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不等式的证明 一 比较法 比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法 两种形式 作差法 作商法 几点说明 作较法证明不等式的思路 作差 商 变形 判断 作差法证题时 通常是进行因式分解 利用各因式的符号进行判断 或进行配方 利用非负数的性质进行判断 作商法证题时 通常要考虑式子的正负 尤其是作为除式式子的值必须确定符号 证幂指数 根式或乘积不等式时常用比商法 二 综合法 利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础 再运用不等式的性质推导出所要证的不等式 这种证明方法称为综合法 1 定义 2 证明思路 综合法的证题思路是由因导果 也就是从已知的不等式出发 不断地用必要条件代替前面的不等式 直接推导出所要证的不等式 已知a b c均为正数 证明下列不等式 4 若a b c是不全相等得正数 求证 lg lg lg lga lgb lgc 三 分析法 1 定义 从求证的不等式出发 层层推出使这个不等式成立的充分条件 直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容易证明的不等式为止 这种证明方法叫做分析法 2 证明思路 分析法的证题思路是执果索因 也就是从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题 如果能够肯定这些条件都已具备 那么就可以判定所证的不等式成立 这种方法在探求不等式的证明思路时是最有效的方法之一 典型练习 证明方法一 比较法 证明方法二 综合法 证明方法三 分析法 四 换元法 换元法是指结构较为复杂 量与量之间关系不很明显的命题 通过恰当引入新变量 代换原题中的部分式子 简化原有结构 使其转化为便于研究的形式 用换元法证明不等式时一定要注意新元的取值范围 1 定义 2 两种形式 1 三角换元 对于条件不等式的证明问题 当所给条件较复杂 一个变量不易用另一个变量表示 可考虑用三角代换 将复杂的代数问题转化为三角问题 2 增量代换 在对称式 任意互换两个字母 代数式不变 和给定字母顺序 如a b c 的不等式 常用增量进行代换 代换的目的是减少变量的个数 使要证的结论更清晰 思路更直观 这样可以使问题化难为易 化繁为简 均值代换 典型例题 增量代换 练习 是根据已知或构造出来的一元二次方程 一元二次不等式 二次函数的根 解集 函数的性质等特征确定出判别式所应满足的不等式 从而推出要证的不等式的方法 五 判别式法 1 定义 2 注意 考虑二次项系数是否可以为零 六 反证法 从否定结论出发 经过逻辑推理 导出矛盾 证实结论的否定是错误的 从而肯定原结论是正确的证明方法 1 定义 2 证明思路 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的 在使用反证法时 必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论 缺少任何一种可能 则反证法都是不完全的 七 放缩法 1 定义 欲证不等式A B 可通过适当放大或缩小 借助一个 或多个 中间量C作比较 使得A C与C B同时成立 由不等式的传递性知A B显然成立 这种方法叫做放缩法 利用放缩法证明不等式 要根据不等式两端的特征及已知条件 采取舍掉式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 把式子中的某些项换以较大或较小的数 从而达到证明不等式的目的 此类证法是一种技巧性较强的不等变形 必须时刻注意放缩的跨度 进行恰当地放缩 任何不适宜的放缩 放的过大或过小 都会导致推证的失败 2 证明思路