2010年高考数学客观题中的创新题型赏析.pdf

2010年高考数学客观题中的创新题型赏析 441000 湖北省襄樊市第一中学 王 勇 新课程标准要求学生对 新颖的信息 情景和设问 选择有效的方法和手段收集信息 综合与灵活地应用所 学的数学知识 思想和方法 进行独立思考 探索和探 究 提出解决问题的思路 创造性地解决问题 随着新 一轮课程改革的深入和推进 高考的改革使知识立意转 向能力立意 推出了一批新颖而又别致 具有创新意识 和创新思维的新题 本文采撷 2010年高考数学客观题 中的创新题型并予以分类赏析 旨在探索题型规律 揭 示解题方法 1 类比归纳型 类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数 学命题 要求用发散思维去联想 类比 推广 转化 找出 类似的命题 或者根据一些特殊的数据 特殊的情况去 归纳出一般的规律 这是新课程较为重视的类比推理 归纳推理 主要考查学生的观察 分析 类比 归纳的能 力 从不变中找规律 从不变中找变化 例 1 2010年陕西 观察下列等式 1 3 2 3 1 2 2 13 2 3 3 3 1 2 3 2 13 2 3 3 3 4 3 1 2 3 4 2 根据上述规律 第四个等式为 解析 观察前 3个等式发现左边的等式分别是从 1 开始的两个数 三个数 四个数的立方和 等式右边分别 是这几个数和的平方 因此可得第四个等式是 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 1 2 3 4 5 2 15 2 点评 本题主要考查了归纳推理 考查了同学们的 观察 归纳推理能力 解题的关键是发现等式左 右两边 的规律 例 2 2010年山东 观察 x 2 2x x 4 4x 3 cosx sinx 由归纳推理可得 若定义在 R上的函 数 f x 满足 f x f x 记 g x 为 f x 的导函数 则 g x 等于 A f x B f x C g x D g x 解析 由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函 数的导函数是奇函数 又 f x f x f x 为偶函 数 所以 g x 是奇函数 故 g x g x 故选 D 点评 本题考查对归纳推理的理解与应用 以及考 查抽象概括能力 得 1 a1an 1 n 1 an 1an 2 1 a1an 2 n 1 即 an 1 n 1 an 2 n a1 同理得 an n an 1 n 1 a1 n 2 于是 an 1 n 1 an 2 n an n an 1 n 1 而数列 a1 a2 an 中的 每一项都为正数 所以 an 1 2 an an 2 n 2 在 1 a1a2 1 a2a3 1 anan 1 1 a1an 1 n中 令 n 2 得 1 a1a2 1 a2a3 1 a1a3 2 所以 a2 2 a1 a3 即 an 1 2 an an 2对任何 n N 都成立 an 是等比数列 点评 联想 3是从等差数列向等比数列的类比 结 构形式和证明方法上具有统一性 体现了等差数列与等 比数列内在的必然联系 联想 4 设数列 a1 a2 an 中的每一项都不为 零 且前 n项和为 Sn 证明 数列 an 为公比非 1的等比 数列的充分必要条件是 对任何 n N 都有 Sn kqn k k q是非零的常数 证明不难 略去 联想 5 设数列 a1 a2 an 中的每一项都不为 零 且前 n项和为 Sn 证明 数列 an 为公比非 1的等比 数列的充分 必要 条件是 对任 何 n N 都 有 Sn a1 anq 1 q q是常数 证明不难 略去 点评 联想 4和联想 5都是对等比数列已有的求 和公式进行逆向思考而得到的 以上我们从一道高考题出发 通过分析研究 多向 求解 广泛联想等方面对其进行全面透视 并通过类比 联想得到五条新结论 在整个探究过程中 融观察 猜 想 证明于一体 数学规律的和谐美和统一美尽现其中 这给我们的启示是 高考题往往具有代表性 典型性 示 范性和拓展性 备考复习中恰当的选用 必能收到良好 的教学效果 关键在于我们的教师要善于思考 善于发 掘 善于利用 收稿日期 20100805 43 试题赏析 2010年第 10期 高中版 例 3 2010年浙江 设 n 2 n N 2x 1 2 n 3x 1 3 n a0 a1x a2x 2 anx n 将 a k 0 cos4 8 cos 4 8 cos2 1 cos6 32 cos 6 48 cos4 18 cos2 1 cos8 128 cos 8 256 cos6 160 cos4 32 cos2 1 cos10 m cos 10 1280 cos 8 1120 cos 6 n cos 4 p cos 2 1 可以推测 m n p 解析 观察等式可知 各式右边 cos 的最高次项的系数 2 8 32 128构成了公比为 4的等比数列 故 m 128 4 512 取 0 则 cos 1 cos10 1 代入等式 得 1 m 1280 1120 n p 1 即 n p 350 1 取 3 则 cos 1 2 cos10 1 2 代入等式 得 1 2 m 1 2 10 1280 1 2 8 1120 1 2 6 n 1 2 4 p 1 2 2 1 即 n 4p 200 2 联立 1 2 得 n 400 p 50 m n p 512 400 50 962 点评 本题以三角公式为背景 主要考查猜想 归纳推理能力 2 信息迁移型 信息迁移型创新题是指以学生已有的知识为基础 并给出一定容量的新信息 通过阅读 从中获取有关信 息 捕捉解题资料 发现问题的规律 找出解决问题的方 法 并应用于新问题的解答 它既能有效地考查学生的 思维品质和学习潜力 又能考查学生的综合能力和创新 能力 2 1 定义新的概念 例 5 2010年福建 对于平面上的点集 如果连 接 中任意两点的线段必定包含于 则称 为平面 上的凸集 给出平面上 4个点集的图形 如图 1 如下 阴影区域及其边界 图 1 其中为凸集的是 写出所有凸集相应图形 的序号 解析 中的图形 只需连接最上方的两个顶点 即可知不满足凸集的定义 故 中的图形不是平面上的 凸集 中的图形上任意两点的连线必定在此线上 故 中的图形是平面上的凸集 中的图形上任意两点的连 线必定在该图形上 故 中的图形是平面上的凸集 中 的图形 只在两圆内各取一点 即可知不满足凸集的定义 故 中的图形不是平面上的凸集 因此 应填 点评 本题以平面几何为背景 属于新定义的信息 迁移题 考查考生的识图能力以及分析问题 解决问题 的能力 图 2 例 6 2010年湖北 设 a 0 b 0 称 2ab a b 为 a b的调 和平均数 如图 2 C为线段 AB 上的点 且 AC a CB b O为 AB的中点 以 AB 为直径作半圆 过点 C作 AB的垂线交 半圆于 D 连接 OD AD BD 过点 C 作 OD 的垂线 垂足 为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b的算术平均数 线段 的长度是 a b的几何平均数 线段的 长度是 a b的调和平均数 解析 在 Rt ADB 中 DC AB 根据射影定理有 DC 2 AC CB DC AC CB ab 即线段 DC的长 度是 a b的几何平均数 在 Rt DCO 中 CE OD 根据射影定理有 DC 2 DE DO DE DC 2 DO ab a b 2 2ab a b 即线段 DE的长度是 a b的调和平均数 点评 本题主要考查考生接受新知识的能力以及 灵活应用平面几何知识解决问题的能力 例 7 2010年四川 设 S为复数集 C 的非空子集 若对任意 x y S 都有 x y x y xy S 则称 S 为封闭 集 下列命题 集合 S a bi a b为整数 i为虚数单位 为封闭集 44 2010年第 10期 高中版 试题赏析 若 S为封闭集 则一定有 0 S 封闭集一定是无限集 若 S 为封闭集 则满足 S T C的任意集合 T 也 是封闭集 其中的真命题是 写出所有真命题的序号 解析 由题意 S a bi a b为整数 i为虚数 单位 S 为复数集 若 x y S 则 x y x y及 xy仍为 复数 故 正确 若 S为封闭集 且存在元素 x S 那么必有 x x 0 S 即一定有 0 S 故 正确 因为 0 是封闭集 且是有限集 故 错误 举特例 若 S 0 T 0 i i 显然 T 中 i i 1 T T 不是封闭集 故 错误 点评 本题考查了集合和复数的有关概念 元素与 集合的关系 集合与集合的关系等 考查了集合知识的 信息迁移及转化思想 考查学生分析问题 解决问题的 能力 例 8 2010年湖北 记实数 x1 x2 xn中的最大 数为 max x1 x2 xn 最小数为 m in x1 x2 xn 已 知 ABC的三边边长为 a b c a 2 E 的第 211个子集为 解析 1 由所给的新定义知 k 2 1 1 23 1 2 0 22 5 2 211 2i1 1 2i2 1 2im 1 2i1 2 i2 2im 2 即 2i1 2i2 2 im 422 而 2 9 512 i1 i2 im都小于或等于 8 由于 2 1 2 2 2 4 2 3 8 24 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 经计算只有 2 1 2 2 2 5 2 7 2 8 422 即 211 2 1 1 2 2 1 2 5 1 27 1 2 8 1 E的第 211个子集为 a1 a2 a5 a7 a8 点评 本题是一个新定义型试题 构思新颖 亮点明 显 主要考查学生在新情境下灵活运用新定义分析 解决 问题的能力 解决好本题的关键是对新定义的把握 例 10 2010年福建 对于具有相同定义域 D 的函 数 f x 和 g x 若存在函数 h x kx b k b 为常 数 对任给的正数 m 存在相应的 x0 D 使得当 x D 且 x x0时 总有 0 f x h x m 0 h x g x 1 的四组函数如下 f x x 2 g x x f x 10 x 2 g x 2x 3 x f x x 2 1 x g x x lnx 1 lnx f x 2x 2 x 1 g x 2 x 1 e x 其中 曲线 y f x 与 y g x 存在 分渐近线 的是 A B C D 解析 第 组函数 直线 h x 2是 f x 与 g x 的 分渐近线 应排除 A D 第 组函数不存在 分渐近线 因 f x g x 1 x 1 lnx 当 x x 0 1时 x lnx 0 1 x 1 lnx f x x0 1时 f x h x g x 因此 应排除 B 故选 C 点评 本题以函数为背景考查学生的极限思想及 推理能力 2 2 约定新的运算 例 11 2010年广东 在集合 a b c d 上定义两 种运算 和 如下 abcd aabcd bbbbb ccbcb ddbbd 45 试题赏析 2010年第 10期 高中版 abcd aaaaa babcd cacca dadad 那么 d a c A a B b C c D d 解析 由题所给的新运算得 a c c d a c d c a 故选 A 点评 本题考查新运算的分析与理解能力 主要考 查创新能力与创新意识 先求 a c 再进一步求解即可 例 12 2010 山东 定义平面向量之间的一种运 算 0 如下 对任意的 a m n b p q 令 a0 b mq np 下面说法错误的是 A 若 a与 b共线 则 a0 b 0 B a0b b0a C 对任意的 R 有 a 0 b a0 b D a0 b 2 a b 2 a 2 b 2 解析 根据题意可知若 a与 b 共线 可得 mq np 所以 a0b mq np 0 所以 A正确 因为 a0b mq np 而 b0 a np mq 故二者不等 所以 B错误 对于任 意的 R a 0 b a0b mq np 所以 C正 确 a0 b 2 a b 2 m 2q2 n 2p2 2mnpq m 2p2 n 2q2 2mnpq m 2 n 2 p 2 q 2 a 2 b 2 所以 D 正确 故选 B 点评 本题是新定义的平面向量问题 难度不大 在解答时主要依靠题目提供的信息和平面向量的知识 就可以轻松完成 2 3 引入新的记号 例 13 2010年陕西 某学校要召开学生代表大 会 规定各班每 10人推选一名代表 当各班人数除以 10 的余数大于 6时再增选一名代表 那么 各班可推选代 表人数 y与该班人数 x之间的函数关系用取整函数 y x x 表示不大于 x的最大整数 可以表示为 A y x 10 B y x 3 10 C y x 4 10 D y x 5 10 解析 特值验证并结合筛选法 当 x 16时 应推 选 1名代表 而 16 10 1 16 3 10 1 16 4 10 2 16 5 10 2 故排除 C D 当 x 17时 应推选 2 名代 表 而 17 10 1 故排除 A 综上可知 应选 B 点评 信息迁移题是命题的一个新亮点 重在考查 学生对新知识的学习与理解能力 本题以学生比较熟悉 的推选代表问题为背景 考查构建函数模型的能力 本 题对选择题的特殊解法 特值验证并结合筛选法 考查 的也相当充分 例 14 2010年湖南 用 min a b 表示 a b两数中 的最小值 若函数 f x min x x t 的图象关于 直线 x 1 2对称 则 t的值为 A 2 B 2 C 1 D 1 图 3 解析 在 同一 坐标 系 中 分别作出函数 y x 与 y x t 的图象 如图 3所 示 由图象知 f x 的图象 为图中的实线部分 A B C O E 由于 f x 的图象 关于直线 x 1 2 对称 于 是 t 0 2 1 2 t 1 故选 D 点评 本题主要考查含绝对值符号的函数图象的 作法以及函数图象的对称问题 求解本题应首先作出 f x 的图象 两函数图象中较低的部分 再利用对称 性 由中点坐标公式求出 t值 例 15 2010 湖南 若数列 an 满足 对任意的 n N 只有有限个正整数 m 使得 am n成立 记这样 的 m的个数为 an 则得到一个新数列 an 例 如 若数列 an 是 1 2 3 n 则数列 an 是 0 1 2 n 1 已知对任意 的 n N an n 2 则 a5 an 解析 由 an 的定义知 要求 a5 只需寻找满 足 am 5即 m 2 5的正整数 m 的个数即可 由于 1 2 1 5 2 2 4 5 故 a5 2 1 an n 2 计算可知 a1 0 a2 a3 a4 1 a5 a6 a7 a8 a9 2 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 3 a1 1 a2 1 3 4 22 a3 1 3 5 9 3 2 由归纳推理知 an n 2 点评 本题引入新的记号 an 阅读并领悟其实 质是正确求解的关键 46 2010年第 10期 高中版 试题赏析 3 综合探究型 综合探究型创新题形式多 难度大 在解答时要通 过分析 探究 抓住有限的或隐含的条件 通过联想综合 性的知识设计出解决问题的方式或探究出解决问题的 数学思想 是考查学生数学素养和应用能力的主要和重 要题型 例 16 2010年全国 2 已知圆 O的半径为 1 PA PB为该圆的两条切线 A B为两切点 那么PA PB的最 小值为 A 4 2 B 3 2 C 4 2 2 D 3 2 2 图 4 解析 如 图 4 所示 设 PA PB x x 0 3APO 则 3APB 2 PO 1 x 2 sin 1 1 x 2 PA PB PA PB cos2 x 2 1 2 sin 2 x 2 x 2 1 x 2 1 x 4 x2 x 2 1 x 2 1 2 3 x2 1 2 x 2 1 x 2 1 2 x 2 1 3 2 2 3 当且仅当 x 2 1 2 x 2 1 即 x 2 1 2 即 x 2 2 1 时 取 号 故PA PB的最小值为 2 2 3 故选 D 点评 本题以直线和圆的位置关系为背景 用平面 向量的数量积加以 包装 经过转化化归 最终利用均 值不等式解决问题 例 17 2010年浙江 设函数的集合 P f x log2 x a b a 1 2 0 1 2 1 b 1 0 1 平面上 点的集合 Q x y x 1 2 0 1 2 1 y 1 0 1 则在同一直角坐标系中 P中函数 f x 的图象恰好经过 Q中两个点的函数的个数是 A 4 B 6 C 8 D 10 解析 1 当 a 1 2时 f x log2 x 1 2 b 其定义域为 x x 1 2 1 f 1 b 1 若 b 1 则 f x 的图象不过 Q 中的任何一点 不 合题意 若 b 0 则 f x 的图象只能过 Q 中的一个点 1 1 不合题意 若 b 1 则 f x 的图象只能过 Q 中的一个点 1 0 不合题意 2 当 a 0时 f x log2x b 其定义域为 x x 0 1 f 1 2 b 1 f 1 b 若 b 1 则 f x 的图象只能过 Q 中一个点 1 1 不合题意 若 b 0 则 f x 的图象恰好过 Q 中的 1 2 1 1 0 两个点 若 b 1 则 f x 的图象恰好过 Q 中的 1 2 0 1 1 两个点 函数 f x log2x f x log2x 1满足条件 3 当 a 1 2时 f x log 2 x 1 2 b 其定义域 为 x x 1 2 1 f 0 b 1 f 1 2 b 若 b 1 则 f x 的图象只能过 Q 中的一个点 1 2 1 不合题意 若 b 0 则 f x 的图象恰好过 Q 中的 0 1 1 2 0 两个点 若 b 1 则 f x 的图象恰好过 Q 中的 0 0 1 2 1 两个点 函数 f x log2 x 1 2 f x log2 x 1 2 1 满足条件 4 当 a 1时 f x log2 x 1 b 其定义域为 x x 1 1 f 1 2 b 1 f 0 b f 1 b 1 若 b 1 则 f x 的图象恰好过 Q 中的 0 1 1 0 两个点 若 b 0 则 f x 的图象过 Q 中的 1 2 1 0 0 1 1 三个点 不合题意 若 b 1 则 f x 的图象恰好过 Q 中的 1 2 0 0 1 两个点 函数 f x log2 x 1 1 f x log2 x 1 1满足条件 综上所述 满足条件的函数有 6个 故选 B 47 试题赏析 2010年第 10期 高中版 点评 本题考查待定系数法 逻辑分析推理能力及 考生的意志品质 例 18 2010年辽宁 有四根长都为 2的直铁条 若再选两根长都为 a的直铁条 使这六根铁条端点处相 连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a的取值范围是 A 0 6 2 B 1 2 2 C 6 2 6 2 D 0 22 解析 由于本题是选择题 所以我们不妨采取特殊 值法 在图 5 1 中 当 AB 平面 BCD 时 a 22 因此 2 2是可以取到的 所以排除 B D 两项 下面考虑 A C 两项的情况 在图 5 2 中 a 是可以无限小的 所以必然 存在 0 a 6 2的部分 据此可以排除 C项 故选 A 项 图 5 点评 本题主要考查构成三棱锥的条件 考查空间 想象能力 本题应结合选择题的特点推理而作 否则冗 繁易错 例 19 2010年重庆 到两互相垂直的异面直线的 距离相等的点 在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 图 6 解析 在长方 体 ABCD A1B1C1D1中建立如图 6 所示的