2013年中考数学复习专题讲座方案设计型问题-PDF.pdf

1 1 4141 2013 年中考数学复习专题讲座 方案设计型问题年中考数学复习专题讲座 方案设计型问题 一 中考专题诠释一 中考专题诠释 方案设计型问题 是指根据问题所提供的信息 运用学过的技能和方法 进 行设计和操作 然后通过分析 计算 证明等 确定出最佳方案的一类数学问题 随着新课程改革的不断深入 一些新颖 灵活 密切联系实际的方案设计问 题正越来越受到中考命题人员的喜爱 这些问题主要考查学生动手操作能力和创 新能力 这也是新课程所要求的核心内容之一 二 解题策略和解法精讲二 解题策略和解法精讲 方案设计型问题涉及生产生活的方方面面 如 测量 购物 生产配料 汽 车调配 图形拼接等 所用到的数学知识有方程 不等式 函数 解直角三角形 概率和统计等知识 这类问题的应用性非常突出 题目一般较长 做题之前要认 真读题 理解题意 选择和构造合适的数学模型 通过数学求解 最终解决问题 解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力 另外 解题时还 要注重综合运用转化思想 数形结合的思想 方程函数思想及分类讨论等各种数 学思想 三 中考考点精讲三 中考考点精讲 考点一 设计测量方案问题考点一 设计测量方案问题 这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量 所用到的数学知识主度的测量 所用到的数学知识主 要有相似 全等 三角形中位线 投影 解直角三角形等 要有相似 全等 三角形中位线 投影 解直角三角形等 例例 1 2012 河南 某宾馆为庆祝开业 在楼前悬挂了许多宣传条幅 如图所 示 一条幅从楼顶 A 处放下 在楼前点 C 处拉直固定 小明为了测量此条幅的 长度 他先在楼前 D 处测得楼顶 A 点的仰角为 31 再沿 DB 方向前进 16 米到 达E处 测得点A的仰角为45 已知点C到大厦的距离BC 7米 ABD 90 请 根据以上数据求条幅的长度 结果保留整数 参考数据 tan31 0 60 sin31 0 52 cos31 0 86 2 2 4141 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 设 AB x 米 根据 AEB 45 ABE 90 得到 BE AB x 然后在 Rt ABD 中得到 tan31 求得 x 24 然后在 Rt ABC 中 利用勾股定理求得 AC 即可 解答 解 设 AB x 米 AEB 45 ABE 90 BE AB x 在 Rt ABD 中 tan D 即 tan31 x 24 即 AB 24 米 在 Rt ABC 中 AC 25 即条幅的长度约为 25 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 解题的关键是从实际问题中整理出直角 三角形并求解 考点二 设计搭配方案问题考点二 设计搭配方案问题 这类问题不仅在中考中经常出现 大家在平时的练习中也会经常碰到 它这类问题不仅在中考中经常出现 大家在平时的练习中也会经常碰到 它 一般给出两种元素 利用这两种元素搭配出不同的新事物 设计出方案 使获一般给出两种元素 利用这两种元素搭配出不同的新事物 设计出方案 使获 利最大或成本最低 解题时要根据题中蕴含的不等关系 列出不等式 组 利最大或成本最低 解题时要根据题中蕴含的不等关系 列出不等式 组 通过不等式组的整数解来确定方案 通过不等式组的整数解来确定方案 例例 2 2012 内江 某市为创建省卫生城市 有关部门决定利用现有的 4200 盆 甲种花卉和 3090 盆乙种花卉 搭配 A B 两种园艺造型共 60 个 摆放于入城大 道的两侧 搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示 结合上述信息 解答下 列问题 16 x x AB BD 16 x x 16tan31 1tan31 16 0 6 1 0 6 2222 724BCAB 3 3 4141 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 1 符合题意的搭配方案有几种 2 如果搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元 搭配一个 B 种造型的成本为 1500 元 试说明选用那种方案成本最低 最低成本为多少元 考点 一元一次不等式组的应用 专题 应用题 图表型 分析 1 设需要搭配 x 个 A 种造型 则需要搭配 B 种造型 60 x 个 根 据 4200 盆甲种花卉 3090 盆乙种花卉 列不等式求解 取整数值即可 2 计算出每种方案的花费 然后即可判断出答案 解答 解 1 设需要搭配 x 个 A 种造型 则需要搭配 B 种造型 60 x 个 则有 解得 37 x 40 所以 x 37 或 38 或 39 或 40 第一方案 A 种造型 37 个 B 种造型 23 个 第二种方案 A 种造型 38 个 B 种造型 22 个 第三种方案 A 种造型 39 个 B 种造型 21 个 第四种方案 A 种造型 40 个 B 种造型 20 个 2 分别计算三种方案的成本为 37 1000 23 1500 71500 元 38 1000 22 1500 71000 元 39 1000 21 1500 70500 元 40 1000 20 1500 70000 元 通过比较可知第 种方案成本最低 答 选择第四种方案成本最低 最低位 70000 元 4 4 4141 点评 此题考查了一元一次不等式组的应用 是一道实际问题 有一定的开放 性 1 根据图表信息 利用所用花卉数量不超过甲 乙两种花卉的最高数量列 不等式组解答 2 为最优化问题 根据 1 的结果直接计算即可 考点三 设计销售方案问题考点三 设计销售方案问题 在商品买卖中 更多蕴含着数学的学问 在形形色色的让利 打折 买一赠在商品买卖中 更多蕴含着数学的学问 在形形色色的让利 打折 买一赠 一 摸奖等促销活动中 大家不能被表象所迷惑 需要理智的分析 通过计算不一 摸奖等促销活动中 大家不能被表象所迷惑 需要理智的分析 通过计算不 同的销售方案盈利情况 可以帮助我们明白更多的道理 近来还出现运用概率统同的销售方案盈利情况 可以帮助我们明白更多的道理 近来还出现运用概率统 计知识进行设计的问题 计知识进行设计的问题 例例 5 2012 广安 某学校为了改善办学条件 计划购置一批电子白板和一批笔 记本电脑 经投标 购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元 购买 4 块电子白板和 5 台笔记本电脑共需 80000 元 1 求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元 2 根据该校实际情况 需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396 要求购 买的总费用不超过 2700000 元 并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数 量的 3 倍 该校有哪几种购买方案 3 上面的哪种购买方案最省钱 按最省钱方案购买需要多少钱 考点 一元一次不等式组的应用 二元一次方程组的应用 分析 1 设购买 1 块电子白板需要 x 元 一台笔记本电脑需要 y 元 由题意 得等量关系 买 1 块电子白板的钱 买 3 台笔记本电脑的钱 3000 元 购买 4块电子白板的费用 5台笔记本电脑的费用 80000元 由等量关系可得方程组 解方程组可得答案 2 设购买电子白板 a 块 则购买笔记本电脑 396 a 台 由题意得不等关 系 购买笔记本电脑的台数 购买电子白板数量的 3 倍 电子白板和笔记本 电脑总费用 2700000 元 根据不等关系可得不等式组 解不等式组 求出整数 解即可 3 由于电子白板贵 故少买电子白板 多买电脑 根据 2 中的方案确定买 的电脑数与电子白板数 再算出总费用 5 5 4141 解答 解 1 设购买 1 块电子白板需要 x 元 一台笔记本电脑需要 y 元 由 题意得 解得 答 购买 1 块电子白板需要 15000 元 一台笔记本电脑需要 4000 元 2 设购买电子白板 a 块 则购买笔记本电脑 396 a 台 由题意得 解得 99 a 101 a 为正整数 a 99 100 101 则电脑依次买 297 台 296 台 295 台 因此该校有三种购买方案 方案一 购买笔记本电脑 295 台 则购买电子白板 101 块 方案二 购买笔记本电脑 296 台 则购买电子白板 100 块 方案三 购买笔记本电脑 297 台 则购买电子白板 99 块 3 解法一 购买笔记本电脑和电子白板的总费用为 方案一 295 4000 101 15000 2695000 元 方案二 296 4000 100 15000 2684000 元 方案三 297 4000 99 15000 2673000 元 因此 方案三最省钱 按这种方案共需费用 2673000 元 解法二 设购买笔记本电脑数为 z 台 购买笔记本电脑和电子白板的总费用为 W 元 则 W 4000z 15000 396 z 11000z 5940000 W 随 z 的增大而减小 当 z 297 时 W 有最小值 2673000 元 6 6 4141 因此 当购买笔记本电脑 297 台 购买电子白板 99 块时 最省钱 这时共需费 用 2673000 元 点评 此题主要考查了二元一次方程组的应用 不等式组的应用 关键是弄清 题意 找出题目中的等量关系与不等关系 列出方程组与不等式组 考点四 设计图案问题考点四 设计图案问题 图形的分割 拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题 图形的分割 拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题 在各地的中考试题中经常出现 在各地的中考试题中经常出现 这类问题大多具有一定的开放性 要求学生多这类问题大多具有一定的开放性 要求学生多 角度 多层次的探索 以展示思维的灵活性 发散性 创新性 角度 多层次的探索 以展示思维的灵活性 发散性 创新性 例例 6 2012 遵义 在 4 4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放 移动 其中一个正方形到空白方格中 与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图 形 这样的移法共有 种 考点 利用轴对称设计图案 分析 根据轴对称图形的性质 分别移动一个正方形 即可得出符合要求的答案 解答 解 如图所示 故一共有 13 种做法 7 7 4141 故答案为 13 点评 此题主要考查了利用轴对称设计图案 熟练利用轴对称设计图案关键是要 熟悉轴对称的性质 利用轴对称的作图方法来作图 通过变换对称轴来得到不同 的图案 四 真题演练四 真题演练 一 选择题一 选择题 2 2012 本溪 下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是 A B C D 考点 利用平移设计图案 专题 探究型 分析 根据平移及旋转的性质对四个选项进行逐一分析即可 解答 解 A 是利用图形的旋转得到的 故本选项错误 B 是利用图形的旋转和平移得到的 故本选项错误 C 是利用图形的平移得到的 故本选项正确 D 是利用图形的旋转得到的 故本选项错误 故选 C 点评 本题考查的是利用平移设计图案 熟知图形经过平移后所得图形与原图形 全等是解答此题的关键 3 2012 丽水 在方格纸中 选择标有序号 中的一个小正方形涂黑 与图中阴影部分构成中心对称图形 该小正方形的序号是 A B C D 8 8 4141 考点 利用旋转设计图案 分析 通过观察发现 当涂黑 时 所形成的图形关于点 A 中心对称 解答 解 如图 把标有序号 的白色小正方形涂黑 就可以使图中的黑色部分 构成一个中心对称图形 故选 B 点评 本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义 要知道 一个图形 绕端点旋转 180 所形成的图形叫中心对称图形 4 2012 广元 下面的四个图案中 既可用旋转来分析整个图案的形成过程 又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 考点 利用旋转设计图案 利用轴对称设计图案 分析 根据旋转 轴对称的定义来分析 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动 轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠 直线两侧的图形能够互相重合 就是 轴对称 解答 解 图形 1 可以旋转 90 得到 也可以经过轴对称 沿一条直线对折 能 够完全重合 图形 2 可以旋转 180 得到 也可以经过轴对称 沿一条直线对折 能够完全重 合 图形 3 可以旋转 180 得到 也可以经过轴对称 沿一条直线对折 能够完全重 9 9 4141 合 图形 4 可以旋转 90 得到 也可以经过轴对称 沿一条直线对折 能够完全重合 故既可用旋转来分析整个图案的形成过程 又可用轴对称来分析整个图案的形成 过程的图案有 4 个 故选 A 点评 考查了旋转和轴对称的性质 旋转变化前后 对应线段 对应角分别相 等 图形的大小 形状都不改变 两组对应点连线的交点是旋转中心 轴对称 图形的对应线段 对应角相等 二 填空题二 填空题 5 2012 杭州 如图 平面直角坐标系中有四个点 它们的横纵坐标均为整数 若 在此平面直角坐标系内移动点 A 使得这四个点构成的四边形是轴对称图形 并 且点 A 的横坐标仍是整数 则移动后点 A 的坐标为 考点 利用轴对称设计图案 分析 根据轴对称图形的定义 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分 能够互相重合 这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 把 A 进行移 动可得到点的坐标 注意考虑全面 1010 4141 解答 解 如图所示 A 1 1 A 2 2 C 0 2 D 2 3 故答案为 1 1 2 2 0 2 2 3 点评 此题主要考查了利用轴对称设计图案 关键是掌握轴对称图形的定义 根 据 3 个定点所在位置 找出 A 的位置 6 2012 漳州 利用对称性可设计出美丽的图案 在边长为 1 的方格纸中 有 如图所示的四边形 顶点都在格点上 1 先作出该四边形关于直线 l 成轴对称的图形 再作出你所作的图形连同原 四边形绕 0 点按顺时针方向旋转 90 后的图形 2 完成上述设计后 整个图案的面积等于 考点 利用旋转设计图案 利用轴对称设计图案 专题 探究型 分析 1 根据图形对称的性质先作出关于直线 l 的对称图形 再作出所作的 图形连同原四边形绕 0 点按顺时针方向旋转 90 后的图形即可 2 先利用割补法求出原图形的面积 由图形旋转及对称的性质可知经过旋转 1111 4141 与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论 解答 解 1 如图所示 先作出关于直线 l 的对称图形 再作出所作的图形连同原四边形绕 0 点按顺时针方向 旋转 90 后的图形 2 边长为 1 的方格纸中一个方格的面积是 1 原图形的面积为 5 整个图案的面积 4 5 20 故答案为 20 点评 本题考查的是利用旋转及轴对称设计图案 熟知经过旋转与轴对称所得图 形与原图形全等是解答此题的关键 三 解答题三 解答题 7 2012 山西 实践与操作 如图 1 是以正方形两顶点为圆心 边长为半径 画两段相等的圆弧而成的轴对称图形 图 2 是以图 1 为基本图案经过图形变换拼 成的一个中心对称图形 1212 4141 1 请你仿照图 1 用两段相等圆弧 小于或等于半圆 在图 3 中重新设计 一个不同的轴对称图形 2 以你在图 3 中所画的图形为基本图案 经过图形变换在图 4 中拼成一个中 心对称图形 考点 利用旋转设计图案 利用轴对称设计图案 分析 1 利用正方形边长的一半为半径 以边长中点为圆心画半圆 画出两 个半圆即可得出答案 2 利用 1 中图象 直接拼凑在一起得出答案即可 解答 解 1 在图 3 中设计出符合题目要求的图形 2 在图 4 中画出符合题目要求的图形 评分说明 此题为开放性试题 答案不唯一 只要符合题目要求即可给分 点评 此题主要考查了利用轴对称设计图案 仿照已知 利用轴对称图形的定义 作出轴对称图形是解题关键 9 2012 丹东 南中国海是中国固有领海 我渔政船经常在此海域执勤巡察 一 天我渔政船停在小岛 A 北偏西 37 方向的 B 处 观察 A 岛周边海域 据测算 渔政船距 A 岛的距离 AB 长为 10 海里 此时位于 A 岛正西方向 C 处的我渔船遭 到某国军舰的袭扰 船长发现在其北偏东 50 的方向上有我方渔政船 便发出紧 急求救信号 渔政船接警后 立即沿 BC 航线以每小时 30 海里的速度前往救助 问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的 C 处 参考数据 sin37 0 60 1313 4141 cos37 0 80 sin50 0 77 cos50 0 64 sin53 0 80 cos53 0 60 sin40 0 64 cos40 0 77 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 分析 首先 B 点作 BD AC 垂足为 D 根据题意 得 ABD BAM 37 CBD BCN 50 然后分别在 Rt ABD 与 Rt CBD 中 利用余弦函数求得 BD 与 BC 的长 继而求得答案 解答 解 过 B 点作 BD AC 垂足为 D 根据题意 得 ABD BAM 37 CBD BCN 50 在 Rt ABD 中 cos ABD cos37 0 80 BD 10 0 8 8 海里 在 Rt CBD 中 cos CBD cos50 0 64 BC 8 0 64 12 5 海里 BD AB 10 BD BD BC 8 BC 1414 4141 12 5 30 小时 60 25 分钟 答 渔政船约 25 分钟到达渔船所在的 C 处 点评 此题考查了方向角问题 此题难度适中 解题的关键是利用方向角构造直 角三角形 然后解直角三角形 注意数形结合思想的应用 10 2012 长春 如图 有一个晾衣架放置在水平地面上 在其示意图中 支 架 OA OB 的长均为 108cm 支架 OA 与水平晾衣杆 OC 的夹角 AOC 为 59 求支架两个着地点之间的距离 AB 结果精确到 0 1cm 参考数据 sin59 0 86 cos59 0 52 tan59 1 66 考点 解直角三角形的应用 分析 作 OD AB 于点 D 在直角三角形 OAD 中 利用已知角的余弦值和 OA 的长求得 AD 的长即可求得线段 AB 的长 解答 解 作 OD AB 于点 D OA OB AD BD OC AB OAB 59 在 RtAOD 中 AD OA cos59 AB 2AD 2OA cos59 2 108 0 52 112 3cm 答 支架两个着地点之间的距离 AB 约为 112 3cm 点评 本题考查了解直角三角形的应用 解题的关键是正确构造直角三角形并求 5 12 5 12 1515 4141 解 12 2012 河池 随着人们环保意识的不断增强 我市家庭电动自行车的拥有量 逐年增加 据统计 某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆 2011 年底家 庭电动自行车的拥有量达到 180 辆 1 若该小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相 同 则该小区到 2012 年底电动自行车将达到多少辆 2 为了缓解停车矛盾 该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位 据测算 建造费用分别为室内车位 1000 元 个 露天车位 200 元 个 考虑到实际因素 计 划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍 但不超过室内车位的 2 5 倍 则该小 区最多可建两种车位各多少个 试写出所有可能的方案 考点 一元二次方程的应用 一元一次不等式组的应用 分析 1 设年平均增长率是 x 根据某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆 2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180 辆 可求出增长率 进而可 求出到 2012 年底家庭电动车将达到多少辆 2 设建 x 个室内车位 根据投资钱数可表示出露天车位 根据计划露天车位 的数量不少于室内车位的2倍 但不超过室内车位的3倍 可列出不等式组求解 进而可求出方案情况 解答 解 1 设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为 x 则 125 1 x 2 180 解得 x1 0 2 25 x2 2 2 不合题意 舍去 180 1 20 216 辆 答 该小区到 2012 年底家庭电动自行车将达到 216 辆 2 设该小区可建室内车位 a 个 露天车位 b 个 1616 4141 则 由 得 b 150 5a 代入 得 20 a a 是正整数 a 20 或 21 当 a 20 时 b 50 当 a 21 时 b 45 方案一 建室内车位 20 个 露天车位 50 个 方案二 室内车位 21 个 露天车位 45 个 点评 本题考查了一元二次方程的应用 关键是先求出增长率 再求出 2012 年的家庭电动自行车量 然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组 求解 15 2012 丹东 某商场为了吸引顾客 设计了一种促销活动 在一个不透明 的箱子里放有 4 个完全相同的小球 球上分别标有 0 元 10 元 30 元 和 50 元 的字样 规定 顾客在本商场同一日内 消费每满 300 元 就可以从箱子里 先后摸出两个球 每次只摸出一个球 第一次摸出后不放回 商场根据两个小 球所标金额之和返还相应价格的购物券 可以重新在本商场消费 某顾客消费刚 好满 300 元 则在本次消费中 1 该顾客至少可得 元购物券 至多可得 元购物券 2 请用画树状图或列表法 求出该顾客所获购物券的金额不低于 50 元的概率 考点 列表法与树状图法 分析 1 根据题意即可求得该顾客至少可得的购物券 至多可得的购物券的 金额 2 首先根据题意列出表格 然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获 购物券的金额不低于 50 元的情况 再利用概率公式求解即可求得答案 解答 解 1 根据题意得 该顾客至少可得购物券 0 10 10 元 至多 可得购物券 30 50 80 元 1717 4141 故答案为 10 80 2 列表得 0 10 30 50 0 0 10 0 30 0 50 10 10 0 10 30 10 50 30 30 0 30 10 30 50 50 50 0 50 10 50 30 两次摸球可能出现的结果共有 12 种 每种结果出现的可能性相同 而所获购 物券的金额不低于 50 元的结果共有 6 种 该顾客所获购物券的金额不低于 50 元的概率是 点评 此题考查的是用列表法或树状图法求概率 注意画树状图法与列表法可以 不重复不遗漏的列出所有可能的结果 列表法适合于两步完成的事件 树状图法 适合两步或两步以上完成的事件 注意此题是不放回实验 17 2012 铁岭 为奖励在文艺汇演中表现突出的同学 班主任派生活委员小亮 到文具店为获奖同学购买奖品 小亮发现 如果买 1 个笔记本和 3 支钢笔 则需 要 18 元 如果买 2 个笔记本和 5 支钢笔 则需要 31 元 1 求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元 2 班主任给小亮的班费是 100 元 需要奖励的同学是 24 名 每人奖励一件奖 品 若购买的钢笔数不少于笔记本数 求小亮有哪几种购买方案 考点 一元一次不等式组的应用 二元一次方程组的应用 分析 1 每个笔记本 x 元 每支钢笔 y 元 根据题意列出方程组求解即可 1 2 1818 4141 2 设购买笔记本 m 个 则购买钢笔 24 m 个利用总费用不超过 100 元和 钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得 m 的取值范围后即可确定方案 解答 解 1 设每个笔记本 x 元 每支钢笔 y 元 依题意得 解得 答 设每个笔记本 3 元 每支钢笔 5 元 2 设购买笔记本 m 个 则购买钢笔 24 m 个 依题意得 解得 12 m 10 m 取正整数 m 10 或 11 或 12 有三种购买方案 购买笔记本 10 个 则购买钢笔 14 个 购买笔记本 11 个 则购买钢笔 13 个 购买笔记本 12 个 则购买钢笔 12 个 点评 本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用 解题的关 键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式 18 2012 南充 学校 6 名教师和 234 名学生集体外出活动 准备租用 45 座大 车或 30 座小车 若租用 1 辆大车 2 辆小车共需租车费 1000 元 若租用 2 辆大车 一辆小车共需租车费 1100 元 1 求大 小车每辆的租车费各是多少元 2 若每辆车上至少要有一名教师 且总租车费用不超过 2300 元 求最省钱的 租车方案 考点 一元一次不等式组的应用 二元一次方程组的应用 1919 4141 分析 1 设大车每辆的租车费是 x 元 小车每辆的租车费是 y 元 根据题意 租用 1 辆大车 2 辆小车共需租车费 1000 元 租用 2 辆大车一辆小车共需租车 费 1100 元 列出方程组 求解即可 2 根据汽车总数不能小于 取整为 6 辆 即可求出共需租汽车的辆数 设出租用大车 m 辆 则租车费用 Q 单位 元 是 m 的函数 由题意得出 100m 1800 2300 得出取值范围 分析得出即可 解答 解 1 设大车每辆的租车费是 x 元 小车每辆的租车费是 y 元 可得方程组 解得 答 大车每辆的租车费是 400 元 小车每辆的租车费是 300 元 2 由每辆汽车上至少要有 1 名老师 汽车总数不能大于 6 辆 由要保证 240 名师生有车坐 汽车总数不能小于 取整为 6 辆 综合起来可知汽车总数为 6 辆 设租用 m 辆甲种客车 则租车费用 Q 单位 元 是 m 的函数 即 Q 400m 300 6 m 化简为 Q 100m 1800 依题意有 100m 1800 2300 m 5 又要保证 240 名师生有车坐 m 不小于 4 所以有两种租车方案 方案一 4 辆大车 2 辆小车 方案二 5 辆大车 1 辆小车 Q 随 m 增加而增加 当 m 4 时 Q 最少为 2200 元 故最省钱的租车方案是 4 辆大车 2 辆小车 2020 4141 点评 本题考查了二元一次方程组的应用 一元一次不等式的应用和理解题意 的能力 关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系 列出方程组和不等式 求解 19 2012 朝阳 为支持抗震救灾 我市 A B 两地分别有赈灾物资 100 吨和 180 吨 需全部运往重灾区 C D 两县 根据灾区的情况 这批赈灾物资运往 C 县的 数量比运往 D 县的数量的 2 倍少 80 吨 1 求这批赈灾物资运往 C D 两县的数量各是多少吨 2 设 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨 x 为整数 若要 B 地运往 C 县 的赈灾物资数量大于 A 地运往 D 县赈灾物资数量的 2 倍 且要求 B 地运往 D 县 的赈灾物资数量不超过 63 吨 则 A B 两地的赈灾物资运往 C D 两县的方案 有几种 考点 一元一次不等式组的应用 二元一次方程组的应用 专题 调配问题 分析 1 设运往 C 县的物资是 a 吨 D 县的物资是 b 吨 然后根据运往两地 的物资总量列出一个方程 再根据运往 C D 两县的数量关系列出一个方程 然 后联立组成方程组求解即可 2 根据 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨 表示出 B 地运往 C 县的物资 是 160 x 吨 A 地运往 D 县的物资是 100 x 吨 B 地运往 D 县的物资 是 120 100 x 20 x 吨 然后根据 B 地运往 C 县的赈灾物资数量大于 A 地运往 D 县赈灾物资数量的 2 倍 列出一个不等式 根据 B 地运往 D 县的赈 灾物资数量不超过 63 吨 列出一个不等式 组成不等式组并求解 再根据 x 为整 数即可得解 解答 解 1 设运往 C 县的物资是 a 吨 D 县的物资是 b 吨 根据题意得 解得 答 这批赈灾物资运往 C D 两县的数量各是 160 吨 120 吨 2121 4141 2 设 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨 则 B 地运往 C 县的物资是 160 x 吨 A 地运往 D 县的物资是 100 x 吨 B 地运往 D 县的物资是 120 100 x 20 x 吨 根据题意得 解不等式 得 x 40 解不等式 得 x 43 所以 不等式组的解集是 40 x 43 x 是整数 x 取 41 42 43 方案共有 3 种 分别为 方案一 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 41 吨 则 B 地运往 C 县的物资是 119 吨 A 地运往 D 县的物资是 59 吨 B 地运往 D 县的物资是 61 吨 方案二 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 42 吨 则 B 地运往 C 县的物资是 118 吨 A 地运往 D 县的物资是 58 吨 B 地运往 D 县的物资是 62 吨 方案三 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 43 吨 则 B 地运往 C 县的物资是 117 吨 A 地运往 D 县的物资是 57 吨 B 地运往 D 县的物资是 63 吨 点评 本题考查了一元一次不等式组的应用 二元一次方程组的应用 找出题 目中的数量关系是解题的关键 2 难点在于根据 A 地运往 C 县的赈灾物资数 量为 x 吨 表示出运往其他县的物资是解题的关键 20 2012 北海 某班有学生 55 人 其中男生与女生的人数之比为 6 5 1 求出该班男生与女生的人数 2 学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团 要求 男生人数不少于 7 人 女生人数超过男生人数 2 人以上 请问男 女生人数有几种选择方案 2222 4141 考点 一元一次不等式组的应用 一元一次方程的应用 分析 1 设男生有 6x 人 则女生有 5x 人 根据男女生的人数的和是 55 人 即可列方程求解 2 设选出男生 y 人 则选出的女生为 20 y 人 根据 男生人数不少于 7 人 女生人数超过男生人数 2 人以上 即可列出不等式组 从而求得 y 的范 围 再根据 y 是整数 即可求得 y 的整数值 从而确定方案 解答 解 1 设男生有 6x 人 则女生有 5x 人 1 分 依题意得 6x 5x 55 2 分 x 5 6x 30 5x 25 3 分 答 该班男生有 30 人 女生有 25 人 4 分 2 设选出男生 y 人 则选出的女生为 20 y 人 5 分 由题意得 6 分 解之得 7 y 9 y 的整数解为 7 8 7 分 当 y 7 时 20 y 13 当 y 8 时 20 y 12 答 有两种方案 即方案一 男生 7 人 女生 13 人 方案二 男生 8 人 女生 12 人 8 分 点评 本题考查一元一次不等式组的应用 将现实生活中的事件与数学思想联 系起来 读懂题列出不等式关系式即可求解 21 2012 温州 温州享有 中国笔都 之称 其产品畅销全球 某制笔企业欲将 n 件产品运往 A B C 三地销售 要求运往 C 地的件数是运往 A 地件数的 2 倍 各地的运费如图所示 设安排 x 件产品运往 A 地 1 当 n 200 时 根据信息填表 2323 4141 A 地 B 地 C 地 合计 产品件数 件 x 2x 200 运费 元 30 x 若运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数 总运费不超过 4000 元 则有哪几 种运输方案 2 若总运费为 5800 元 求 n 的最小值 考点 一次函数的应用 一元一次不等式组的应用 专题 应用题 分析 1 运往 B 地的产品件数 总件数 n 运往 A 地的产品件数 运往 B 地的产品件数 运费 相应件数 一件产品的运费 根据运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数 总运费不超过 4000 元列出不等 式组 求得整数解的个数即可 2 总运费 A 产品的运费 B 产品的运费 C 产品的运费 进而根据函数的增减 性及 1 中 得到的 x 的取值求得 n 的最小值即可 解答 解 1 根据信息填表 A 地 B 地 C 地 合计 产品件数 件 200 3x 运费 1600 24x 50 x 56x 1600 由题意 得 解得 40 x 42 x 为整数 x 40 或 41 或 42 有三种方案 分别是 i A 地 40 件 B 地 80 件 C 地 80 件 ii A 地 41 件 B 地 77 件 C 地 82 件 2424 4141 iii A 地 42 件 B 地 74 件 C 地 84 件 2 由题意 得 30 x 8 n 3x 50 x 5800 整理 得 n 725 7x n 3x 0 x 72 5 又 x 0 0 x 72 5 且 x 为整数 n 随 x 的增大而减少 当 x 72 时 n 有最小值为 221 点评 考查一次函数的应用 得到总运费的关系式是解决本题的关键 注意结 合自变量的取值得到 n 的最小值 23 2012 深圳 节能环保 低碳生活 是我们倡导的一种生活方式 某家电商 场计划用 11 8 万元购进节能型电视机 洗衣机和空调共 40 台 三种家电的进价 和售价如表所示 进价 元 台 售价 元 台 电视机 5000 5500 洗衣机 2000 2160 空 调 2400 2700 1 在不超出现有资金的前提下 若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同 空调的数量不超过电视机的数量的 3 倍 请问商场有哪几种进货方案 2 在 2012 年消费促进月 促销活动期间 商家针对这三种节能型产品推出 现 金每购 1000 元送 50 元家电消费券一张 多买多送 的活动 在 1 的条件下 若三种电器在活动期间全部售出 商家预估最多送出多少张 考点 一次函数的应用 一元一次不等式组的应用 价 格 种类 2525 4141 分析 1 设购进电视机 x 台 则洗衣机是 x 台 空调是 40 2x 台 根据 空调的数量不超过电视机的数量的 3 倍 且 x 以及 40 2x 都是非负整数 即可 确定 x 的范围 从而确定进货方案 2 三种电器在活动期间全部售出的金额 可以表示成 x 的函数 根据函数的 性质 即可确定 y 的最大值 从而确定所要送出的消费券的最大数目 解答 解 1 设购进电视机 x 台 则洗衣机是 x 台 空调是 40 2x 台 根据题意得 解得 8 x 10 根据 x 是整数 则从 8 到 10 共有 3 个正整数 分别是 8 9 10 因而有 3 种方 案 方案一 电视机 8 台 洗衣机 8 台 空调 24 台 方案二 电视机 9 台 洗衣机 9 台 空调 22 台 方案三 电视机 10 台 洗衣机 10 台 空调 20 台 2 三种电器在活动期间全部售出的金额 y 5500 x 2160 x 2700 40 2x 即 y 2260 x 108000 由一次函数性质可知 当 x 最大时 y 的值最大 x 的最大值是 10 则 y 的最大值是 2260 10 108000 130600 元 由现金每购 1000 元送 50 元家电消费券一张 可知 130600 元的销售总额最多送 出 130 张消费券 点评 本题考查了不等式组的应用以及一次函数的应用 正确确定 x 的条件是 解题的关键 24 2012 黔西南州 某工厂计划生产 A B 两种产品共 10 件 其生产成本和 利润如下表 A 种产品 B 种产品 2626 4141 成本 万元 件 2 5 利润 万元 件 1 3 1 若工厂计划获利 14 万元 问 A B 两种产品应分别生产多少件 2 若工厂计划投入资金不多于 44 万元 且获利多于 14 万元 问工厂有哪几 种生产方案 3 在 2 的条件下 哪种生产方案获利最大 并求出最大利润 考点 一次函数的应用 一元一次方程的应用 一元一次不等式组的应用 分析 1 设生产 A 种产品 x 件 则生产 B 种产品有 10 x 件 根据计划获 利 14 万元 即两种产品共获利 14 万元 即可列方程求解 2 根据计划投入资金不多于 44 万元 且获利多于 14 万元 这两个不等关系 即可列出不等式组 求得 x 的范围 再根据 x 是非负整数 确定 x 的值 x 的值 的个数就是方案的个数 3 由已知可得 B 产品生产越多 获利越大 因而 B 取最大值时 获利最大 据此即可求解 解答 解 1 设生产 A 种产品 x 件 则生产 B 种产品 10 x 件 于是有 x 3 10 x 14 解得 x 8 则 10 x 10 8 2 件 所以应生产 A 种产品 8 件 B 种产品 2 件 2 设应生产 A 种产品 x 件 则生产 B 种产品有 10 x 件 由题意有 解得 2 x 8 所以可以采用的方案有 共 6 种方 案 3 由已知可得 B 产品生产越多 获利越大 所以当时可获得最大利润 其最大利润为 2 1 8 3 26 万元 2727 4141 点评 本题考查理解题意的能力 关键从表格种获得成本价和利润 然后根据 利润这个等量关系列方程 根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式 组分别求出解 然后求出哪种方案获利最大从而求出来 25 2012 攀枝花 煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一 煤炭生产企业需要对煤 炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划 某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往 A B 两厂 通过了解获得 A B 两厂的有关信息如下表 表中运费栏 元 t km 表示 每吨煤炭运送一千米所需的费用 厂别 运费 元 t km 路程 km 需求量 t A 0 45 200 不超过 600 B a a 为常数 150 不超过 800 1 写出总运费 y 元 与运往 A 厂的煤炭量 x t 之间的函数关系式 并写 出自变量的取值范围 2 请你运用函数有关知识 为该煤矿设计总运费最少的运送方案 并求出最 少的总运费 可用含 a 的代数式表示 考点 一次函数的应用 一元一次不等式组的应用 分析 1 根据总费用 运往 A 厂的费用 运往 B 厂的费用 经化简后可得出 y 与 x 的函数关系式 2 根据图表中给出的判定吨数的条件 算出自变量的取值范围 然后根据函 数的性质来算出所求的方案 解答 解 1 若运往 A 厂 x 吨 则运往 B 厂为 1000 x 吨 依题意得 y 200 0 45x 150 a 1000 x 90 x 150ax 150000a 90 150a x 150000a 依题意得 解得 200 x 600 函数关系式为 y 90 150a x 150000a 200 x 600 2828 4141 2 当 0 a 0 6 时 90 150a 0 当 x 200 时 y最小 90 150a 200 150000a 120000a 18000 此时 1000 x 1000 200 800 当 a 0 6 时 90 150a 0 又因为运往 A 厂总吨数不超过 600 吨 当 x 600 时 y最小 90 150a 600 150000a 60000a 54000 此时 1000 x 1000 600 400 答 当 0 a 0 6 时 运往 A 厂 200 吨 B 厂 800 吨时 总运费最低 最低运费 120000a 18000 元 当a 0 6时 运往A厂600吨 B厂400吨时 总运费最低 最低运费60000a 54000 点评 本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题 一次函数是常用 的解答实际问题的数学模型 是中考的常见题型 同学们应重点掌握 26 2012 凉山州 某商场计划购进冰箱 彩电进行销售 相关信息如下表 进价 元 台 售价 元 台 冰箱 a 2500 彩电 a 400 2000 1 若商场用 80000 元购进冰箱的数量与用 64000 元购进彩电的数量相等 求 表中 a 的值 2 为了满足市场需要求 商场决定用不超过 9 万元采购冰箱 彩电共 50 台 且冰箱的数量不少于彩电数量的 该商场有哪几种进货方式 若该商场将购进的冰箱 彩电全部售出 获得的最大利润为 w 元 请用所学 的函数知识求出 w 的值 考点 一次函数的应用 分式方程的应用 一元一次不等式组的应用 专题 应用题 图表型 分析 1 分别表示冰箱和彩电的购进数量 根据相等关系列方程求解 2 设购买彩电 x 台 则购进冰箱 50 x 台 2929 4141 根据题意列表达式组求解 用含 x 的代数式表示利润 W 根据 x 的取值范围和一次函数的性质求解 解答 解 1 根据题意得 解得 a 2000 经检验 a 2000 是原方程的根 2 设购买彩电 x 台 则购进冰箱 50 x 台 根据题意得 解得 25 x 故有三种进货方式 1 购买彩电 25 台 则购进冰箱 25 台 2 购买彩电 26 台 则购进冰箱 24 台 3 购买彩电 27 台 则购进冰箱 23 台 一个冰箱的利润为 500 元 一个彩电的利润为 400 元 故 w 400 x 500 50 x 100 x 25000 w 为关于 x 的一次函数 且为减函数 而 25 x x 取整数 故当 x 25 时 获得的利润最大 最大为 22500 元 点评 此题考查了一次函数的应用 分式方程的应用及一元一次不等式的应用 解答本题的关键是求出 a 的值 利用函数及不等式的知识进行解答 27 2012 佳木斯 国务院总理温家宝 2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务 会议 会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区 现要把 228 吨物资从 某地运往青海甲 乙两地 用大 小两种货车共 18 辆 恰好能一次性运完这批 物资 已知这两种货车的载重量分别为 16 吨 辆和 10 吨 辆 运往甲 乙两地的 运费如表 车型 甲 地 元 辆 乙 地 元 辆 大货车 720 800 运 往 地 3030 4141 小货车 500 650 1 求这两种货车各用多少辆 2 如果安排 9 辆货车前往甲地 其余货车前往乙地 设前往甲地的大货车为 a 辆 前往甲 乙两地的总运费为 w 元 求出 w 与 a 的函数关系式 写出自变量 的取值范围 3 在 2 的条件下 若运往甲地的物资不少于 120 吨 请你设计出使总运费 最少的货车调配方案 并求出最少总运费 考点 一次函数的应用 二元一次方程组的应用 分析 1 设大货车用 x 辆 小货车用 y 辆 根据大 小两种货车共 18 辆 运输 228 吨物资 列方程组求解 2 设前往甲地的大货车为 a 辆 则前往乙地的大货车为 8 a 辆 前往甲 地的小货车为 9 a 辆 前往乙地的小货车为 10 9 a 辆 根据表格所 给运费 求出 w 与 a 的函数关系式 3 结合已知条件 求 a 的取值范围 由 2 的函数关系式求使总运费最少的 货车调配方案 解答 解 1 解法一 设大货车用 x 辆 小货车用 y 辆 根据题意得 2 分 解得 答 大货车用 8 辆 小货车用 10 辆 1 分 解法二 设大货车用 x 辆 则小货车用 18 x 辆 根据题意得 16x 10 18 x 228 2 分 解得 x 8 18 x 18 8 10 辆 答 大货车用 8 辆 小货车用 10 辆 1 分 2 w 720a 800 8 a 500 9 a 650 10 9 a 2 分 70a 11550 w 70a 11550 0 a 8 且为整数 1 分 3131 4141 3 16a 10 9 a 120 解得 a 5 1 分 又 0 a 8 5 a 8 且为整数 1 分 w 70a 11550 k 70 0 w 随 a 的增大而增大 当 a 5 时 w 最小 最小值为 W 70 5 11550 11