1.2.3空间几何体的直观图 (4).doc

1.2.3 空间几何体的直观图疱丁巧解牛知识巧学一、平面图形斜二测画法规则1.(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于O点,画直观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于O且使xOy=45(或135),它们确定的平面表示水平面;(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴与y轴;(3)已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.2.坐标平面中，点的直观图的画法.如图1-2-16.图1-2-16 画法：(1)设点C(a，b),作坐标系xOy，使xOy=45；(2)在x轴上的点A，画在x轴上，使OA=OA；(3)在y轴上的点B，画在y轴上，使OB=；(4)在xOy中，作y轴的平行线x=a，作x轴的平行线y=，直线x与直线y相交于点C(a, ),点C即为点C的直观图.3.坐标平面中，线段的直观图的画法.(1)设A点坐标为(a,b)，B点坐标为(c,d),作坐标系xOy,使xOy=45；(2)仿照点的作法，分别找出A、B两点的直观图A、B;(3)连结AB，则AB就是AB的直观图.如图1-2-17(1)、(2).图1-2-174.一般多边形的直观图.(1)作出各个顶点的直观图；(2)连结各个顶点即可. 例如画水平放置的正六边形的直观图.如图1-2-18(1)(2). 画法：(1)在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取对称轴GH为y轴，x轴、y轴相交于点O,任取点O，画出对应的x轴、y轴，使xOy=45；(2)以点O为中点，在x轴上取AD=AD，在y轴上取GH=，以点H为中点，画FEx轴，并使FE=FE；再以G为中点，画BCx轴，并使BC=BC；(3)顺次连结AB、CD、DE、FA,所得到的六边形ABCDEF就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图.图1-2-18记忆要诀 用斜二测画法画平面图形的直观图时，应牢记下列口决：横不变，竖折半；平行关系不改变；九十度角画一半. 二、空间几何体的直观图画法1.斜二测画法的规则.(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox、Oy，再取Oz轴，使xOz=90；(2)画直观图时，把它们画成对应的轴Ox、Oy、Oz,使xOy=45(或135)，xOz=90，xOy所确定的平面表示水平平面；(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段；(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.2.点的画法. 在Oxyz坐标系中，A点坐标为(a,b,c)，则在O-xyz坐标系中坐标为(a,c).3.几何体的画法. 运用点的画法，画出顶点，连线即可. 画水平放置的几何图形的直观图应注意的问题:（1）要根据图形的特点选取适当的坐标系,这样可以简化作图步骤;（2）平行于y轴的线段画直观图时一定要画成原来长度的一半;（3）对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段,可通过确定端点的办法来解决,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助于所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.问题探究问题1 利用斜二测画法画水平放置的平面图形时要注意“一斜”与“二测”.你是怎么理解这一问题的？探究:“一斜”即把已知图形中互相垂直的轴O、O画成对应的轴Ox、Oy，使xOy=45(或135)体现了轴的“斜”；“二测”是已知图形中平行于轴的线段在直观图中保持原长度不变，即横不变；已知图形中平行于轴的线段在直观图中长度变为原来的一半，即纵减半.问题2 把太阳光线看成是平行的，它把一个矩形ABCD投射到地平面上.如果太阳光线不垂直于地平面，矩形ABCD垂直于地平面，它的投影是矩形吗？如果太阳光线不垂直于地平面，矩形ABCD平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投影是什么关系？如果太阳光线垂直于地平面，矩形ABCD平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投影是什么关系？探究:投影不是矩形，而是一个平行四边形；投影是矩形，且这个矩形与原来的矩形是全等的；投影是矩形，这个矩形与原来的矩形一定是全等的.典题热题例1 画出水平放置的等腰梯形的直观图.思路解析：画水平放置的直观图应遵循以下原则:(1)直角坐标系中xOy=45;(2)横线相等,即AB=AB,CD=CD;(3)竖线是原来的,即OE=.解：(1)如图1-2-19(1),取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系xOy,使xOy=45;图1-2-19(2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE=,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD;(3)连结BC、DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.如图1-2-19(2).误区警示 画水平放置的几何图形的直观图时,不能将与y轴平行的线段画的与原来的长度相等,应变为原来长度的,如本例中的OE.方法归纳 画水平放置的平面图形的直观图的步骤为画轴(让尽量多的点在坐标轴上)；取点；成图.在图形中，平行于轴的线段，在直观图中保持其长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度减半.例2 画棱长为2 cm的正方体的直观图.如图1-2-20(1)(2).思路解析：在几何体中建立适当的空间直角坐标系，在坐标系中根据规则作出几何体各顶点，再连结顶点即可得到几何体的直观图.解：步骤:(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使BAD=45，AB=2 cm，AD=1 cm;(2)过点A作z轴,使BAz=90,分别过点A、B、C、D,沿z轴的正方向取AA1=BB1=CC1=DD1=2 cm；(3)连结A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，得到的图形就是所求的正方体直观图.图1-2-20方法归纳 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与xOy平面垂直的轴Oz,且平行于Oz的线段，在直观图中的长度不变，其他与平面图形直观图的画法一致.例3 如图1-2-21是上、下底面处在水平状态下的棱长为2 cm的正方体的直观图，比例尺为11,回答下列问题：(1)线段AB1在图中、实物中长度各为多少？AB1A1在图中、实物中的度数各为多少？(2)在实物中，ABC、AEB、BEC、ABD、CBD的度数是多少？(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？AD1A1、CB1C1在实物中的度数是多少？图1-2-21思路解析：从正方体的上下面、左右面、前后面去认证线段和角的实际意义.解：(1)面AA1B1B处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形.由已知AA1=A1B1=2 cm，AA1A1B1，所以AB1= cm.所以线段AB1在图中、实物中的长度都是 cm.AB1A1在图中、实物中度数都是45.(2)在实物中，ABC=AEB=BEC=90，ABD=CBD=45.(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1 cm、2 cm，AD1A1、CB1C