2012考研数一真题及解析.doc

Born to win2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）【答案】：【解析】：，所以为垂直的 ，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选（2）【答案】：【解析】： 所以（3）【答案】：【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。（4）【答案】：(D)【解析】：看为以为自变量的函数，则可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D（5）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）（6）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）。（7）【答案】：（A）【解析】：的联合概率密度为则（8）【答案】：【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）【答案】：【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故（10）【答案】：【解析】：令得（11）【答案】：【解析】：（12）【答案】：【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中。故原式（13）【答案】：【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。（14）【答案】：【解析】：由条件概率的定义，其中，由于互不相容，即，又，得，代入得，故.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【解析】：令，可得当时，有，所以，故，而，即得所以。当，有，所以，故，即得可知，（16）【解析】：，先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为.又，所以，故在点处取得极大值.（17）【解析】：（18）【解析】：（1）曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为.故有，又因为所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数.（2）此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为：.（19）【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式 （20）【解析】：（）（）可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时, ，显然不符，故.（21）【解析】：1）由可得，2） 则矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：，（22）【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（1）（2），其中,所以，,.（23）【解析】：（1）因为，且与相互独立，故，