一种触发式汇率期权定价的数学模型_徐承龙.pdf

收稿日期 2005 11 23 基金项目 国家自然科学基金资助项目 NSF10371088 上海市教育委员会 E 研究院建设计划资助项目 E03004 作者简介 徐承龙 1963 男 上海人 教授 博士生导师 理学博士 E mail clxu mail tongji edu cn 一种触发式汇率期权定价的数学模型 徐承龙 段为钊 周羽宇 同济大学 数学系 上海 200092 摘要 首先分析国内发行的一种触发式汇率期权的理财产品的样本合同 然后通过 对冲方法及 Ito 公式 在风 险中性的意义下建立了一类偏微分方程的定价模型 利用偏微分方程理论 求出偏微分方程的解析解 最后通过实 际数据 分析模型解的金融意义 本方法同样适用讨论其他一些相关的理财产品的定价及分析 关键词 汇率期权 对冲 期权定价 偏微分方程边值问题 中图分类号 F 830 9 O 175 8 O 175 23 文献标识码 A 文章编号 0253 374X 2007 08 1138 05 Mathematical Model for Pricing a Class of Triggered Exchange Rate Option XU Chenglong DUAN Weizhao ZHOU Yuyu Department of Mathematics Tongji University Shanghai 200092 China Abstract This paper discusses the pricing model for a class of triggered option in the current financial market in China Based on the hedging and Ito formula a partial differential equation PDE model is established under the neutral risk assumption According to the theory of PDE the closed form solu tion of the model is obtained In the final part of this paper a financial discuss is also given The method in this paper is also applicable to pricing other financial derivatives Key words exchange rate options hedging pricing of options boundary value problems 在当今世界金融市场不断完善和扩大的背景 下 期权作为一种可以有效转移市场风险和套期保 值的工具 因便利 多样 灵活的特性 已经成为金融 市场中不可或缺的金融工具 所谓期权 option 是 一种合同 它规定了持有期权的人在未来一定时期 可以买卖的权力 是持有人在确定时间内 按确定价 格向出售期权方购入或卖出一定数量和质量的原生 资产 股票 债券 期货等 的协议 但持有人并不承 担必须购入或卖出的义务 1 在目前的金融市场 上 不仅有股票期权 债券期权 期货期权 也有基于 利率的期权 基于两种不同货币间汇率的期权等 本 文所要讨论的正是基于汇率的期权的定价 如何在 理论上确定期权的价值一直是金融学家研究的问 题 现实经济生活中有许多蕴含式期权的理财产品 例如 定期存款隐含着可以提前支取的期权 公司制 企业在破产清算时 股东只承担有限债务责任 隐含 着股东有放弃企业 将部分亏损转移给债权人的期 权 各种具有可转换特性的金融工具都隐含着期权 保险费的定价 无形资产评估 等等 所有这些 期权 定价理论都对之提供了重要的理论基础 第 35 卷第 8 期 2007 年8 月 同 济 大 学 学 报 自 然 科 学 版 JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY NATURAL SCIENCE Vol 35 No 8 Aug 2007 随着经济全球化的发展趋势越发明朗 世界范 围内的贸易交流逐渐频繁 而由于各国货币间的汇 率不是恒定不变的 使得交易过程中会由于货币兑 换的变动而产生额外的风险 尤其我国目前正处于 经济高速发展时期 对外交流十分频繁 自然会较多 地遇到汇率产生的风险 因此 合理利用金融市场上 的汇率期权以达到规避风险和套期保值目的 对于 当今社会具有重要的实际意义 为了正确合理地运 用汇率期权 对其合理地定价是极其必要的 目前 市场上的外汇理财产品层出不穷 国内和 国外的各大商业银行均在这两年向中国市场发行了 多种类型的外汇理财产品 这些产品种类繁多 市场 上比较流行的品种有 1 阶梯跳跃式0汇率挂钩存款 客户与银行 确定一个汇率区间 若存期内市场汇率未触及过该 区间上下限 则客户获得较高的收益率 利息 否则 取得较低的保底收益率 利息 这种结构性存款 在 保证资金安全的前提下 有保底收益率和最高收益 率之分 适合短期一年内的结构性存款 如现在光大 银行新近推出的一个汇率期间计息型产品 2 汇率区间累积增值存款 如 6 个月美元 日 元汇率区间累积增值存款 存期 6 个月 汇率上下限 为 112 65 108 15 利率 2 1 区间天数 总天 数 区间天数为存款期间美元 日元汇率位于汇率上 下限之间的天数 若逢星期六 日或其他非伦敦工作 日 则该日的美元 日元汇率被定义为紧接该日的前 一个伦敦工作日的汇率 利息支付方式为到期日随 本金一次性支付 现在不少商业银行推出的所谓美 元稳健型存款产品便是这样的类型 3 线性收益汇率挂钩性存款 客户与银行协 定一个执行汇率和敲出汇率 按照到期时的市场汇 率计算客户的最终收益率 利率 这种结构性存款 在保证资金安全的前提下 有保底收益率和最高收 益率之分 适合短期一年内的结构性存款 最近荷兰 银行推出的 梵高理财投资存款 保本型汇率挂 钩存款0 便是这种类型 其他类型的汇率金融产品还有很多 这些金融 工具从本质上说都是潜在的期权合同 无论对出售 金融工具的银行来说还是对投资者来说 正确地评 估这种金融产品的实际价值是非常重要的 1 问题的分析及数学模型的建立 本文所要分析的外汇产品是 2005 年渣打银行 推出的一款名为 汇利投资创新0的美元理财创新产 品 中国是渣打银行全球推广该创新理财产品的首 个地区 该产品是一个比较典型的触发式汇率产品 和前面介绍的 阶梯跳跃式0汇率挂钩存款有些类 似 该产品具体的合同条款如下 最低投资额度 2万美元 投资期限 3个月 基本收益率为 5 以投资人投资日当天 的澳元对美元的汇率为基准 0 15设为触发汇率 0 05 设为协定汇率 3 个月内任意一天 如澳元对美元的汇率 达到或超过了触发汇率水平 那么投资者可在当天 提前取回所有收益 并在 3 个月期满时拿回本金 若在 3个月内 澳元对美元的汇率始终没 有达到触发汇率水平 那么在到期日 投资者可取得 约定的收益 但本金的取得有以下规定 若澳元 对美元的实际汇率达到或高于协定汇率 投资者可 取回本金 若澳元对美元的实际汇率低于协定 汇率 本金将按协定汇率兑换成澳元返还给投资者 这个合同是一个与汇率有关的定期存款合同 而事实上 由于该合同有一个可能提前支取利息的 条款和期末由于实际汇率与协定汇率间的关系而产 生的支取本金的不同方案的条款 其实可以将这份 合同看成是一个隐含的关于汇率的期权合同 合同 中又规定了在汇率达到合同约定水平的时候 持有 人是可以提前支取利息的 这一条款实际上是一种 触发式期权的条款 这个汇率水平被称为触发点 而 如果汇率始终没有达到合同中规定的汇率水平 那 么合同持有人将在到期日支取本金和利息 因此 这 是一份非标准的欧式期权 从上面的分析可以看到 可以将这份存款合同 看作是一份欧式触发式汇率期权 假设它的面值是 1 美元单位 笔者通过文献 2 中的对冲方法 建立 数学模型 从而求出这份期权内含的理论价值 对于 投资者来说 如果期权价值低于 1 美元 那么 对这 份合同投资就是不划算的 如果价值高于 1 美元 那 么这份合同是物超所值 值得投资的 反之 对于银 行来说 若价值低于 1 美元 银行将获得一定利益 若高于 1 美元 银行将会吃亏 本文假设 市场不 存在套利机会 忽略交易产生的损失 手续费 税收等 汇率变动遵循几何 Brown 运动 3 dSt St rA rD dt RdWt 1 式中 St表示 t 时刻澳元对美元的汇率 1 澳元 S 美元 今后出现的所有汇率都如此规定 rD表示美 1139 第 8 期徐承龙 等 一种触发式汇率期权定价的数学模型 元的利率 由于存入的本金是美金 所以美元利率在 本文中也是无风险利率 rA表示澳元的利率 Wt为 标准 Brown 运动 R为市场波动率 对于一个单位的期权 V 作一个反向投资 S 即买入 份数的澳元 合 S 美元 构造投资组合 0 V S 并选取适当的 使得投资组合 0 在 t t dt 时 段内是无风险的 因此 投资组合的回报是 0t dt 0t 0t rDdt 2 考虑到澳元是有利息的 因此 0t dt Vt dt tSt dt tStrAdt 代入到式 2 中 得到 dVt tdSt rD0tdt tStrAdt 3 另一方面 由 It 公式得 dVt 9 V 9t 1 2 R 2S29 2 V 9S 2 L S 9 V 9S dt R S 9 V 9S dWt 4 代入式 3 并记 L rA rD 得 9V 9t 1 2 R 2S29 2 V 9S2 L S 9 V 9S SrA L S dt R S 9 V 9S S dWt rD V S dt 5 由于等式 5 右边是无风险的 因此左边 dWt 的系数必须为零 即 9V 9S 将它代入式 5 得到 9 V 9t 1 2 R 2S29 2 V 9S 2 rD rA S 9 V 9S rDV 0 这就是期权价格所满足的方程 下面讨论合同中给出的条款所应该满足的其他 一些条件 首先 如果在 0 T 时段间的 t 时刻 汇 率达到了合同规定的触发 SB点 那么 按照合同规 定 持有人将提前获得所有利息 利率为合同规定的 利率 r 按照本金 1 美元来计算就是得到了利息 r T 再加上将要在到期日返还的本金 1 美元的贴 现价值 e rD T t 于是得到这样一个条件 V SB t r T e rD T t 0 t T 如果在到期日前 汇率始终没有达到合同规定 的触发点 SB 那么在到期时有两种情况 1 实际汇率大于合同规定的协定汇率 S 即 SB ST S 按合同 持有人可得到本金 美元 和 利息 V S T 1 r T S S SB 2 如果实际汇率没有达到合同规定的协定汇 率 即 ST S 那么按合同 持有人须将本金按照 协定汇率 S 换算成澳元支取 同时获得与前面条 件相同的利息 如果持有人在得到澳元本金后立刻 兑换成美元 他必须按照实际汇率 ST来兑换 那 么 实际上这时的本金就从 1 美元变成了 ST S 美 元了 即 V S T S S r T 0 S S 根据上面的讨论 得到了以下 t 时刻的期权价 值 V St t 应满足的偏微分方程定价模型 9 V 9t 1 2 R2S 29 2 V 9S 2 rD rA S 9 V 9S rDV 0 0 t T 0 S SB 6 V SB t r T e rD T t 0 t T 7 V S T 1 r T S S SB S S r T 0 S S 8 2 模型的求解 首先简化问题 作变量代换 x ln S SB 则 式 6 8 变为常系数问题 LV 9V 9t 1 2 R2 92V 9x 2 rD rA 1 2 R2 9 V 9x rDV 0 0 t T x 0 V 0 t r T e rD T t 0 t T V x T SBex S r T x ln S SB 1 r T ln S SB x 0 为求出上述问题的解 需对边界条件齐次化处 理 为此 令 V x t r T eAx e rD T t 9 其中 参数 A 满足方程 R2A 2 2 r D rA R 2 2 A rD 0 不妨就令 A rD rA R2 2 rD rA R 2 2 2 2R2r DR 2 再作函数变换 u V V 10 显然 u 满足方程Lu 0 和齐次边界条件 1140 同 济 大 学 学 报 自 然 科 学 版 第 35 卷 Lu 0 0 t T x 0 u 0 t 0 0 t T u x T Tr 1 eAx ln S SB x 0 SBex S 1 Tr 1 eAx x ln S SB 令u eA x B T t W 11 其中 A rD rA R2 2 R2 B rD rD rA R 2 2 2 2R2 则 W 在区域 x 0 0 t T 上适合定解问题 9W 9t R2 2 92W 9x 2 0 12 W 0 t 0 13 W x T U x e A xTr 1 eAx ln S SB x 0 e A x SBex S 1 Tr 1 eAx x 0 显然 W x 是一个奇函数 且 W 的奇延拓在 8 x I R 0 t T 上 满足下面的 Cauchy 问题 9W 9t R2 2 92W 9x 2 0 x t I8 15 W x T W x 16 由 Poisson 公式可得 W 的表达式 再将计算结 果分别代入式 11 和 10 得到定解问题式 6 8 的解的表达式 V S t e r D T t N d1 Tr e rD T t N dc 1 S SB 2 rD rA R 2 2 R2 e rD T t N d2 Se rA T t S N d3 Tr S SB AN d 4 T r S SB 2 rD r A R 2 2 R2 A N d5 Tr S SB 2 rD rA R 2 2 R2e r D T t N dc 2 SB S S SB 2 r D rA R 2e rA T t N d6 17 其中 函数 N x 表示标准正态分布函数 N x 1 2P Q x e X 2 2dX d1 ln S S rD rA R 2 2 T t RT t dc1 d1 ln S SB RT t d2 ln S S S 2 B rD rA R 2 2 T t RT t dc2 d2 ln S SB RT t d3 d1 RT t d4 ln S SB rD rA R 2 2 R2A T t RT t d5 ln S SB rD rA R 2 2 R2A T t RT t d6 d2 RT t 3 模型的分析 本节 对渣打银行的这份 汇利投资创新0合同 的参数进一步具体分析 根据目前金融市场上的实 际数据 表 1 和合同条款 可得 1 期权价值与市场波动率的关系 购入期权 时的实际价值按照本模型的理论应该是 V S 0 若根据式 17 来计算这个理论值 还需知道市场 波动率 R R 的取值与市场实际有关 分别取 R 0 1 0 2 1 0 利用 Matlab 编程 得到图 1 表 1 市场数据 Tab 1 Market data 数据名称 单位数 据 值 3 个月美元存款利率 年利率rD 0 625 3 个月澳元存款利率 年利率rA 2 812 5 现在澳元对美元的汇率 美元 澳元 S 0 756 5 协定汇率S 0 706 5 触发汇率 SB 0 906 5 协定利率 年利率r 5 到期时间 年T 0 25 图 1 期权价格与波动率的关系 Fig 1 Relationship between option price and volatility 2 期权价值与初始汇率的关系 现在取市场 波动率 R 0 15 S 0 750 5 0 751 5 0 758 5 0 759 5 利用 Matlab 编程 得到图 2 1141 第 8 期徐承龙 等 一种触发式汇率期权定价的数学模型 图 2 期权价格与初始汇率的关系 Fig 2 Relationship between option price and initial exchange rate 从图 1 可以看到 期权理论价格随着市场波动 率的上升呈较明显的下降趋势 其价格在 0 9 1 01美元之间浮动 按照第二节对合同的分析 只要 期权理论价格低于 1 美元 那对投资者来说是以较 高的价格投资了较低的金融工具 而对于银行来说 则是获得了一定的额外收益 当期权理论价格高于 1美元 投资者将得到额外的收益 而对银行来说 定价就稍微偏低了 从图 2 可以看到 当市场波动率 高于0 15左右后 期权价格开始低于 1 美元 也就是 说 当波动率高于0 15后 这份合同实际上 1 美元的 定价就显得有利于银行了 而即使波动率取到0 1 期权价值 V 1 008 3 美元也只比 1 美元高了 0 0083美元 并且从图形上来看 即便波动率继续取 得更小 由于曲线在趋近于 0 的方向上越来越平滑 实际上理论的价格也不会比 1 美元高出很多 因此 可以说 这份期权合同在大多数情况下对银行有利 即便市场波动率非常小 银行的亏损也极其有限 图 2 反映了期权价格同初始汇率的关系 可以 很明显地看到 在汇率的变化区间内 期权价格是呈 一条水平的直线的 也就是说 期权的理论价格基本 上是不变的 事实上大家知道 在实际的汇市中 澳 元对美元的汇率在 3 个月的时间内是会在一定范围 内上下浮动的 甚至不排除大幅上扬或下跌的可能 当初始汇率偏高时 一般会有回落趋势 这时达到合 同规定的触发点的难度增大 同时 3 个月后不能达 到协定汇率的可能性也会增大 当初始汇率偏低时 一般会有回升的趋势 这时很有可能在 3 个月内达 到合同规定的触发点 使投资者获得利益 同时到期 不能达到协定汇率的可能性也相对小很多 但如图 2 所示 期权的理论价格在初始汇率变化的时候几 乎没有变化 由于在这份期权合同中 初始汇率 S 与协定汇率S 以及触发汇率 SB是有线性关系的 SB S 0 15 S S 0 05 而在期权的理论解式 17 中 S SB S 都是成 对出现在分式的分子和分母上 而0 15和 0 05 相对 于澳元对美元汇率的基数 0 75 来说比较小 因此期 权理论价格 V 与初始汇率的关系相当小 这也说明 这份期权合同对于汇率的变化来说是可以起到非常 好的规避风险的作用 从合同中的条款可以看到 协定利率 5 相对 美元的利率 0 625 和澳元的利率 2 812 5 都 要高出许多 并且有提前触发的可能 似乎从一般意 义上来讲 对投资者来说是一个有较大收益的投资 合同 然而通过图 1 所得出的期权理论价值 却发现 只要市场波动率稍微大一些 期权的价值就不会高 于 1 美元 即使市场波动率低于 0 1 期权价值也只 是超过 1 美元而已 也就是说 这份合同对投资者来 说并不能算是 物超所值0 究其原因 还是汇率的波 动可能引起本金的实质上的损失 协定汇率只比初 期汇率低 0 05 美元 而触发汇率要比初期汇率高了 0 1