1．相似三角形的判定 (3).ppt

1 3相似三角形的判定及性质 第一讲相似三角形的判定及有关性质 复习回顾 1 全等三角形判定定理 1 两边及夹角对应相等 边 角 边 2 两角及夹边对应相等 角 边 角 3 两角及其中一角的对边对应相等 角 角 边 4 三边对应相等 边 边 边 相似三角形的定义 对应角相等 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比值叫做相似比 或相似的系数 复习回顾 判定两个三角形相似的简单方法 1 两角对应相等 两三角形相似 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 3 三边对应成比例 两三角形相似 如何证明 1 3相似三角形的判定及性质 在 ABC中 D E分别是AB AC边上的点 且DE BC 则在 ABC中有 1 3相似三角形的判定及性质 EAD CAB ADE ABC AED ACB 作EF DB交CB延长线于F 1 3相似三角形的判定及性质 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 1 3相似三角形的判定及性质 判定定理1 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 简述 两角对应相等 两三角形相似 已知 如图 在 ABC和 A B C 中 A A B B 求证 ABC A B C 证明 在 ABC的边AB 或AB的延长线 上 截取AD A B 过点D作DE BC 交AC于点E 由预备定理得 ADE ABC ADE B B B ADE B A A AD A B ADE A B C A B C ABC 例如图 在 ABC AB AC D是AC边上一点 BD BC 求证 BC2 AC CD 分析 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似 证明 ABC是等腰三角形 A 180 2 C BCD是等腰三角形 DBC 180 2 C DBC A又 C为公共角 ABC BDC 即BC2 AC CD 如图 圆内接 ABC角平分线CD延长后交圆于一点E 分析 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似根据线段所在三角形考虑证 EBD ECB 练一练 证明 由已知条件 可得 ACE BCE ACE与 ABE是同弧上的圆周角 ACE ABE BCE ABE 又 BED CEB EBD ECB 判定定理2 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 简述 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 ADE A B C DE BC 证明 作DE BC 交AC于E AE AE 因此E与点E 重合即DE 与DE重合 所以DE BC 采用了 同一法 的间接证明 引理如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时 若直接证明有困难 就不妨改为去证它的逆否命题 然后根据唯一性的原理断言命题为真 这种解题方法叫做同一法 用同一法解题一般有三个步骤 先作出一个符合结论的图形 然后推证出所作的图形符合已知条件 根据唯一性 证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的 从而说明已知图形符合结论 例如图 在 ABC内任取一点D 连接AD和BD 点E在 ABC外 EBC ABD ECB DAB 求证 DBE ABC 判定定理3 对于任意两个三角形 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 简述 三边对应成比例 两三角形相似 已知 如图 在 ABC和 A B C 中 求证 ABC A B C 证明 在 ABC的边AB 或延长线 上截取AD A B 过点D作DE BC 交AC于点E ADE ABC AD A B ADE A B C ABC A B C 例如图 已知D E F分别是 ABC三边 BC CA AB的中点 求证 DEF ABC 证明 线段EF FD DE都是 ABC的中位线 DEF ABC 直角三角形相似的判定 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 1 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 那么它们相似 2 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 那么它们相似 例如图 已知AD BE分别是 ABC中BC边和AC边上的高 H是AD BE的交点 求证 1 AD BC BE AC 2 AH