数学综合题训练篇解答(中考版).pdf

数学综合题训练篇解答 中考版 数学综合题训练篇解答 中考版 1 1 当点P沿AD运动时 AP 当点P沿DA运动时 AP 50 28 108 2 分 2 当点P与点A重合时 BP AB t 1 当点P与点D重合时 AP AD 50 t 当 0 t 1 时 如图 作过点Q作 QE AB 于点E S ABQ QE S 当 1 t 时 如图 S S 6 分 3 当点P与点R重合时 AP BQ t 当 0 t 1 时 如图 PM QM AB QR BPM RQM BP AB 13 解得 t 1 当 1 t 时 如图 BR平分阴影部分面积 P与点R重合 t 当 t 时 如图 BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分 综上 当 t 1 或时 线段PQ扫过的图形 阴影部分 被线段 BR 分成面积相等 的两部分 9 分 4 t t 12 分 提示 当C D 在BC上方且C D BC时 如图 QC OC 或 解得 t 7 或 t 当C D 在BC下方且C D BC时 如图 OD PD 解得 t 2 考点 一次函数综合题 分析 1 当 x 0 或 y 0 时分别可以求出 y 的值和 x 的值就可以求出 OA 与 OB 的值 从 而就可以得出结论 2 根据平行线的性质可以得出 就可以得出 再 由 OAF EBO 45 就可以得出结论 3 先根据 E F 的坐标表示出相应的线段 根据勾股定理求出线段 AE EF BF 组成的三角形为直角三角形 且 EF 为斜边 则可以表示此三角形的外接圆的面积 S1 再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出 S2 就可以表示出和的解析 式 再由如此函数的性质就可以求出最值 解答 解 1 直线 y x 2 当 x 0 时 y 2 B 0 2 当 y 0 时 x 2 A 2 0 OA OB 2 AOB 90 OAB 45 2 四边形 OAPN 是矩形 PM ON NP OM BE OM AF ON BE AF OM ON 2OM ON 矩形 PMON 的面积为 2 OM ON 2 BE AF 4 OA OB 2 OA OB 4 BE AF OA OB 即 OAF EBO 45 AOF BEO 3 四边形 OAPN 是矩形 OAF EBO 45 AME BNF PEF 为等腰直角三角形 E 点的横坐标为 a E a 2 a AM EM 2 a AE2 2 2 a 2 2a2 8a 8 F 的纵坐标为 b F 2 b b BN FN 2 b BF2 2 2 b 2 2b2 8b 8 PF PE a b 2 EF2 2 a b 2 2 2a2 4ab 2b2 8a 8b 8 ab 2 EF2 2a2 2b2 8a 8b 16 EF2 AE2 BF2 线段 AE EF BF 组成的三角形为直角三角形 且 EF 为斜边 则此三角形的外接 圆的面积为 S1 EF2 2 a b 2 2 a b 2 2 S梯形OMPF PF ON PM S PEF PF PE S OME OM EM S2 S梯形OMPF S PEF S OME PF ON PM PF PE OM EM PF PM PE OM PM EM PF EM OM PE PE EM OM a b 2 2 a a a b 2 S1 S2 a b 2 2 a b 2 设 m a b 2 则 S1 S2 m2 m m 2 面积不可能为负数 当 m 时 S1 S2随 m 的增大而增大 当 m 最小时 S1 S2最小 m a b 2 a 2 2 2 2 当 即 a b 时 m 最小 最小值为 2 2 S1 S2的最小值 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用 勾股定理及勾股定理的逆定理的运用 梯 形的面积公式的运用 圆的面积公式的运用 三角形的面积公式的运用二次函数的顶 点式的运用 在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点 3 1 证明 BD BE A B C 三点共线 ABD CBE 90 C 90 CBE E 90 ABD E 又 A C AD BC DAB BCE AAS AB CE AC AB BC AD CE 2 连接DQ 设BD与PQ交于点F DPF QBF 90 DFP QFB DFP QFB 又 DFQ PFB DFQ PFB DQP DBA 即在 Rt DPQ 和 Rt DAB 中 AD 3 AB CE 5 线段 DQ 的中点所经过的路径 线段 长为23 4 1 由题意 得点 B 的坐标为 4 1 抛物线过点 A 0 1 B 4 1 两点 解得 抛物线的函数表达式为 2 A的坐标为 0 1 C的坐标为 4 3 直线AC的解析式为 y x 1 设平移前的抛物线的顶点为P0 则由 1 可得P0的坐标为 2 1 且P0在直线AC上 点 P 在直线 AC 上滑动 可设 P 的坐标为 m m 1 则平移后的抛物线的函数表达式为 解方程组得 即 P m m 1 Q m 2 m 3 过点P作PE x轴 过点Q作QE y轴 则 PE m m 2 2 QE m 1 m 3 2 PQ AP0 若 MPQ为等腰直角三角形 则可分以下两种情况 当PQ为直角边时 M到PQ的距离为为 2 即为PQ的长 由A 0 1 B 4 1 P0 2 1 可知 ABP0为等腰直角三角形 且BP0 AC BP0 2 过点B作直线l1 AC交抛物线于点M 则M为符合条件的点 可设直线l1的解析式为 又 点B的坐标为 4 1 解得 直线l1的解析式为 解方程组得 当PQ为斜边时 MP MQ 2 可求得M到PQ的距离为为 取AB的中点F 则点F的坐标为 2 1 由 A 0 1 F 2 1 P0 2 1 可知 AFP0为等腰直角三角形 且F到 AC的距离为 过 点F作 直 线l2 AC交 抛 物 线 于点M 则M为符合条件的点 可设直线l2的解析式为 又 点F的坐标为 2 1 解得 直线l2的解析式为 解方程组 得 综上所述 所有符合条件的点M的坐标为 存在最大值 理由如下 由 知PQ 2 当NP BQ取最小值时 有最大值 取点B关于AC的对称点B 易得B 的坐标为 0 3 BQ B Q 连接QF FN QB 易得FNPQ 四边形 PQFN为平行四边形 NP FQ NP BQ FQ B P F B 当B Q F三点共线时 NP BQ 最小 最小值为 的最大值为 5 解 1 点A B的坐标分别为 1 0 5 0 证明 如图 1 延长DM与EB相交于点F AD CP BE CP ADE BED 90 AD EB DAM FBM MDA MFB 由题意知AM BM ADM BPM DM FM DF DEF 90 EM DF DM EM 即 MDE是等腰三角形 2 能 理由如下 如图 2 若 MDE为等腰直角三角形 则DM EM DME MED 45 设直线CP与对称轴相交于点G 则 MEG 180 MED 135 MDA ADG MDE 90 45 135 MEG DMA 90 AME EMG AMD GME GM AM AB 2 即点G的坐标为 3 2 设直线CP的解析式为y kx b 即 解得 y 2x 4 设点 P 的坐标为 m 2m 4 则 m 2 m 4 2m 4 解得m1 0 舍 m2 当m 时 y 2 4 3 即点P的坐标为 3 3 能 点P的坐标为 6 考点 本题考查了三角形全等的判断和性质 相似三角形的判断和性质 平行线分线段 成比例定理 轴对称性质 三角形四边形内角和 线段的垂直平分线性质 要求较高的视图能力和证明推理能力 分析 1 连接 FE FC 先证 ABF CBF 全等 得 FEC BAF 通过四边形 ABEF 与三 角形 AEF 内角和导出 2 先由 AFG BFA 推出 AGF BAF 再得 BG MG 通过 AGF DGA 导出 GD a FD a 过点 F 作 FQ ED 交 AE 于 Q 通过 BE AD 德线段成比例 设 EG 2kBG MG 3k GQ EG MQ 3k 从而 FM FN 本题综合考查了相似 三角形线段之间的比例关系 平行线分线段成比例定理等重要知识点 难度较大 在解题过 程中 涉及到数目较多的线段比 注意不要出错 解答 1 证明 如图 1连接 FE FC 点 F 在线段 EC 的垂直平分线上 FE FC l 2 ABD 和 CBD 关于直线 BD 对称 AB CB 4 3 BF BF ABF ACBF BAF 2FA FC FE FA 1 BAF 5 6 l BEF 180 0 BAF BEF 1800 BAF BEF AFE ABE 360 0 AFE ABE 180 0 又 AFE 5 6 180 0 5 6 3 4 5 4 即 EAF ABD 2 FM FN证明 如图 2由 1 可知 EAF ABD 又 AFB GFA AFG BFA AGF BAF 又 MBF BAF MBF AGF 又 AGF MBG BMG MBG BMG BG MG AB AD ADB ABD EAF 又 FGA AGD AGF DGA AF AD 设 GF 2a AG 3a GD a FD a CBD ABD ABD ADB CBD ADB BE AD 设 EG 2k BG MG 3k过点 F 作 FQ ED 交 AE 于 Q GQ EG MQ 3k FQ ED FM FN 7 1 证明见解析 2 解析 解 1 而在中 由于为正方形对角线 则 则 2 且 则 而在正方形中 为对角线 则 又为对称中心 则 如图 过点做垂直于于 过点做垂直于于 为中点 则 则 同理 阴影部分关于直线轴对称 与也关于直线对称 则 同理 而 在上运动 在上运动 且 令 则 当 即时 取最大值 而在的取值范围内 代入 则 图中两块阴影部分图形关于点成中心对称 而此两块图形也关于直线成轴对称 则阴影部分图形自身关于直线对称 则即 解得 代入 得 8 因为四边形ABCD是平行四边形 所以 AB DG 所以 所以3 分 2 的周长之和为定值 理由一 过点C作FG的平行线交直线AB于H 因为GF AB 所以四边形FHCG为矩形 所以FH CG FG CH 因此 的周长之和等于BC CH BH 由BC 10 AB 5 AM 4 可得CH 8 BH 6 所以BC CH BH 24 理由二 由AB 5 AM 4 可知 在 Rt BEF与 Rt GCE中 有 所以 BEF的周长是 ECG的周长是 又BE CE 10 因此的周长之和是 24 3 设BE x 则 所以 配方得 所以 当时 y有最大值 最大值为 9 解答 1 利用待定系数法求出二次函数解析式即可 2 根据已知得出 OPQ 的高 进而利用三角形面积公式求出即可 3 根据题意得出 0 t 3 当 0 t 2 时 Q 在 BC 边上运动 得出若 OPQ 为直角三角形 只能是 OPQ 90 或 OQP 90 当 2 t 3 时 Q 在 OC 边上运动 得出 OPQ 不可能为直角三角形 4 首先求出抛物线对称轴以及 OB 直线解析式和 PM 的解析式 得出 1 t 3 t 2t 恒 成立 即 0 t 2 时 P M Q 总在一条直线上 再利用 2 t 3 时 求出 t 的值 根据 t 的取值范围 得出答案 解 1 设所求抛物线的解析式为 y ax 2 bx c 把 A 6 0 B 3 C 1 三点坐标代入得 解得 即所求抛物线解析式为 y x 2 x 2 如图 1 依据题意得出 OC CB 2 COA 60 当动点 Q 运动到 OC 边时 OQ 4 t OPQ 的高为 OQ sin60 4 t 又 OP 2t S 2t 4 t t 2 4t 2 t 3 3 根据题意得出 0 t 3 当 0 t 2 时 Q 在 BC 边上运动 此时 OP 2t OQ PQ POQ POC 60 若 OPQ 为直角三角形 只能是 OPQ 90 或 OQP 90 若 OPQ 90 如图 2 则 OP 2 PQ2 QO2 即 4t2 3 3t 3 2 3 3 t 2 解得 t1 1 t2 0 舍去 若 OPQ 为直角三角形 只能是 OPQ 90 或 OQP 90 若 OQP 90 如图 3 则 OQ 2 PQ2 PO2 即 3 t 2 6 3t 3 2 4t2 解得 t 2 当 2 t 3 时 Q 在 OC 边上运动 此时 QP 2t 4 POQ COP 60 OQ OC 2 故 OPQ 不可能为直角三角形 综上所述 当 t 1 或 t 2 时 OPQ 为直角三角形 4 由 1 可知 抛物线 y x 2 x x 2 2 其对称轴为 x 2 又 OB 的直线方程为 y x 抛物线对称轴与 OB 交点为 M 2 又 P 2t 0 设过 P M 的直线解析式为 y kx b 解得 即直线 PM 的解析式为 y x 即 1 t y x 2t 又 0 t 2 时 Q 3 t 代入上式 得 1 t 3 t 2t 恒成立 即 0 t 2 时 P M Q 总在一条直线上 即 M 在直线 PQ 上 当 2 t 3 时 OQ 4 t QOP 60 Q 代入上式得 1 t 2t 解得 t 2 或 t 均不合题意 舍去 综上所述 可知过点 A B C 三点的抛物线的对称轴 OB 和 PQ 能够交于一点 此时 0 t 2 10 I 先根据物线经过点 0 得出 c 的值 再把点 1 0 3 0 代入抛物线 y1的 解析式即可得出 y1与 x 之间的函数关系式 II 先根据 I 中 y1与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标 记直线 l 与直线 l 交于点 C 1 t 当点 A 与点 C 不重合时 由已知得 AM 与 BP 互相 垂直平分 故可得出四边形 ANMP 为菱形 所以 PA l 再由点 P x y2 可知点 A x t x 1 所以 PM PA y2 t 过点 P 作 PQ l 于点 Q 则点 Q 1 y2 故 QM y2 3 PQ AC x 1 在 Rt PQM 中 根据勾股定理即可得出 y2与 x 之间的函数关系式 再由当 点 A 与点 C 重合时 点 B 与点 P 重合可得出 P 点坐标 故可得出 y2与 x 之间的函数关系式 据题意 借助函数图象 当抛物线 y2开口方向向上时 可知 6 2t 0 即 t 3 时 抛物 线 y1的顶点 M 1 3 抛物线 y2的顶点 1 由于 3 所以不合题意 当抛 物线 y2开口方向向下时 6 2t 0 即 t 3 时 求出 y1 y2的值 若 3t 11 0 要使 y1 y2恒成立 只要抛物线方向及且顶点 1 在 x 轴下方 因为 3 t 0 只要 3t 11 0 解得 t 符合题意 若 3t 11 0 y1 y2 0 即 t 也符合题意 解 抛物线经过点 0