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第七章常微分方程 高等数学所研究的函数 是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系 但在实际问题中遇到稍为复杂的一些运动时 反应量与量之间的关系往往不能直接写出来 却比较容易地建立起这些变量及它们的导数 或微分 间的关系 这中联系着自变量 未知函数及它的导数 或微分 的关系式 数学上称为微分方程 解 一 问题的提出 1 微分方程的基本概念 P294 1 解 P294 2 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 微分方程 凡表示未知函数 未知函数的导数或微分及自变量之间关系的方程叫微分方程 例 实质 联系自变量 未知函数以及未知函数的某些导数 或微分 之间的关系式 二 微分方程的定义 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之 分类1 常微分方程 偏微分方程 一阶微分方程 高阶 n 微分方程 分类2 分类3 线性与非线性微分方程 分类4 单个微分方程与微分方程组 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 微分方程的解的分类 三 主要问题 求方程的解 1 通解 微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 初始条件 用来确定任意常数的条件 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 解 P297 3 所求特解为 问题1 是否所有的微分方程都存在通解 以上三个方程 有的没有实函数解 有的有解 但解中不含任意常数 所以 上述三个方程都不存在通解 问题2 微分方程的通解是否包含它所有的解 答 微分方程的通解不一定包含它所有的解 特殊的 未知函数的最高阶导数的系数为1的线性微分方程的通解能包含所有的解 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 通解 初始条件 特解 初值问题 积分曲线 小结 本节基本概念 思考题 思考
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