一道中考数学压轴题的解法探究_邓文忠.pdf

一道中考数学压轴题的解法探究 邓文忠 陕西省洋县黄安初中 723307 以能力立意的2013 年陕西省中考数学压 轴题是一道探究题 重在考查学生分析问题 和解决问题的综合能力 此题以圆 正方形 特殊梯形 等分面积等为载体 以全等三角 形 正方形 梯形及菱形性质 相似三角形 梯 形面积等分线的作图为切入点 考查全面 综 合性强 注重培养学生的数学思考和应用创 新意识 三个问题由浅入深 有利于不同水平 学生的区分 经笔者深入研究 第 3 问也可 单独成题 解法灵活多样 而多角度的思考对 锤炼思维大有裨益 下面提供此问的另解 供 参考 原题问题探究 1 请在图 1 中作出两条直线 使它们将 圆面四等分 2 如图2 M 是正方形 ABCD 内一定点 请在图2 中作出两条直线 要求其中一条直线 必须过点 M 使它们将正方形 ABCD 的面积 四等分 并说明理由 M E O F D CB A A Q P O 图1图2 问题解决 3 如图3 在四边形ABCD中 AB CD AB CD BC 点 P 是 AD 的中点 如果 AB a CD b 且 b a 那么在边 BC 上是否存在 一点 Q 使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面 积分成相等的两部分 若存在 求出 BQ 的长 若不存在 说明理由 解 1 如图 1 所示 2 如图2 连结AC BD相交于点O 作直 线 OM 分别交 AD BC 于 P Q 两点 过点 O 作 OM 的垂线分别交AB CD于E F两点 则直线 OM EF 将正方形 ABCD 的面积四等分 理由如下 点 O 是正方形的对称中心 AP CQ EB DF 在 AOP 和 EOB 中 AOP 90 AOE BOE 90 AOE AOP BOE OA OB OAP EBO 45 AOP EOB AP BE DF CQ AE BQ CF PD 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为 d 则有 1 2 AP AE d 1 2 BE BQ d 1 2 CQ CF d 1 2 PD DF d S四边形APOE S四边形BEOQ S四边形CQOF S四边形POFD 直线EF OM将正方形ABCD的面积四 等分 3 存在 当 BQ CD b 时 PQ 将四边 形 ABCD 的面积二等分 53 第 2 期初中数学教与学 理由如下 如图 3 延长 BA 到点 E 使 AE b 延长 CD 到点 F 使 DF a 连结 EF D F Q P B A E C M 图3 BE瓛CF BE BC a b 四边形 EBCF 是菱形 连结 BF 交 AD 于点 M 则 MAB MDF AM DM P M 两点重合 P 点是菱形 EBCF 对角线的交点 在 BC 上截取 BQ CD b 则 CQ AB a 设点 P 到菱形 EBCF 一边的距离为 d 则 1 2 AB BQ d 1 2 CQ CD d 1 2 a b d S四边形ABQP S四边形QCDP 当 BQ b 时 直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分 第 3 问解法精巧 用了构造菱形及同一 法证P M两点重合 虽然受到第 2 问解法的 启示 但仍有一定难度 为此 下面另辟蹊径 多角度思考 探究不同解法 另解 1不必准确地作出 PQ 直接计算 结果 如图 4 连结 BP 并延长交 CD 延长线于 点 E 连结 CP 易证 ABP DEP 则 DE AB a BP PE CE a b BC 由 三线合一 得 BCP DCP 过点 P 作 PM BC 于点 M 作 PN CE 于点 N 则 PM PN CP 是 BCE 的中线 S BPQ S PQC S PCD S DEP 要等分梯形 即要使 S BPQ S ABP S PCD S PQC 考虑到 S ABP S DEP 并化简 得 S PQC S DEP 由于 PM PN 故只需 QC DE a 即可 此时 BQ b 当 BQ b 时 直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分 A N D E P M CB 图4 Q 点评图中结论除CP平分 BCD外 还 有 BP 平分 ABC BP PC 这在梯形中是一 道名题 图中辅助线是梯形 角平分线的常见 辅助线 图中化梯形为三角形 先从等分三角 形面积入手 体现了转化思想 另解 2先准确地作出 PQ 再算结果 如图5 过点 B 作 BE AD 交 CD 于点 E 过点 P 作 PM AB 交 BE 于点 M 连结 MC PC 过点 M 作 MQ PC 交 BC 于点 Q 则 PQ 为梯形 ABCD 面积的等分线 M N QC E D P B A F 图5 理由 由于 P M 分别为 AD BE 中点 S BCM S ABMP S CME S PMED 即 C M P 等分梯形面积 由 MQ PC 得 S QMP S QMC S FMP S QFC S BCM S ABMP S BQM S QMC S ABMP 63 初中数学教与学2014 年 S BQM S QMP S ABMP S四边形ABQP S CME S PMED S四边形CFPD S FMP S四边形CFPD S QFC S四边形PQCD S四边形ABQP S四边形PQCD 下面计算 BQ 的值 延长 PM 交 BC 于点 N 故 N 为 BC 中点 易得 MP a MN 1 2 CE b a 2 NC a b 2 在 NCP 中 MQ PC NQ QC NM MP 即 a b 2 QC QC b a 2 a QC a 当 BQ b 时 直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分 EQ C D P B A F 图6 另解 3如图 6 连结 PB PC 分别过点 A D作AE PB DF PC 交直线BC于点E F 连结 PE PF 取 EF 的中点 Q 则 PQ 为梯形 ABCD 的面积等分线 理由 AE PB DF PC S PEB S ABP S PCF S PCD PQ 是 PEF 的中线 S PEB S PBQ S PQC S PCF S ABP S PBQ S PQC S PCD 即 S四边形ABQP S四边形PQCD 下面计算 BQ 的值 由另解 1 得 BCP DCP DF PC BCP CFD DCP CDF CFD CDF CF CD b 同理 EB AB a EF 2a 2b QF 1 2 EF a b QC a b b a 当 BQ b 时 直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分 点评另解 2 中化梯形为平行四边形和 三角形 先找出等分梯形面积的折线 C M P 再利用平行线同底等高等面积予以转化 化折为直 另解 3 中化梯形为三角形 等分三 角形面积即可 两种过梯形的两腰等分梯形 面积的方法是常见的 且后续计算量也不大 充分说明另辟蹊径的几种解法都很精彩 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷