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3 4基本不等式 第1课时 高一数学必修5第三章 不等式 新课标人教A版 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 知识背景 国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议 大会颁发的菲尔茨奖 被誉为 数学领域的诺贝尔奖 它只授予40岁以下的年轻数学家 丘成桐是目前全球唯一的美籍华人菲尔茨数学奖得主 赵爽 弦图 a b 1 正方形ABCD的面积S 四个全等直角三角形的面积和S S与S 有什么样的不等关系 探究 如图 S S 4 问 那么S S 有相等的情况吗 如果有a b应满足 当a b时 重要不等式 如果 那么 当且仅当时取 号 提升总结 替换后得到 即 即 探究2 如果是正数 那么 基本不等式 均值定理 均值定理可以描述为 两个正数的算术平均数不小于 即大于或等于 它们的几何平均数 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当 时 中的等号成立 分析法 执果索因 证明不等式 a b A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 探究3 你能用下图得出基本不等式几何解释吗 OD与CD的大小关系怎样 OD CD 例1 1 如图 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 如图设BC x CD y 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 此时x y 10 x y A B D C 例1 2 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形花园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 设BC x CD y 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 得xy 81 当且仅当x y时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81m2 即x y 9 A B D C 例1 1 如图 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 2 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形花园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 得xy 81 由例1你能总结出什么结论吗 若两个正数 积为定值则和有最小值 和为定值则积有最大值 题后思 求最值注意什么 各项皆为正数 和或积为定值
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