B 必有AB 或BA 则共有 种不同的选法 析 依题意 当A为单元素集时 则B含有A中的元素外 还要含有另外三个中的一个或两个 因此有 112 433 24CCC 种选法 当A为双元素集时 则B含有A中的元素外 还要含有另 外二个中的一个 因此有 21 42 12C C 种选法 所以共有 36 种不同的选法 二 选择题二 选择题 本大题满分 20 分 每小题 5 分 15 2 4 xkkZ 是 tan1x 成立的 答 A A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分条件 D 既不充分也不必要条件 析 2tantan 2 tan1 444 xkkZxk 充分性成立 5 4 x 满足tan1x 但不满足 2 4 xkkZ 必要性不成立 16 直线l的参数方程为 1 2 2 xt tR yt 则l的方向向量d 可以是 答 C A B C 2 D 2 第 13 题图 析 直线l的方程为 12 21 xy 所以l的方向向量d 是 2 1 也可以是 2 1 17 若 0 x是方程 1 3 1 2 x x 的解 则 0 x属于区间 答 C A 2 3 1 B 1 2 2 3 C 1 3 1 2 D 0 1 3 析 将方程变形为 1 3 1 0 2 x f xx 利用二分法原理 用计算器分别计算函数 f x在所给 区间的端点的函数值 选两者异号的区间即可 18 某人要制作一个三角形 要求它的三条高的长度分别为 11 1 13 11 5 则此人能 答 D A 不能做出这样的三角形 B 做出一个锐角三角形 C 做出一个直角三角形 D 做出一个钝角三角形 析 由三角形面积公式知 111111 13 11 5 21321125 abca b c 令13 11 5 0ak bk ck k 由 222 bca 知 角C为钝角 所以此人能做出一定是钝角三角形 三 解答题三 解答题 本大题满分 74 分 19 本题满分 12 分 19 本题满分 12 分 已知0 2 x 化简 2 lg costan12sin lg 2cos lg 1 sin2 24 x xxxx 析 原式 2 22 lg sincos lg 2 cossin lg sincos 22 xxxxxx 2 lg sincos lg sincos lg sincos 0 xxxxxx 20 本题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 5 分 第 2 个小题满分 8 分 20 本题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第一个小题满分 5 分 第 2 个小题满分 8 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且585 nn Sna nN 1 证明 1 n a 是等比数列 2 求数列 n S的通项公式 并求出n为何值时 n S取得最小值 并说明理由 析 1 证明 当2n 时 111 585 1 585 651 nnnnnnn aSSnanaaa 所以有 1 1 15 6 1 5 1 16 n nn n a aa a 由 11111 1 85 514115aSaaa 即数列 1 n a 是首项 1 115a 公比为 5 6 的等比数列 2 令等比数列 1 n a 的前 n 项和为 n T 则有 1 5 15 1 65 90 90 56 1 6 5 75 1 15 6 n n nnnn n TSnSTnnnn Nn 由计算器计算14 15 16n 得 15 n 取得最小值 21 本大题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 8 分 21 本大题满分 13 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 8 分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平 方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 在灯笼内 以矩形骨架的顶点为点 安装一些霓虹灯 当灯笼 的底面半径为 0 3 米时 求图中两根直线 1335 A BA B所在异面 直线所成角的大小 结果用反三角函数表示 析 1 依题意 圆柱的高 9 6 8 2 1 2 2 8 r hr 由1 2 2000 6hrr 所以 22 2 2 2 1 2 2 3 0 4 0 48 00 6 Sr hrrrr rr 当0 4r 时 2 max 1 50801 51 Sm 2 建立如图所示直角坐标系 则 1335 90 1 22 0 30 6AOAA OAh 所以 1335 0 3 0 0 0 0 3 0 6 0 0 3 0 0 3 0 0 6 ABAB 从而有 1335 0 3 0 3 0 6 0 3 0 3 0 6 A BA B 所以令直线 1335 A BA B所在异面直线所成角的大小为锐角 则有 1335 1335 cos 0 362 0 09 0 09 0 363 A BA B A BA B 所以所求异面直线所成的角的大小为 2 arccos 3 22 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 10 分 22 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 10 分 若实数x y m满足xmym 则称x比y远离m 1 若 2 1x 比 1 远离 0 求x的取值范围 2 对任意两个不相等的正数a b 证明 33 ab 比 22 a bab 远离2ab ab 3 已知函数 f x的定义域 24 k Dx xkZ xR 任取xD f x等于sin x和cosx中 远离 0 的那个值 写出函数 f x的解析式 并指出它的基本性质 结论不要求证明 析 1 由 22 1 0 1 0 1 1 2 2 xxx 2 332222 22 abab aba b abab ab 2222 a ab babab 2222 a ab bababa ab babab 223322 222 0 a ab babababa b b a a ab bababa ba b 其中0 0ab 因 33 0ab 比 22 0a bab 所以 33 ab 比 22 a bab 远离2ab ab 证法 2 因 222222 2 2a babab aba bb aa bb aa babab ab 3333 332233 2222 2 2abab ababababab ab 所以有 2233 2 2a babab ababab ab 2233 3322 2 2 2 0 a babab ababab ab aba bab abab 即 2233 2 2a babab ababab ab 命题得证 由 sin0 cos0 sin c 3 4 4 osxkkxZxkxx 时 sinf xx sin0 cos0 sin 44 cos xkxxxkkZx 时 cosf xx 所以 3 sin 44 cos 44 xxkk f xkZ xxkk f x图像图示参考如下 性质 1 非奇非偶函数 图像关于直线 4 xkkZ 对称 2 周期T 3 442 kkkkkZ 单调递增 3 424 kkkkkZ 单调递减 4 最大值为1 最小值为1 值域为 22 1 1 22 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 9 分 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 9 分 已知椭圆 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 点P坐标为 a b 1 若直角坐标平面上的点M 0 Ab 0 B a满足 1 2 PMPAPB 求点M的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点