法向量解立体几何大题类型大题.doc

1. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面 ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PD与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（）证明 在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.()解 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，()解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.2 （2007福建理18）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求点C到平面A1BD的距离；（）证明 取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzABCDOFy，平面（）解 设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）解 由（），为平面法向量，点到平面的距离3.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直线BD与EF所成的角.解 ()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450.()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，.设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为4（2005江西）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）证明 （2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）解 设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.5. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M为BC的中点()证明：AMPM ；()求二面角PAMD的大小；zyxMPDCB()求点D到平面AMP的距离。() 证明 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得 即,AMPM . ()解 设，且平面PAM，则 即 ， 取，得 取，显然平面ABCD， 结合图形可知，二面角PAMD为45； () 设点D到平面PAM的距离为，由()可知与平面PAM垂直，则=即点D到平面PAM的距离为 6.(厦门市第二外国语学校20082009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，HDA=ABCDxyzH（）求DH与所成角的大小；（）求DH与平面所成角的大小解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系设则，连结，设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以即DH与所成的角为（）平面的一个法向量是因为， 所以可得DH与平面所成的角为ACDOBEyzx7.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离 证明 连结OC， 在中，由已知可得 而， ACDOBEyzx即 平面 (2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则， 异面直线AB与CD所成角的余弦值为解 设平面ACD的法向量为则，令得是平面ACD的一个法向量又点E到平面ACD的距离ABCDEF8.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.设，建立如图所示的坐标系，则.为的中点，. (1) 证明 ， ，平面，平面. (2) 证明 ， ，. 平面，又平面，平面平面. (3) 解 设平面的法向量为，由可得： ，取. 又，设和平面所成的角为，则 .直线和平面所成角的正弦值为. 9. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角的大小。（I）证明 如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）解 由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。（III）解 再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的大小为。10. ( 四川省成都市2008一诊) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz由平面几何知识知：AD4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)(1,0,1),(1,1,1)0，AF与BG所成角为 . (2) 可证明AD平面APB，平面APB的法向量为n(0,1,0)设平面CPD的法向量为m(1，y，z)由 故m(1,1,2)cos平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos.11. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45.( 1 )求二面角A-BD-C的大小；（2）求点C到平面ABD的距离.解 （1）如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 又平面的一个法向量 结合图形可知，二面角的大小为 （）由（）知DA1D1C1B1E1BACPO点到平面的距离11. (北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB等边三角形. （1）求二面角BACP的大小；（2）求点A到平面PCD的距离.解 （1）建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则A（1，0，0），B（1，0，0），则P（0，0，），C（1，2，0）设为平面PAC的一个法向量，则又令z=1，得得又是平面ABC的一个法向量，设二面角BACP的大小为，则（2）设为平面PCD的一个法向量.则 由D（1，2，0），可知），可得a=0，令，则c=2.得，设点A到平面PCD的距离为d，则点A到平面PCD的距离为12. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，在正四棱锥中，,点在棱上 ()问点在何处时，并加以证明；()当时,求点到平面的距离；()求二面角的大小.解 ()当E为PC中点时，连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，O为AC的中点，又E为中点，OE为ACP的中位线，又，.()作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.则, , ， ， ，设面的法向量为 , 点到平面的距离为. ()设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, . 13. (北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，平面平面. （）求证：； （）求二面角的大小；（）求异面直线和所成角的大小. 作于点， 平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 . . .，. （）证明 . 又. （）解 作于点，连结.平面， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. 在中， ， 从而， 即二面角的大小是. （）解，EO1OD1C1B1DCBAA1 异面直线和所成角的大小为arccos.14.(广东地区2008年01月份期末试题) 如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB=60的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点.（1）求二面角O1BCD的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离.解 (1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）底面ABCD是边长为4，