(高等数学)导数与微分习题.pdf

一 填空题 理工类 1 则 解 假设 则 所以 2 设 则 解 3 设函数 y y x 由方程 确定 则 解 所以 4 已知 f x f x 且 则 解 由 f x f x 得 所以 所以 5 设 f x 可导 则 解 6 设 则 k 解 所以 所以 7 已知 则 解 所以 令 x 2 2 所以 8 设 f 为可导函数 则 解 9 设 y f x 由方程 所确定 则曲线 y f x 在点 0 1 处 的法线方程为 解 上式二边求导 所以切线斜率 法线斜率为 法线方程为 即 x 2y 2 0 二 单项选择题 理工类 1 设 f x 可导 F x f x 1 sin x 则 f 0 0 是 F x 在 x 0 处可导的 a 充分必要条件 b 充分但非必要条件 c 必要但非充分条件 d 既非充分又非必要条件 解 必要性 存在 所以 于是 所以 2f 0 0 f 0 0 充分性 已知 f 0 0 所以 所以 存在 a 是答案 2 已知函数 f x 具有任意阶导数 且 则当 n 为大于 2 的正整数时 f x 的 n 阶导数是 a b c d 解 假设 所以 按数学归纳法 对一切正整数成立 a 是答案 3 设函数对任意x 均满足 f 1 x af x 且 b 其中 a b 为非零常数 则 a f x 在 x 1 处不可导 b f x 在 x 1 处可导 且 a c f x 在 x 1 处可导 且 b d f x 在 x 1 处可导 且 ab 解 在 f 1 x af x 中代入 所以 d 是答案 注 因为没有假设 可导 不能对于 二边求导 4 设 则使 存在的最高阶导数 n 为 a 0 b 1 c 2 d 3 解 所以 n 2 c 是答案 5 设函数 y f x 在点x0处可导 当自变量 x 由 x0增加到x0 x 时 记 y 为 f x 的增量 dy 为 f x 的微分 等于 a 1 b 0 c 1 d 解 由微分定义 y dy o x 所以 b 是答案 6 设 在 x 0 处可导 则 a a 1 b 0 b a 0 b 为任意常数 c a 0 b 0 d a 1 b 为任意常数 解 在 x 0 处可导一定在 x 0 处连续 所以 所以 b 0 所以 0 a c 是答案 7 设 f 0 0 则 f x 在 x 0 处可导的充要条件为 a h 存在 b 存在 c h 存在 d 存在 解 由 存在可推出 a 中的极限值为 b 中的极限值为 d 中的极限值为 而 c 中的极限为 反之 a 及 c 中的极限值存在 不一定 存在 举反例如下 y x 不 存在 a c 二表达式的极限都存在 排除 a 及 c d 中的极限存在 不一定 存在 举反例如下 排除 d 所以 b 是答案 由 b 推出 存在证明如下 所以 存在 8 设函数 f x 在 上可导 则 a 当 时 必有 b 当 时 必有 c 当 时 必有 d 当 时 必有 解 a 不正确 反例如下 y x b 不正确 反例如下 c 不正确 反 例如下 d 是答案 证明如下 因为 所以对于充分大的x 单增 如果 则证明结束 否则 单增有上界 则 存在 k 为有限数 任取 x 在区间 x x 1 上用拉格朗日定理 x 0 且 d f a 0 f x f x 在 x 0 可导 排除 c d 反 例 取 a 0 排除 d 所以 b 是答案 对于 b 证明如下 在 b 的条件下证明 不存在 不妨假设 所以存在 当 x a a 时 所以当x a时 f x 0 于是 当x a时 f x 0 于是 所以 不存在 三 计算题 理工类 1 解 2 已知 f u 可导 解 3 设 y 为 x 的函数是由方程 确定的 求 解 所以 4 已知 求 解 5 设 求 解 6 设函数 f x 二阶可导 且 求 解 所以 3 所以 7 设曲线 x x t y y t 由方程组 确定 求该曲线在 t 1 处的曲 率 解 所以 所以 所以 在 t 1 的曲率为 四 已知 其中 g x 有二阶连续导数 且 g 0 1 1 确定 a 的值 使 f x 在 x 0 点连续 2 求 解 1 f x 在 x 0 点连续 所以 所以 所以 g 0 cos 0 1 这说明条件 g 0 1 是多余的 所以 2 方法 1 0 x 所以 方法 2 五 已知当x 0 时 f x 有定义且二阶可导 问 a b c 为何值时 二阶可导 解 F x 连续 所